1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题1 设集合 M=0，1，2，N=xx 2 一 3x+20，则 MN=( )（A）1（B） 2（C） 0，1（D）1 ，22 设复数 z1， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i，则 Z1z2=( )（A）一 5（B） 5（C）一 4+i（D）一 4 一 i3 设向量 a， b 易满足a+b= ，ab= ，则 ab=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）54 钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=( )（A）5（B）（C） 2（D）15 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质
2、量为优良的概率是 075，连续两天为优良的概率是 06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )（A）08（B） 075（C） 06（D）0456 已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数，且在 (一，0上是减函数，若 f(b)f(2)，则实数 b 的取值范围是( )（A）b2（B） b一 2 或 b2（C） b一 2（D）一 2b27 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f(x)=2x+1，则数列 (n N*)的前 n 项和是( )8 已知 A1，A 2 是椭圆 =1(ab0)长轴的两个端点，B 是它短轴的一个端点，如果 ，则该椭圆的离心率的取值范围是( )9
3、已知ABC 的外接圆的圆心为 P，ABC 的外接圆的半径等于 1，如果=( )（A）（B） 0（C） 1（D）10 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2 n13(2n 一 1)”，当“n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为( )（A）2k+1（B） 2(2k+1)（C）（D）二、填空题11 已知 4a=2，lgx=a，则 x=_12 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为_13 设 0 ，向量 a=(sin2，cos)，b=(cos，1)，若 ab，则tan=_14 已知 、 均为锐角，且 cos(+)=sin( 一 )
4、，则 tan=_15 函数 y=f(x)的图象与直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a， b上的面积，已知函数 y=sinnx 在 (nN*)，则函数y=sin3x 在0， 上的面积为_三、解答题16 已知函数 f(x)= ，xR(1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 c=3，f(c)=0，若向量 m=(1，sinA)与 n=(2，sinB)共线，求 a、b 的值16 已知等差数列a n的前 n 项和 Sn 满足 S3=0， S5=一 517 求a n的通项公式；18 求数列 的前 n 项和
5、18 如图，正方形 ABCD，GEBD 于 B，AGGE 于 G，AE=AC，AE 交 BC 于F19 求AEG 的度数；20 求证 CE=CF20 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 ，在 y 轴上截得线段长为 21 求圆心 P 的轨迹方程；22 若 P 点到直线 y=x 的距离为 ，求圆 P 的方程22 已知双曲线 C： =1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2 离心率为3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 23 求 a、b；24 设过 F2 的直线 Z 与 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，且AF 1=BF 1，证明： AF2、A
6、B、 BF2成等比数列湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 N=xx 2 一 3x+20=x1x2 ，又 M=0，1，2，所以MN=1，2 2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 z2=一 2+i，所以 z1z2=(2+i)(一 2+i)=i2 一 4=一 53 【正确答案】 A【试题解析】 由条件可得，(a+b) 2=10，(a 一 b)2=6，两式相减得 4ab=4所以ab=14 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可得，所以 B=45或B=135，当 B=45时，由余弦定理可得AC= =1，此时 AC=AB=1
7、，BC= ，易得A=90，与“钝角三角形“条件矛盾，舍去，所以 B=135，由余弦定理可得 AC=5 【正确答案】 A【试题解析】 根据条件概率公式 P(BA)= ，可得所求概率为=086 【正确答案】 B【试题解析】 函数 y=f(x)是 R 上的偶函数，且在(一，0上是减函数，函数 y=f(x)在(0 ，+)上是增函数，f(b)f(2)，b2，b一 2 或 b2故选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 f (x)=mxm1 +a=2x+1，a=1，m=2， f(x)=x(x+1)，数列故选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 设椭圆中心为O， ，在 RtBOA1 中，OA 1=a，OB =
8、b，tanA 1BO= 即 a ，即a23b2，即 a23(a2 一 c2)，2a 23c2 e2 ，e ，椭圆的离心率 0e l ，该椭圆的离心率的取值范围是 ，1)，故选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查向量的相关知识 =0， ABC 为等边三角形，点 P 为ABC 外接圆的圆心，10 【正确答案】 B【试题解析】 当 n=k 时，左端=(k+1)(k+2)(k+3)(2k)，当 n=k+1 时，左端=(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2)，故当 “n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1)，故选 B二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 4
9、 a=22a=2，12 【正确答案】 x 2+(y 一 1)2=1【试题解析】 因为点(1，0)关于直线 y=x 对称的点的坐标为 (0，1)，所以所求圆的圆心为(0 ，1)，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为 x2+(y 一 1)2=113 【正确答案】 【试题解析】 ab ， sin2=cos2， 2sincos=cos2， (0， )，2sin=cos，tan= 14 【正确答案】 1【试题解析】 cos(+)=sin( 一 )，coscos 一 sinsin=sincoscossin，即 cos(sin 一 cos)+sin(sincos)=0，(sincos)(cos+sin)=0
10、，、 均为锐角，cos+sin0，sincos=0tan=1故答案为 115 【正确答案】 【试题解析】 函数 y=sinx 在 (nN*)，对于函数 y=sin3x而言，n=3函数 y=sin3x 在 则函数 y=sin3x 在三、解答题16 【正确答案】 (1)(2)f(C)=向量 m 和 n 共线， ，b=2a由余弦定理 c2=a2+b2 一 2abcosC，得 9=a2+4a2 一 2a2acos ，17 【正确答案】 设a n的公差为 d，则 Sn=na1+ d由已知可得，解得 a1=1，d=一 1故a n的通项公式为 an=2 一 n18 【正确答案】 由上问可知的前n 项和为19
11、 【正确答案】 AGGE，DBGE，AO=OB，四边形 AGBO 为正方形AG=AO= AEAEG=3020 【正确答案】 CFE=FBE+ FEB=45+30=75FCE+CEF=105，又AC=AEACE=CEF=45+FCE2FCE+45=105，FCE=30CEF=105一 30=75=CFECE=CF21 【正确答案】 设 p(x，y)，圆 P 的半径为 r 由题设 y2+2=r2，x 2+3=r2，从而y2+2=x2+3 故 P 点的轨迹方程为 y2 一 x2=122 【正确答案】 设 P(x0，y 0)，由已知得 又 P 点在双曲线 y2 一x2=1 上，从而得 故圆 P 的方程
12、为 x2+(y 一 1)2=3 或 x2+(y+1)2=323 【正确答案】 由题设知 =9，故 b2=8a2所以 C 的方程为 8x2 一y2=8a2将 y=2 代入上式，并求得 x= 由题设知， ，解得 a2=1所以 a=1，b= 24 【正确答案】 由上问可知，F 1(一 3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为 8x2 一y2=8由题意可设 l 的方程为 y=k(x 一 3)，k ，代入 并化简得(k 2一 8)x2 一 6k2x+9k2+8=0设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1一 1，x 21，x 1+x2=于是故AB= AF 2BF 2=23(x 1+x2)=4，AF 2BF 2=3(x 1+x2)一 9x1x21=16因而AF 2BF 2= AB 2，所以AF 2、 AB、BF 2成等比数列
