1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 27及答案与解析一、单项选择题1 下列说法与数列极限 anA 不等价的是( ) 。（A） 0， NN+， n：nN，a nA 2（B） kN， NkN+， n：nN k，a nA（C） 0， NN+， n：nN，a nA100（D） 0， NN+， n：nN，a nA n2 经过点(2 ，3，5) 且与平面 63y52 0 垂直的直线为( ) 。（A）（B）（C）（D）3 数列极限 ( )。（A）（B）（C）（D）4 已知矩阵 A 可相似对角化，则 的值为( )。（A）3（B） 4（C） 3（D）45 设函数 f()在 0 处可导，且
2、 f(0)0，则 ( )。（A）2f(0)（B） f(0)（C） f(0)（D）06 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，f( )f()， F()是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有( )。（A）(a) 1 0f()d（B） F(a) 0af()d（C） F(a)F(a)（D）F(a)2F(a) 17 ( )代数学 的出版，标志着近世代数基本理论的建立。（A）范.德.瓦尔登（B）黎曼（C）埃尔米特（D）希尔伯特8 下列关于高中数学课程变化的内容，说法不正确的是( )。（A）高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象（B）高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数（C）算法
3、是培养逻辑推理能力的非常好的载体（D）集合论是一个重要的数学分支二、简答题9 已知矩阵 A ，求矩阵 A 的特征值和特征向量。10 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25、35、40，次品率分别为 003、002、001。现从所有产品中取一件，试求：(1)该产品是次品的概率；(2)若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少?11 求函数 y(1) 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。12 强调数据处理能力是高中数学课程的一个变化，有人说统计的概念不难掌握，请谈谈在教学中应如何看待统计概念的定义。13 中学常用的基本数学思想方法有哪些。三、解答题14 已知
4、矩阵 A (1)求矩阵 A 的全部特征值和特征向量； (2)A 是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵 T，使 T-1AT 为对角阵； (3)计算 A100 。四、论述题15 试论述如何在教材编写过程中做到素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点?五、案例分析题15 某学生在做题目 已知：a0，b0，a b1，求 的最小值的解析过程如下的最小值是 8。 问题：16 指出学生的错误之处。17 分析学生的错误原因。18 写出正确解法。六、教学设计题19 高中“逻辑联结词 ”设定的教学目标如下：理解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含义，了解“或”“且”“ 非” 的复
5、合命题的构成。能熟练判断一些复合命题的真假性。通过逻辑联结词的学习，初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词。完成下列任务：(1)请设计一个情境导入。(2)根据教学目标，设计至少两个实例，并说明设计意图。(3)相对义务教育阶段的统计教学，本节课的教学重点是什么?(4)本节课教学难点是什么?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 27答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 数列的极限定义 anA 的本意是：a nA 可以无限小。选项A、B、C 中的 2( 无限小)， (k 无限大)，100( 无限小)都可以无限小，因
6、此A、B、C 与极限的定义是等价的。当 n 很大时，n 不一定小。因此选 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 平面 63y5z20 的法向量为 n(6，3，5)，则所求直线与法向量平行，由直线的点法式方程可知，此直线的方程为与 。3 【正确答案】 B【试题解析】 这是函数 f()在0 ，1上的一个积分和： 其中积分区问0，1n 等分，n 等分后每个小区间是 (i1，2，n) ， i是区间的右端点。因此，原式 故选 B。4 【正确答案】 A【试题解析】 EA (1)( 1)( 6)，所以 A 的特征值为 1，1，6。因为 A 可相似对角化，所以 r(EA)321，其中 EA ，故 3。5 【正
7、确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 f()f()，由定义可知， 0f()d ，F( a) -af()d 0f()d 0-af()d 0af()df(0)。7 【正确答案】 A【试题解析】 范.德.瓦尔登代数学的出版，标志着近世代数基本理论的建立。8 【正确答案】 B【试题解析】 高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象，向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁：算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体，在大学和中学数学教育中都发挥着重要的作用；集合论是一个重要的数学分支，教师要准确把握高中数学课程中集合这一内容的定位；在概率课中，学习的重点是如何理解随机现象而不
8、是如何计数。故选 B。二、简答题9 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为EA (1)2，所以，由 (1) 20 知 A 的特征根 10， 2 31。当 0 时，由得 1 23， 2 3，因此，属于特征值 0 的特征向量为 1。当 1 时，由 得 1 3， 20 因此，属于特征值 1 的特征向量为 2 。10 【正确答案】 (1)设 A1，A 2，A 3 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。所求事件的概率为 P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)P(A 3)P(BA 3)0250 03035002040010 0185。 (2)P(A 2B)038。11 【
9、正确答案】 因为 y ， 令 y0，得驻点10， 21。 列表讨论如下：由此可见，递增区间为(，1)，(0，)；递减区间为(1，0)。 极小值为f(0) ；极大值为 f(1)2 。 又因为故所求渐近线为 ya 1b 1e (2)，以及 ya 2b 22。12 【正确答案】 高中统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习。统计内容的教学不应该单纯地讲授概念的定义，图表的制作，数字特征的计算，机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围，让学生通过对实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和定义。(1)关注三种抽样方法的差别和不同的实用范围；(
10、2)应侧重于了解统计图表能告诉我们何种信息和理解不同统计图表的特点：(3)让学生了解数据的数字特征的作用和意义。13 【正确答案】 (1)用字母代替数的思想方法；(2)集合与对应的思想方法；(3)函数与方程的思想方法；(4)数形结合思想；(5) 数学模型的思想方法；(6)转换化归的思想方法；(7)类比思想方法；(8) 分类讨论思想方法：(9)特殊与一般思想。三、解答题14 【正确答案】 (1)由矩阵 A 的特征多项式 得所有特征值为 1 和 3； 对于特征值 1，解方程组 ，得特征向量(1， 1)T。 对于特征值 3，解方程组 ，得特征向量(1，1) T。 (2)A 是相似于对角阵，令 T ，
11、就有 T-1AT 。四、论述题15 【正确答案】 教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平，素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见或其他科学实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过星运动轨迹、凹凸镜等
12、说明圆锥曲线的意义和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念。五、案例分析题16 【正确答案】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2a 22ab，第一次等号成立的条件是 ab ，第二次等号成立的条件是 ab ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。17 【正确答案】 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。如本题中对于均值不等式等号成立的条件，没有理解透彻，该学生应加强对均值不等式应用的练习，教师也应当在授课过程中对等号成立的条件加以分析区别。18 【正确答案】 由 ab得：12a
13、b1 ，且 ， 原式(当且仅当 ab 时，等号成立) ， 的最小值是。六、教学设计题19 【正确答案】 (1)生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器。例如，洗衣机在甩干时，如果“ 到达预定的时间 ”或“机盖打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机。与此对应的电路，就叫或门电路。又如，电子保险门在“钥匙插入 ”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启。与此对应的电路，就叫与门电路。随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题。因此，我们有必要对简易逻辑加以研究。 (2)实例 1：在初中，我们巳学过命题。知道可以判断真假的语句叫作命题。 试分析以下 8 个语句，
14、说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题。 12 5 3 是 12 的约数 是整数 是整数吗 ? 10 可以被 2 或 5 整除 菱形的对角线互相垂直且平分 不是整数 (可以让学生回答，教师给出点评 ) 我们可以看出是真命题；是假命题；不涉及真假； 不能判断真假，所以 都不是命题；是真命题。 其中，“ 或”“且”“非” 这些词叫作逻辑联结词，像这样的命题，不舍逻辑联结词，叫简单命题；像这样。由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题。 (设计意图：将初中所学知识与本节学习的知识连接起来，方便学生理解简单命题与复合命题的概念与区别) 实例 2：对于三种复合命题，如何判断其真假呢
15、? 下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义。要求学生对每一真值表用一句话总结： “ 非 p”形式的复合命题的真假与 p 的真假相反。 “p 且 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为真时为真，其他情况时为假。 “p 或 q”形式的复合命题当 p与 q 同为假时为假，其他情况时为真。 (设计图：运用图表的形式，形象而直观地将如何判断复合命题的真假展现给学生，学生自己动手填写更能加深印象) (3)重点：了解命题和开语句的区别。 (4)难点：由于逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难。
