1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 9及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=-x.cosx 的部分图象是 ( )。 2 下列矩阵中，( ) 是正定矩阵。 3 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 p=1 的充要条件是( )。（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，X-Y)=0（D）Cov(X-Y，X)=04 样本(x 1,x2，x m)的平均数为 ，样本(y 1，y 2，y m)的平均数为 。若样本(x 1x2，x n，y 1，y 2，y n)的平均数 ，其中 ，则n，m 的大小关系为(
2、 ) 。（A）nm（B） nm（C） n=m（D）不能确定5 若 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则( )。（A）b=2，c=3（B） b=2，c=-1（C） b=-2， c=-1（D）b=-2，c=36 对于常数 m、n，“mn0”是“ 方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆” 的( )。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7 在高等代数数中，有一个线性变换叫做正交变换。即不改变任意两点的距离的变换。下列变换中不是正交变换的是( )。（A）平移变换（B）旋转变换（C）反射变换（D）相似变换8 配对题属于( ) 试题类
3、型。（A）应用性（B）探究性（C）客观性（D）开放性二、简答题9 在ABC 中，已知 A，B，C 对应的边分别为 A，B，c ，且 C=2A， (1)求 cosC 和 cosB 的值； (2) 当 时，求 A，b，c 的值。10 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a,a)，(3，2， 1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，求 a。11 设数列a n前 n 项和为 Sn，且 an+Sn=1(nN*) (1)求a n的通项公式； (2) 若数列bn满足 b1=1 且 2bn+1=bn+an(n1)，求数列b n的通项公式。12 请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。13 如
4、何处理面向全体学生与关注学生个体差异的关系?三、解答题14 已知a n是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n项之后各项 an+1，a n+2，的最小值记为 Bn，d n=An-Bn。 (1)若a n为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 NN*，a n+4=an)，写出 d1，d 2，d 3，d 4 的值； (2)设 d 为非负整数，证明：d n=-d(n=1，2，3)的充分必要条件为a n为公差为 d 的等差数列； (3)证明：若 a1=2，d n=1(n=1，2，3，)，则a n的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1，四、
5、论述题15 给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试以其中一种为例，说明该种方法的基本特点。五、案例分析题16 案例：某教师在进行圆锥曲线的教学时，给学生出了如下一道练习题： 求过点(0，1)的直线，使它与抛物线产 y2=2x 仅有一个公共点。 某学生的解答过程如下： 问题： (1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； (2)给出你的正确解答； (3)指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题17 高中“方程的根与函数的零点”( 第一节课)设定的教学目标如下：通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，理解提出零点概念的
6、作用，沟通函数与方程的关系。通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系。掌握函数零点存在性的判断。完成下列任务：(1)根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图；(2)根据教学目标 ，设计问题链(至少包含三个问题)，并说明设计意图；(3)根据教学目标 ，给出至少一个实例和三个问题，并说明设计意图；(4)确定本节课的教学重点；(5)作为高中阶段的基础内容，其难点是什么?(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 9答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 函数 y
7、=-xcosx 是奇函数，图象不可能是 A 和 C，又当 时，y0，故选择 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 由正定矩阵的顺序主子式大于 0 计算得出 C 选项为正定矩阵。3 【正确答案】 D【试题解析】 已知 DX=DY=20，故 得到：Cov(X，Y)=Cov (X ，X) ， 得到：Cov(X，Y-X)=0 。 得到：Cov(X-Y，X)=0。4 【正确答案】 A【试题解析】 由统计学知识，可得 x1+x2+xn= ， x1+x2+xn+y1+y2ym=，所以所以 。故 n-m=(m+n)a-(1-a)=(m+n)(2a-1)。因为 ，所以 2a-10，所以 n-m0，即 nm。5
8、【正确答案】 D【试题解析】 根据实系数方程的根的特点知 也是该方程的另一个根，所以 2=-b，即 b=-2， ，故答案选择D。6 【正确答案】 B【试题解析】 方程，mx 2+ny2=1 的曲线表示椭圆，常数 m，n 的取值为 所以，由 mn0 得不到方程，mx 2+ny2=1 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn0，因而必要，所以答案选择 B。7 【正确答案】 D【试题解析】 相似变换改变两点之间的距离，其余三种变换都不改变任意两点间的距离。8 【正确答案】 C【试题解析】 客观性试题包括选择题、填空题、是非题、配对题、排序题等，故选择 C。二、简答题9 【
9、正确答案】 (1)C=2 A， cosC=cos2A=2cos2A-1= cosB=cos-(A+C)=-cos(A+C)=sinAcosC-cosAsinC=(2) ac=24 由正弦定理有 解得：a=4，c=6 b 2=a2+c2-2accosB=42+62-246=25 b=510 【正确答案】 =(a-1)(2a-1)=0，得 a=1， ，但题设a1，故11 【正确答案】 (1) an+Sn=1 an+1+Sn+1=1 两式相减得：a n+1-an+Sn+1-Sn=0 2an+1=an 又 n=1 时，a 1+S1=1 a1= an是首项为 ，公比为 的等比数列 a n=a1qn-1=
10、(2)2bn+1=bn+an 2bn+1-bn= 两边同乘以 2n 得：2 n+1bn+1-2nbn=1 2nbn是首项为 2b1=2，公差为 1 的等差数列 2 nbn=2+(n-1)=n+1 12 【正确答案】 应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有
11、据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。13 【正确答案】 教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而使他们增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当
12、评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。三、解答题14 【正确答案】 (1)d 1=d2=1，d 3=d4=3； (2)(充分性)因为a n是公差为 d 的等差数列，且 d0，所以 a1a2a n 因此 An=an，B n=an+1，d n=an-an+1=-d(n=1，2，3)d n=-d(n=1，2，3) (必要性) 因为 dn=-d0(n=1，2，3)，所以An=Bn+dnBn 又因为 anAn，a n+1B
13、n，所以 anan+1，于是 An=an，B n=an+1。 因此an+1-an=Bn-An=-dn=d，即a n是公差为 d 的等差数列。 (3)因为 a1=2，d 1=1，所以A1=a1=2，B 1=A1-dn=1。故对任意 n1，A nB1=1。 假设a n(n2)中存在大于 2 的项。设 m 为满足 an2 的最小正整数，则 m2，并且对任意 1km，a k2， 又因为a1=2，所以 Am-1=2，且 Am=am2。 于是 Bm=Am-dm1，B m-1=minam，B m2。 故 dm-1=Am-1-Bm-10，与 dm-1=1 矛盾。 所以对于任意 n1，有 an2，即非负整数列a
14、 n的各项只能为 1 或 2。 因此对任意 n1，a n2=a1，所以 An=2 故 Bn=An-dn=2-1=1。 因此对于任意正整数 n，存在 m 满足 mn，且 am=1，即数列a n有无穷多项为 1。四、论述题15 【正确答案】 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何的方法，函数的方法等。综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形的全等关系或一个三角形内两边的相等关系。空间两直线的垂直问
15、题转化为平面两直线垂直(如三垂线定理) ，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)错解分析：这个解法共有三处错误。 第一，设所求直线为y=kx+1 时，没有考虑斜率不存在的情形，实际上就是对直线的点斜式理解不透，以为点斜式可以表示所有直线。 第二。题目要求直线与抛物线只有一个公共点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。 第三，将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后，直接用判别式解题，是对一元二次方程形式
16、不熟悉的表现。没注意到二次项系数为零时，方程不是一元二次方程，不能用二次方程相关知识解题，需要对 k 为零和不为零进行讨论。 这三处错误。都体现出对基本概念的特征理解不明确。 (2)正确解答： 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x 轴，因为过点(0，1)，所以方程为 x=O 即 y 轴，它正好与抛物线 y2=2x相切。 当所求直线斜率为零时，直线为 y=1 平行 x 轴，它正好与抛物线 y2=2x 只有一个公共点。 一般地，设所求的过点(0，1)的直线为 y=kx+1(k0)则令=0 解得 ，所求直线为 x=0，y=1，。 (3)解题时运用了分类讨论、化归的数学思想方法。六、教学设计题17
17、【正确答案】 (1)问题引入：求方程 3x2+6x-1=0 的实数根。 变式：解方程3x5+6x-1=0 的实数根。(一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“ 阅读与思考 ”，还有如 lnx+2x-6=0 的实数根很难下手，我们寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。) 设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。 (2)问题：求方程
18、x2-2x-3=0 的实数根，并画出函数 y=x2-2x-3 的图象； 问题：观察形式上函数 y=x2-2x-3 与相应方程 x2-2x-3=0 的联系。 问题：由于形式上的联系，则方程 x2-2x-3=0 的实数根在函数，r=x2-2x-3 的图象中如何体现? 设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 (3)实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(图略)，哪一组能说明他的行
19、程一定曾渡过河? 设计意图：从现实生活中提出的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。 问题：将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A、B 酉点。请问当 A、B 与 x 轴是怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点? 设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。 问题：A、B 与 x 轴的位置关系，如何用数学符号(式子)来表示? 设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。 问题：满足条件的函数图象与 x 轴的交点一定在(a
20、，b)内吗?即函数的零点一定在(a，b)内吗? 设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。 (4)教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。 (5)教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。 (6)本节课是在学生学习了基本初等函数(I)的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备。
