1、教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题1 若集合 A=x|一 12x+l3， 则 AB=( )（A）x|一 1x0（B） x| 0x1（C） x|0x2（D）x|0x12 “x=3”是“x 2=9”的( )（A）充分而不必要的条件（B）必要而不充分的条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件3 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=4，BAD=120，则菱形 ABCD 的周长为( )（A）20（B） 18（C） 16（D）154 经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心 C 且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是 ( )（A）x 一 y+l=0（B） x 一 y
2、 一 1=0（C） x+y 一 1=0（D）x+y+1=05 下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )（A）（B）（C） 9+42（D）36+186 已知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于A，B 两点，且 AB 的中点为 N(一 12，一 15)，则 E 的方程为( )7 若 则 tan2x=( )8 函数 y=1n(2x+1) 的反函数是( )9 若 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)都是非零向量，且 a 与 b 垂直，则下列行列式的值为零的是( )10 已知等差数列a n的前几项和为 Sn，且 a1=03 (1+2x)
3、dx，a 2=5，则 S 为( )（A）15（B） 20（C） 25（D）30二、填空题11 x、y、zR *，x-2y+3z=0， 的最小值为_12 半径为 4 的球 O 中有一个内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_13 如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC 、BC 边的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是_14 若 的展开式中 x3 的系数是84，则 a=_15 21exlnxdx=_16 在ABC 中，sin 2Asin 2B+sin2CsinBsinC，则 A 的取值范
4、围是_三、解答题16 已知 a0，函数 f(x)=lnx 一 ax2，x0，f(x)的图象连续不间断17 求 f(x)的单调区间；18 当 a= 时，证明：存在 x0(2，+) ，使 f(x0)= ；19 若存在 、 均属于区间1，3，且 一 1，使 f()=f()，证明：19 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 如图所示，斜率为 k(k0)且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x=一 3 于点 D(一 3，m) 20 求 m2+k2 的最小值；21 若|OG| 2=|OD|OE|，求证：直线 l 过定
5、点；试问点 B、G 能否关于 x 轴对称?若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由四、计算题22 如图，直线 y=kx 将抛物线，y=2x 一 x2 与 x 所围成的图形分为面积相等的两个部分，求 k 的值23 设 求 3AB 一 2A 及 ATB.23 设 an=1+q+q2+qn1 (nN*，q1)，A n=Cn1a1+Cn2a2+Cnnan24 用 q 和 n 表示 An；25 当一 3ql 时，求五、应用题25 根据空气质量指数 API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年(365 天) 的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0，50，(50，1
6、00，(100，150， (150，200，(200，250， (250，300进行分组，得到频率分布直方图如图26 求直方图中 x 的值；27 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；28 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率(结果用分数表示，已知 57=78125，2 8=128，教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题可知 A=x|lx1，B=x|0 x2，AB=x|0 x12 【正确答案】 A【试题解析】 若 x=3，则 x2=9，反之，若 x2=9，则 x=3，选项 A 正确3 【正确答案】 C【
7、试题解析】 在菱形 ABCD 中，因为BAD=120，所以BAC=60，又因为AB=BC，所以ABC 为等边三角形，所以 AB=BC=AC=4，同理，AD=CD=4，所以菱形 ABCD 的周长为 164 【正确答案】 A【试题解析】 由题给条件知，点 C 的坐标为(一 1，0)，而直线与 x+y=0 垂直，则设待求的直线方程为 y=x+b，将点 C 的坐标代入就能求出参数的值为 b=1，故待求的直线的方程为 x 一 y+1=0，因此，选项 A 正确5 【正确答案】 B【试题解析】 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积6 【正确答案】 B【试题解析】 设 A、B 两点坐标分别
8、为(x 1，y 1)(x2，y 2)，则 x1+x2=一 24，y 1+y2=一 30，且 设双曲线方程为 (ab0) ，将 A、B 坐标分别代入双曲线方程中且相减得 由 得 4b2=5a2又 a2+b2=9a2=4，b 2=5 即双曲线方程为 故选项 B 正确.7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以8 【正确答案】 C【试题解析】 由 y=ln(2x+1)反解得 所以 又因为原函数定义域为 yR，所以反函数定义域为 xR，故选项 C 正确9 【正确答案】 D【试题解析】 a=(x 1，y 1)，b=(x 2，y 2)都是非零向量，且 a 与 b 垂直，x1x2+y1y2=0，根据二阶行
9、列式的定义可知，=x1x2+y1y2， =010 【正确答案】 A【试题解析】 a 1=03（1+2x)dx=12 ，a 2=5，因为该数列为等差数列，所以 d=a2 一a1=一 7，a 3=2，所以 S3=12+5+(2)=15二、填空题11 【正确答案】 3【试题解析】 由 x 一 2y+3z=0 得 代入 得当且仅当 x=3z 时上式取“=”12 【正确答案】 32【试题解析】 设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为 ，圆柱侧面积S=24sin24cos=32sin2，当 a= 时，S 最大值 32，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 3213 【正确答案】 3【试题解析】 要使PBG
10、的周长最小，而 BG=1 一定，只要使 BP+PG 最短即可，连接 AG 交 EF 于 M，在等边ABC 中，E、F、G 分别为 B、AC 的中点，AGBC，EFBC， AGEF，AM=MG ， A、G 关于 EF 对称，P 点与 E 重合时，BP+PG 最小，即PBG 的周长最小，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=314 【正确答案】 1【试题解析】 由 Tr+1=C9rx9r =(一 a)r C9rx92r 令 92r=3，r=3，有(一a)3 C93=一 84，解得 a=115 【正确答案】 【试题解析】 2 1exlnxdx=1exlnxdx2=x2ln
11、x|1e1ex2 =e21exdx16 【正确答案】 0A【试题解析】 由 sin2Asin2B+sin2CsinBsinC 得 a2b2+c2 一 bc，即0A，故 0A .三、解答题17 【正确答案】 令 f(x)=0，解得当 x 变化时，f(x)，f(x) 的变化情况如下表：所以 f(x)的单调递增区间是 ，f(x)的单调递减区间是18 【正确答案】 当 由(1)知 f(x)在(0，2) 内单调递增，在(2， +)内单调递减令 由于 f(x)在(0，2)内单调递增，故即 g(2)0取 所以存在x0(2，x)，使 g(x0)=0，即存在 x0(2，+) ，使 f(x0)= 说明：x的取法不
12、唯一，只要满足 x2，且 g(x)19 【正确答案】 由 f()=f()及(1)的结论知 从而 f(0)在， 上的最小值为 f(a)又由 一 l， ， 1，3，知 l23故从而20 【正确答案】 设直线 l 的方程为 y=kx+t(k0)，由题意知，t0由方程组得(3k 2+1)x2+6ktx+3t23=0，由题意 0，所以 3k2+1t 2设A(x1， y1)，B(x 2，y 2)，由韦达定理得 x1+x2= 所以 y1+y2= 由于 E为线段 AB 的中点因此 此时 所以OE 所在直线的方程为 又由题设知 D(一 3，m) ，令 x=3，得即 mk=1，所以 m2+k22mk=2，当且仅当
13、 m=k=1 时，上式等号成立，此时由0 得 0 t2，因此当 m=k=1 且 0t2 时，m 2+k2 取最小值 2.21 【正确答案】 由(1)知 DD 所在直线的方程为 将其代入椭圆 C 的方程，并由 k0，解得 由距离公式及t0 得 由|OG| 2=|OD|OE|得t=k，因此，直线 l 的方程 y=k(x+1)所以，直线 l 恒过定点(一 1，0)由 得若 B、G 关于 x 轴对称，则代入 y=k(x+1)整理得 3k21= 即 6k47k2+1=0，解得 k2= (舍去 )或 k2=1，所以 k=1，此时关于 x 轴对称又由(1)得 x1=0，y 1=0，所以A(0，1)由 ABG
14、 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 ABG 的外接圆的圆心为(d，0)，因此 故ABG 的外接圆的半径为所以ABG 的外接圆方程为四、计算题22 【正确答案】 抛物线 y=2x 一 x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0，x 2=2，所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=02(2x-x2)dx 抛物线y=2x 一 x2 与 y=ks 两交点的横坐标为 x1=0，x 2=2 一 k，所以又知 S= ，所以(2-k) 3=4，则23 【正确答案】 A T=A，A TB=AB= 3AB 一 2A=24 【正确答案】 因为 q1，所以 an=1+q+q2+qn-1= 于是25 【正确答案】 因为-3ql ，且 q1.所以所以五、应用题26 【正确答案】 27 【正确答案】 空气质量为 Y 的天数=Y 对应的 组距365 天，所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 50365=119(天)和50365=100(天) 28 【正确答案】 设 A，B 分别表示随机事件“空气质量为良”和“ 空气质量为轻微污染”，则事件 A 与 B 互斥所以空气质量为良或轻微污染的概率是设 X 表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数，则 故所求的概率是 P(X2)=lP(X=0)一 P(X=1)一 P(X=1)
