1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 34及答案与解析一、单项选择题1 函数 在 x=0 点( ) 。（A）极限存在，且等于 0（B）左、右极限存在，但极限不存在（C）左极限存在，但右极限不存在（D）左极限不存在，但右极限存在2 设函数 在 x=0 处连续，则常数 a 的值为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 则有( )。（A）I 1I 3 I2（B） I2I 1I 3（C） I2I 3I 1（D）I 1I 2 I34 直线 与平面 ：x+y+z=2 的位置关系是( )。（A）平行（B）相交但不垂直（C）垂直（D）直线 l 在平面 上5 已知 1， 2，
2、3， 4 是四维非零列向量，记 A=(1， 2， 3， 4)，A *是 A 的伴随矩阵，若齐次方程组 AX=0 的基础解系为(1 ，0，一 2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )。（A） 1， 2（B） 1， 3（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 46 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q 一 1AQ=( )。7 下列关于反证法的认识，错误的是( )。（A）反证法是一种间接证明命题的方法（B）反证法的逻辑依据之一是排中律（C）反证法的逻辑依据之一是矛盾律（D）反证法就是证明一个命题的逆否命题8 下列命题不
3、是义务教育数学课程标准(2011 年版)中规定的“图形与几何” 领域的“基本事实 ”的是( ) 。（A）两点之间线段最短（B）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直（C）三边分别相等的两个三角形全等（D）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等二、简答题9 求 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程。10 设曲线 y=f(x)=xn 在点(1，1)处的切线交 x 轴于(x n，0)，求 。11 设 (1)求A；(2) 已知线性方程组 AX=b 有无穷多解，求 a，并求 AX=b 的通解。12 什么是数学探究? 组织数学探究活动的基本策略是什么?13 简述课堂结束技能的含义，并列举至少三个结束技能实
4、施的方法。三、解答题13 已知矩阵14 求矩阵 A 的全部特征值和特征向量；15 A 是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵 T，使T 一 1AT 为对角阵；16 计算 。四、论述题17 在讲解立体几何的有关概念时，我们常常借助实物模型或图形，这体现了数学教学的哪一原则的要求? 并作简要的分析。五、案例分析题17 案例：某教师在进行二次根式教学时，给学生出了如下一道练习题：已知方x2+3x+1=0 的两个根分 ， ，求 的值。某学生的解答过程如下：解：因为=3 2 一 411=50，由一元二次方程根与系数的关系，得 +=3，=1 ，问题：18 指出该生解题过程中的错误，分
5、析其错误原因；19 给出你的正确解答；20 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题20 “中心对称和中心对称图形” 的教学目的主要有 知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。会根据关于中心对称图形的性质定理 2 的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。此外，通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。通过题干来完成下列教学设计。21 给出本课程的课题引入；22 根据教学目标设计教学环节；给出两个实例以进行知识探究。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学
6、能力）模拟试卷 34答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 且在零点处左右极限不相等，因此在 x=0 处极限不存在。2 【正确答案】 B【试题解析】 由函数 f(x)在 x=0 处连续，可知3 【正确答案】 D【试题解析】 关于 k 在(0，)上为单调增函数，又由于 (1，2，3) (0，)，则 I1I 2I 3，故选D。4 【正确答案】 B【试题解析】 直线 Z 的方向向量为 m=(2，一 1，一 3)，平面的法向量为n=(1，1，1) ，因为 m 和 n 既不垂直也不平行，所以直线 l 和平面 相交但不垂直。5 【正确答案】 D【试题解析】 AX=0 的基础解系只含有一个
7、向量，所以矩阵 A 的秩为 3，所以 A存在不为 0 的 3 阶子式，即 A*不为 0。所以 r(A*)1，又因为，此时A =0 ，由AA*=AE=0 ，知 r(A)+r(A*)4。知 r(A*)1，所以 r(A*)=1，所以 A*x=0 的基础解系含有三个向量。所以正确答案只可能是 C 和 D，因为(a 1，a 2，a 3，a 4)即 a1 一 2a0=0，所以 a1 与 a3 线性相关。而方程组的基本解系必须是线性相关的向量，所以正确答案为 D。6 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B。7 【正确答案】 D【试题解析】 反证法是假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通
8、过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，并不是证明它的逆否命题成立。8 【正确答案】 D【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)中规定的“图形与几何”领域的 9 条“基本事实”为：(1)两点确定一条直线；(2) 两点之间线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(7)两角及其夹边分别相等的两三角形全等；(8)三边分别相等的两个三角形全等：(9) 两条直线被一组
9、平行线所截，所得的对应线段成比例。二、简答题9 【正确答案】 根据题意可知，10 【正确答案】 设曲线在点(1，1)处的切线斜率为 k，由 f(x)=nxn 一 1，得 k=n，于是得到切线方程：yl=n(x 一 1)。令 y=0 得，x n=11 【正确答案】 12 【正确答案】 数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。组织数学探究学习活动，教师要讲究一些基本的策略：注重数学探究课题的选择；数学探究课题应该多样化；教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导
10、者、合作者；恰当评价学生在探究过程中的表现。13 【正确答案】 结束技能是教师在一个教学内容结束或一节课的教学任务终了时，有目的、有计划地通过归纳总结、重复强调、实践等活动使学生对所学的新知识、新技能进行及时地巩固、概括、运用，把新知识、新技能纳入原有的认知结构，使学生形成新的完整的认知结构，并为以后的教学做好过渡的一类教学行为方式。教学结束的具体方法多种多样，有：练习法，比较法与归纳法、提问法与答疑法、承上法与启下法、发散法与拓展法等。三、解答题14 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式15 【正确答案】 16 【正确答案】 四、论述题17 【正确答案】 这体现了数学教学中的具体与抽象相结
11、合的原则。从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解、从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论时，是从它的生动直觉开始。理性知识的形成，必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的，决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识。例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由理性到对更为广泛的具体的认识。数学教学实践表明通过实物直观、模象直观、语言直观，使学生形成鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽
12、象与具体相结合原则的前提。在数学教学中贯彻这一原则时：首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例。五、案例分析题18 【正确答案】 错解分析：解答本题时，学生忽视了二次根式的除
13、法法则成立的条件是 a0，b0，从而导致错误。事实上，由 =1，知 ，这两个根式是同正或同负的。又由 +=一 3，=1 ，可知 0 且 0，故19 【正确答案】 正确解答：20 【正确答案】 解题所运用的是化归思想。六、教学设计题21 【正确答案】 课题引入：(引导性材料) 想一想：怎样的两个图形叫作关于某直线成轴对称? 成轴对称的两个图形有什么特点 ? (帮助学生复习轴对称的有关知识，为中心对称教学作准备) 画一画：如图1(1)，已知点 P 和直线 l，画出点 P 关于直线 l 的对称点 P；如图 1(2)，已知线段MN 和直线 a，画出线段 MN 关于直线 a 的对称线段 MN。 (通过画
14、图形进一步巩固和加深对轴对称的认识) 上述问题由学生回答，教师作必要的提示，并归纳总结成下表： 观察与思考：图2 所示的图形关于某条直线成轴对称吗?如果是，画出对称轴，如果不是，说明理由。 (教师把图 2 的两个图形制成投影片或教具，学生仔细观察后，能发现这两个图形都不是轴对称。然后，教师适时提出问题：这两个图形能不能重合?怎样才能使这两个图形重合呢? 让学生观察、探究、讨论，教师可以直观地演示中心对称变换的过程，让学生发现：把其中一个图形统一特殊点旋转 180 度后能与另一个图形重合。) 问题 1：你能举出12 个实例或实物，说明它们也具有上面所说的特性吗? 说明：学生自己举例有助于他们感性
15、地认识中心对称的意义。然后，教师指出：具有这种特性的图形叫作中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。 问题 2：你能给“中心对称” 下一个定义吗? 说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：有一个对称中心 点； 图形绕中心旋转 180度；旋转后与另一图形重合。把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称 ”字样，以利于写 “轴对称”进行比较。22 【正确答案】 教学环节： 环节 1：练一练：在图 3 中，已知 AABC 和 AEFG 关于点 O 成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。 说明与建议：教师可演示 AABC
16、绕点 O 旋转 180 度后与 AEFG 重合的过程，让学生说出点 E 和点 A，点 B 和点 F，点 C 和点 G 是对称点；线段 AB 和 EF、线段AC 和 EG，线段 BC 和 FG 都是对称线段。教师还可向学生指出，上图中，点A、O、E 在一条直线上，点 C、O、G 在一条直线上，点 B、O 、F 在一条直线上，且 AO=EO，BO=FO，CO=GO。 问题：从上面的练习及分析中，可以看出关于中心对称的两个图形具有哪些性质? 说明与建议：引导学生总结出关于中心对称的两个图形的性质：定理 l关于中心对称的两个图形是全等形；定理 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被
17、对称中心平分。 问题：定理 2 的题设和结论各是什么?试说出它的逆命题。 说明与建议：学生解答此题有困难，教师要及时引导。特别是叙述命题时，学生常常照搬“对称点”“对称中心”这些词语，教师应指出：由于没有“两个图形关于中心对称” 的前提，所以不能使用“对称点”“对称中心”这样的词语，而要改为“对应如”“某一点”。最后，教师应完整地叙述这个逆命题如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于点对称。 问题：怎样证明这个逆命题是正确的? 说明与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。由已知条件对应点的连线都经过某点，并且被这一点平分，可以知道：若把其中一个图形绕着
18、这点旋转 180 度，它必定与另一个图形重合，因此。根据定义可以判定这两个图形关于这一点对称。这个逆命题即为逆定理。根据这个逆定理，可以判定两个图形关于一点对称，也可以画出已知图形关于一点的对称图形 环节 2：练一练：画出图 4 中，线段 PO 关于点 O 的对称线段 PQ。 (画法如下：(1)连结 PO，延长PO 到 P，使 OP=OP，点 P就是点 P 关于点 O 的对称点。(2)连结 QO，延长 QO到 Q，使 QQ=OQ，点 Q就是点 Q 的对称点，则 PO就是线段 PO 关于 O 点的对称线段。教师应指出：画一个图形关于某点的中心对称图形，关键是画“对称点” 。比如，画一个三角形关于某点的中心对称三角形，只要画出三角形三个顶点的对称点，就可以画出所要求的三角形。)
