1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 29及答案与解析一、单项选择题1 已知 2，其中 a，b R，则 ab 的值为( )。（A）6（B） 6（C） 2（D）22 设 4 阶行列式 D4，且 D 的每列元素之和均为 2，则 A21A 22A 23A 24( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）43 曲线 t，yt 2，z t 3 在点(1 ，1，1)处的法平面方程是( )。（A）（B） 2y3z 60（C）（D）y z304 在区间0 ，1 上，函数 f()n(1) n 的最大值记为 M(n)，则 M(n)的值为( )。（A）e -1（B） e（C） e2（D）e 35
2、 方程 3z 0 所确定的曲面的名称是 ( )。（A）椭球面（B）双叶双曲面（C）椭圆抛物面（D）双曲抛物面6 设事件 A，B 相互独立，P(B)05，P(AB)03，则 P(BA)( )。（A）01（B） 02（C） 03（D）047 从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：列方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限到无限的过渡以及( )。（A）换元法（B）数字化（C）必然到或然的过渡（D）函数的概念8 数学教学原则制定的主要依据是教学目标、教学规律和( )。（A）教学实践（B）教学内容（C）教学对象（D）教学思想二、简答题9 矩阵 A (1)求 An
3、； (2) 求(A2E) n。10 设曲线 yf() n 在点(1，1)处的切线交 轴于( n，0)，求 f(n)。11 袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与三个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(1)求 PX 1Z 0；(2)求二维随机变量 (X， Y)的概率分布。12 在高中的教学中，教师应帮助学生打好基础、发展能力，请简述具体的做法。13 简述“好”的数学问题的基本特点。三、解答题14 判断 A 与 B 是否相似，这里四、论述题15 试论述把算法加入数学课程的原因。五、案例分析题15 案例：下面是一位老师在讲“ 简单
4、几何体的三视图 ”的教学片断请阅读后回答问题：创设问题情境，从学生熟悉的古诗入手，引出课题。多媒体显示：题西林壁苏轼横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。师：大家看大屏幕，一起朗读这首诗。师：哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗?都有什么感觉?生：横看，侧看，远看，近看，高看，低看，都得到不同的效果。师：回答得非常好。可能有些同学会纳闷，今天老师上数学课怎么会念起古诗来?其实，这首诗隐含着一些数学知识。它教会了我们怎样观察物体，这也是我们这节课将要学习的内容简单组合体的三视图(写板书)。问题：16 该教师的课堂引入有什么特色，对教学有什么好处?17 简单谈谈数学教学
5、过程中怎样调动学生的学习热情，激发学习兴趣。六、教学设计题18 全日制普通高级中学教科书(必修).数学第八章第一节椭圆及其标准方程是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，在此基础上完成下列问题：(1)在学习本内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验?(2)写出本内容的教学重点和教学难点。(3)设计本内容的教学过程。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 29答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由 2，可得a2，ab 2，所以 b4，ab6。2 【正确答案】 B【试题解析】 根据行列式的定义及性质，有Da 21
6、A21a 22A22a 23A23a 24A24(a 11a 21a 31a 41)A(a 12a 22a 32a 42)A22(a 13a 23a 33a 43)A23(a 14a 24a 34a 44)A242(A 21A 22A 23A 24)4，所以 A21A 22A 23A 242。3 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 t，yt 2，z t 3 在点(1，1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1，1，1) 处的法平面方程为 1.(1) 2.(y1)3.(z1)0，化简得2y3z60。4 【正确答案】 A【试题解析】 f()n(1 )nn 2(1) n-1n(1) n-1
7、(1n) ，所以 f()的驻点有两个，分别是 1 和 ，且 是函数 f()的唯一极大值点，在闭区间0，1， 也是最大值点。 所 M(n)， 所以，所以所求极限为 e-1。5 【正确答案】 C【试题解析】 由抛物面的定义可得 C 正确。6 【正确答案】 B【试题解析】 P(A B)P(A) P(AB)P(A)P(A)P(B) P(A)05P(A)05P(A)03，所以 P(A)06，P(BA) P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)02。7 【正确答案】 C【试题解析】 从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：列方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限
8、到无限的过渡以及必然到或然的过渡。8 【正确答案】 C【试题解析】 数学教学原则制定的主要依据是教学目标、教学规律和教学对象。二、简答题9 【正确答案】 (1)A 的各行元素是成比例的，故 AnO(n2) (2)由于A2A nO，故由二项式定理可得 (A2E) n(2E) nC n1(2E)n-1A2 nEn2 n-1A10 【正确答案】 设曲线在点(1，1)处的切线斜率为 k，由 f()n 一 n-1，得kn，于是得到切线方程：y 一 1n(1) 。令 y0 得，11 【正确答案】 (1)在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有一个红球，2 个黑球放回摸了两次，其中摸了
9、一个红球 P(X1Z 0) 。 (2)X ，Y 取值范围为 0，1，2，故 P(X0，Y0) ，P(X1，Y0) ，P(X2，Y0) ， P(X0，Y0) ，P(X1，Y0) ，P(X2，Y0)0， P(X0，Y0) ，P(X1，Y0)0，P(X2，Y0)0，12 【正确答案】 教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：(1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特
10、点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。(2)重视基本技能的训练熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。例如，立体几何的教学可从不同
11、视角展开从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法(代数方法)处理有关问题；不等式的教学要关注它的几何背景和应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明。口头、书面的数学表达是学好数学的基本功，在教学中也应予以关注。同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向。13 【正确答案】 (1)一个“ 好”的数学问题应当具有较强的探索性； (2)具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力；(3)具有多种不同的解法或多种可能的解答，即开放性；(4)具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各
12、种情形；(5)具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法；(6)问题的表述应当简单易懂，容易接近。三、解答题14 【正确答案】 考查矩阵 B B 的特征值为0，3。对于特征值 0，解方程组 可得两个线性无关的特征向量(2， 1，0) T，(2，0，1) T；对于特征值 3，显然有一个线性无关的特征向量， 由此可见 B 与对角阵 相似。 而矩阵 A 是对称矩阵，且由于故 A 也与对角阵 似，所以，矩阵 A 与 B 相似。四、论述题15 【正确答案】 (1)时代的需要算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的
13、发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。(2)与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。(3)能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。(4)对教师没有太大的难度算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握
14、。有些教研室和学校采取了一些有效的施措，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。(5)算法将对未来的数学课程产生很太的影响算法进入高中是一件大事，会产生一系列连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“ 算法”的选修课；有的学校把“ 算法”和相关的课程有机地结合起来。“算法” 在大学数学教育中会成为关注的问题之一。“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化摹本技能，淡化技巧。“
15、算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。“算法” 在教学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。五、案例分析题16 【正确答案】 这位老师用语文课的诗句作为引入，内容新鲜方式特别，提起学生的求知欲，达到了一定的效果，跨越了学科界限，让苏东坡的一首题西林壁把同学们带入了一个如诗如画的境界，再从诗歌中提炼出隐含的数学知识。这样，不但增强了学生的人文意识，还使学生体会到了数学中的“美” 。17 【正确答案】 通过介绍数学史及数学家的光辉事迹，激发学生的兴趣；通过探究情境教学，课堂化枯燥乏味为生动活泼，将单一的练习变为趣味性的教学过程，让学生感受数学的魅力；打破传统教学模式，改革教学方法，理
16、论联系实际，开展丰富多采的课外活动，让书本上的数学知识活起来；正确评价学生，让学生获得成功的喜悦。六、教学设计题18 【正确答案】 (1)解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验；分类活动经验；抽象、归纳的经验。 (2)教学重难点 重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想； 难点：椭圆标准方程的推导与化简。 (3)教
17、学过程 (一) 创设情境，认识椭圆。 材料：对椭圆的感性认识，通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，学生从感性上认识椭圆。 引入课题：椭圆及其标准方程。 (二)动手实验，亲身体会。 教师演示。引出研究思路。 思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢?( 学生分组试验) 试验一：用事先准备好的绳子，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什么图形? 提问 1：在整个过程中什么不变? 提问 2：笔尖(动点 )满足什么几何条件? 试验二：如果把细绳的两端拉开
18、一段距离，分别固定在图板的两点 F1、F 2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖(肘) ，画出的又是什么图形?( 教师巡视指导，展示学生成果) 分析实验，得出规律。 提问 1：在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 提问 2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有? 说明了什么? 提问 3：在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 提问 4：改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么? 学生总结规律：MF 1MF 2F 1F2轨迹为椭圆； MF 1MF 2F 1F2轨迹为线段； MF 1MF 2F 1F2轨迹不存在。 (三)总结归纳，形成概念。 定义：平面内
19、，到两个定点 F1、F 2 的距离之和等于常数 (大于F 1F2)的点的轨迹叫做椭圆。 提问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示? 例题：边学边用。深化理解定义 用定义判断下列动点 M 的轨迹是否为椭圆? (1)到 F1(2，0)、F 2(2，0)的距离之和为 6 的点的轨迹； (2)到 F1(0，2)、F 2(0，2)的距离之和为 4 的点的轨迹； (3)到 F1(2，0) 、F 2(2，0)的距离之和为 3 的点的轨迹。 1复习求曲线的方程的基本步骤： (1)建系；(2) 设点； (3)列式；(4)化简； (由学生回答，不正确的教师给予纠正。) 2如何选取坐标系? 教师分析椭圆，学生观察椭圆
20、的几何特征 (对称性)，如何建系能使方程更简洁? 学生讨论，经过比较确定方案：把 F1、F 2 建在 轴上，以 F1F2 的中点为原点，或者把 F1、F 2 建在 y 轴上，以 F1F2 的中点为原点。 3推导标准方程。 选取建系方法，让学生动手，尝试推导。 (请两位同学上台同时演示两种建系方法并推导方程) 例如：以过 F1、F 2 的直线为 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。设F 1F22c(c0)，点 M(，y)为椭圆上任意一点， 则 PM MF 1MF 22a( 称此式为几何条件)， 得2a(实现集合条件代数化 )， (想一想：下面怎样化简?) (1)教师为
21、突破难点。进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子? 对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢? 化简，得(a 2c 2)2a 2y2a 2(a2c 2)。 (2)b 的引入。 由椭圆的定义可知，2a2c，a 2c 20。 让点 M 运动到 y 轴正半轴上(如图)，由学生观察图形直观获得 a，c 的几何意义，进而自然引进 b，此时设 b2a 2c 2，于是得 b22a 2y2a 2b2，两边同时除以 a2b2，得到方程： 1(a b0)( 称为椭圆的标准方程)。 同理：建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 4相互比较，深化理解两种标准方程 学生讨论：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
22、得出结论：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定(焦点在分母大的坐标轴上) 5归纳概括掌握特征。 (1)椭圆标准方程形式： 它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是 1； (2)椭圆标准方程中三个参数 a，b，c 的关系：b2a 2c 2(ab0)； (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。 (四)尝试应用。范例教学。 例 1下列哪些是椭圆的方程，如果是。判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明 a、b，写出焦点坐标。例 2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(4，0)、(4，0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于 10. 变式一：将上题焦点改为(04)、(0，4)，结果如何? 变式二：将上题改为两个焦点的距离为 8，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和等于 10，结果如何? 例 3写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(0，2)、(0，2)，并且经过点 。 (五) 小结归纳、布置作业
