1、教师公开招聘考试中学数学（简易逻辑与推理证明）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 “关于 x 的方程盘 ax2+x+2=0 至少有一个负的实根 ”的充要条件是( )（A）a0（B） a0 或 a=（C） a0 或 a=0（D）a2 已知命题 P： a，b(0 ，+) ，当 a+b=1 时，a 2+b2=1，命题 q： xR，x 2 一x+20 恒成立，则下列命题是假命题的是( ) 3 若集合 P=1，2，3，4 ，5，Q=x 0x9，x R，则( )（A）“xP”是“x Q”的充分不必要条件（B） “xP”是“x Q”的必要不充分条件（C） “xP”是“x Q”的充要条件（D）“xP”既不
2、是“x Q”的充分条件，也不是“x Q”的必要条件4 在ABC 中，若 b=asinB，则此三角形一定是( )（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）等腰直角三角形5 已知命题 p：函数 y=ax(a0)在 R 上单调递增；命题 q：关于 x 的不等式x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立；若 pq 为假，p q 为真，则 a 的取值范围为( )（A）(一 2，+)（B） (一，一 2（C） (一 2，12，+)（D）(1 ，2)6 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且周期为 4，则“f(x)在0，1上是增函数”是“f(x)在3 ，4上是增函数”的( ) （A）既不充分也
3、不必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）充要条件7 “关于 x 的方程 ax2+4x+1=0 至少有一个负的实根 “的充要条件是( )（A）a4（B） a4（C） 0a4（D）0a4 或 a08 已知向量 m=(3，2 一 x)与向量 n=(x，5)垂直，则 x=( )（A）2（B）一 2（C） 5（D）一 59 已知集合 A=xx 2 一 2x-30)，集合 B=xx 一 21，则“m A”是“mB”的( )（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条伺（D）既不充分也不必要条件10 下列命题是真命题的是( )（A）两个锐角之和一定是钝角（B）方程 x2+3x+2=0
4、 的根是 x=1（C）各边对应成比例的两个多边形一定相似（D）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边11 已知数列a n，b n的通项公式分别为：a n=2n+1，b n=2n+1，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个12 设命题 p：1x5；命题 q：x 2 一 ax+20命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为 ( )（A）3 ， )（B） (一，3（C） 3，+)（D） ，+)13 设命题 p：函数 y=ln(ax2 一 x+1)的定义域为 R，命题 q：方程 a2x+4=0 在一1，1上有实根若命题“p 或
5、 q”是假命题，则 a 的取值范围为( )（A）(一， 2（B） ( ，2)（C） -2， （D）-2，214 设集合 A、B 为非空集合，A=x2a+1x3a 一 3，B=xy=，则 “AB=A”的一个充分不必要条件是( )（A）1a5（B） a7（C） 4a7（D）5a 615 设命题 p：函数 y=ln(x2 一 2ax+1)的定义域为 R；命题 q：方程 x2 一(a+1)x+4=0在0， 3上有两个不同的实根若 pq 为假，p q 为真，则 a 的取值范围为( )二、填空题16 已知 a0 ，b0，m= ，则 m 与 n 的大小关系为_17 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，
6、若 ，且A，B，C 三点共线 (该直线不过点 O)，则 S86=_18 已知 a，b ，c ，均为正数，且 ac，bc， =1，若以 a，b，c 为三边构造三角形，则 c 的取值范围是 _。19 定义集合运算：AB=Z Z=xy，xA，y B，设集合 A=一 2，0，1，集合B=tana,sina)(其中 a=2k+ )，则集合 AB 的所有元素之和为_20 用反证法证明命题“ 如果 ab，那么 a3+1b 3+1”时，假设的内容应为_21 已知向量 m=(2，一 1)与向量 n=(x，32x)垂直，则 x=_22 已知命题 p：x 2 一 x12，命题 q：log 2x1，若 “pq”与“
7、”同时为假命题，则 x 的取值范围为_23 观察下列各式：a+b+1=2，a 2+b2+2=5，a 2+b2+3=7，a 4+b4+4=11，a 5+b5+5=16，则a10+b10+10=_24 已知 a，n 均为正数，且 a+b=2，则使得 恒成立的 的取值范围是_25 已知下列三个方程：x 2+2axa+2=0，x 2+(a 一 1)x+1=0，x 2+4ax-4a+3=0 其中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围为_三、解答题26 用数学归纳法证明：当 n=2a(aN*)时，x n 一 yn 能被 xy 整除27 已知 a，b 是不相等的正数，求证： a4+b42a 3b+2a
8、b3 一 2a2b228 已知命题 p：1x2；命题 q：f(x)=x 3 一 3ax2+4x+8 单调递减若命题 p 是命题q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围29 设函数 f(x)=(log2x)2，若 0ab，且 f(a)f(b)，求证：ab 1教师公开招聘考试中学数学（简易逻辑与推理证明）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题需分情况讨论，当 a=0 时，原方程为 x+2=0，解得 x=一 2，题干命题成立；当 a0时，设 y=ax2+x+2，该函数图象恒过(0，2)点当 a0 时，需满足 恒成立，满足“至少有一个负的实根”综上所述，“a ”满足题
9、意【知识模块】 简易逻辑与推理证明2 【正确答案】 C【试题解析】 令 a=b= ，此时 a+b=1，a 2+b21，所以命题 p 为假设 f(x)=x2-x+2，得 =180，故函数 f(x)和 x 轴无交点又因为函数 f(x)图象开口向上，故对任意 xR， x2 一 x+20 恒成立，所以命题 q 为真由上述可得，为假【知识模块】 简易逻辑与推理证明3 【正确答案】 A【试题解析】 P=1 ，2，3，4，5，Q=x0x9，x R，所以由“xP” 可以推出“x Q”，而由 “xQ”不能推出 “xP”，因此“xP”是“x Q”的充分不必要条件【知识模块】 简易逻辑与推理证明4 【正确答案】 C
10、【试题解析】 因为 b=asinB，根据三角形正弦定理可知，即 sinA=1，又因为 A(0，) ，所以 A= ，即ABC 为直角三角形【知识模块】 简易逻辑与推理证明5 【正确答案】 C【试题解析】 若函数 y=ax(a0)在 R 上单调递增，则 a1；关于 x 的不等式x2+2ax+40 对一切xR 恒成立，则0，即一 2a2若 pq 为假，pq 为真，则 p，q 一真一假：当 p 为真、q 为假时，a 的取值范围为2，+)；当q 为真、p 为假时，a 的取值范围为 (一 2，1所以 a 的取值范围为(一 2，12，+)【知识模块】 简易逻辑与推理证明6 【正确答案】 D【试题解析】 因为
11、 f(x)是定义在 R 上的奇函数，又因为 f(x)在0，1上是增函数，所以 f(x)在 一 1，0上也是增函数又因为 f(x)的周期为 4，所以 f(x)在3，4上是增函数，即由“f(x)在0， 1上是增函数”能推出“f(x)在3，4上是增函数”；同理可得，由“f(x)在3，4上是增函数 ”可推出“f(x)在0，1上是增函数”。故本题选 D【知识模块】 简易逻辑与推理证明7 【正确答案】 B【试题解析】 设函数 f(x)=ax2+4x+1 恒过点(0，1)，对称轴 x=一 ，若要方程ax2+4x+1=0 至少有一个负的实根，首先要满足 0，即 a4当 a0，即 f(x)开口向上时，对称轴 x
12、=一 0，此时，f(x)必有一零点在 x 轴的负半轴上，所以0a4 符合条件；当 a0，即 f(x)开口向下时，x 1，x 2= 0 恒成立，即方程的两根为一正一负，所以 a0 符合条件；当 a=0 时，4x+1=0，x= 一 ，符合题意综上所述，“关于 x 的方程 ax2+4x+1=0 至少有一个负的实根”的充要条件是a4【知识模块】 简易逻辑与推理证明8 【正确答案】 C【试题解析】 mn=3x+5(2 一 x)=102x，若 mn，则 mn=0，解得 x=5【知识模块】 简易逻辑与推理证明9 【正确答案】 A【试题解析】 由题干可知，集合 A=x一 1x3，集合 B 一z l 1z3)，
13、则由“mA”不能推出“mB”，由“mB”可以推出“m A”，所以“mA” 是“mB”的必要不充分条件【知识模块】 简易逻辑与推理证明10 【正确答案】 D【试题解析】 若A=20 ， B=30，A+B=50仍为锐角，所以 A 项为假命题；方程 x2+3x+2=0 的根是 x1=一 1，x 2=一 2，所以 B 项为假命题；各边对应成比例的两个多边形不一定相似，例如正方形与菱形对边成比例但不相似，所以 C 项为假命题；等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，D 项正确【知识模块】 简易逻辑与推理证明11 【正确答案】 B【试题解析】 依题意，a1=3， a2=5， a3=7，a 4=9，
14、；b 1=3，b 2=5，b 3=9，b 3=17，且当 n2 时，2n+1 2n+1 恒成立，所以两个数列中序号与数值均相同的项有ai=b1=3，a 2=b2=5，故本题选 B【知识模块】 简易逻辑与推理证明12 【正确答案】 D【试题解析】 因为命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，所以由 p 可以推出 q，由q 不能推出 p，则不等式 x2 一 ax+20的解集不为空集命题 q：x 2 一 ax+20，即。【知识模块】 简易逻辑与推理证明13 【正确答案】 C【试题解析】 若函数 y=ln(ax2 一 x+1)的定义域为 R，则 ax2-x+10 恒成立，解得a ；若方程 a2x+4=
15、0 在一 1，1上有实根，则 a2(一 1)+40 且 a21+40，解得 a2 或 a一 2因为命题“p 或 q”是假命题，所以命题 p，q 均为假命题，则 a 的取值范围为 【知识模块】 简易逻辑与推理证明14 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=A，所以=x 3x18，所以 2a+13且 3a一 318，且 3a 一 32a+1，解得 4a7综合四个选项，只有“5a6”能推出“AB=A”，而由 “AB=A”推不出“5a6”故本题答案选 D【知识模块】 简易逻辑与推理证明15 【正确答案】 A【试题解析】 若要函数 y=ln(x2 一 2ax+1)的定义域为 R，则需 x2 一 2a
16、x+10 在 R上恒成立，即=4a 2 一 40，得一 1a1若要方程 x2 一(a+1)x+4=0 在0 ，3上有两个不同的实根，设【知识模块】 简易逻辑与推理证明二、填空题16 【正确答案】 nm【试题解析】 因为 a0，b0，且 2x 单调递增，即 nm【知识模块】 简易逻辑与推理证明17 【正确答案】 43【试题解析】 因为 且 A，B ，C 三点共线(该直线不过点 O)，所以 a43+a44=1，又因为数列a n为等差数列，则S86= =43(a43+a44)=43【知识模块】 简易逻辑与推理证明18 【正确答案】 (5，9)【试题解析】 要以 a，b ， c 为三边构造三角形，需要
17、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以 a+bc 恒成立根据均值定理，a+b=(a+b)9，所以 c9，又因为 ac ，b c ，所以=1，即 c5，所以 5c9【知识模块】 简易逻辑与推理证明19 【正确答案】 一 1 一【试题解析】 依题意可知，集合 B=1， ，因为AB=Z Z=xy，xA，y B)，集合 A=一 2，0 ，1，所以 AB=。【知识模块】 简易逻辑与推理证明20 【正确答案】 a 3+1b3+1【试题解析】 根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，所以本题中应假设盘 a3+1b3+1【知识模块】 简易逻辑与推理证明21 【正确答案】 【试题解析】
18、 mn=2x+( 一 1)(32x)=4x 一 3，因为 mn，所以 mn=0 ，即 x=【知识模块】 简易逻辑与推理证明22 【正确答案】 2，4)【试题解析】 命题 p： x2 一 x12，则 x2 一 x12或 x2 一 x一 12，解得：x4或 x一 3；命题 q：log 2x1，解得 x2若“pq” 与“ ”同时为假命题，则 p 为假命题、q 为真命题，所以 x 的取值范围为2，4)【知识模块】 简易逻辑与推理证明23 【正确答案】 133【试题解析】 依题中规律可得：a+b=1，a 2+b2=3，a 2+b2=4，a 4+b4=7，a 5+b5=11，令 Sn=an+bn，易得Sn
19、+2=Sn+Sn+1，从而 S6=18，S 7=29，S 8=47，S 9=76，S 10=123，所以a10+b10+10=133【知识模块】 简易逻辑与推理证明24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 简易逻辑与推理证明25 【正确答案】 (一，一 1 ，+)【试题解析】 假设三个方程都没有实数根则，故三个方程至少有一个方程有实数根的 a 的取值范围是(一，一 1 ，+) 【知识模块】 简易逻辑与推理证明三、解答题26 【正确答案】 因为 n=一 2a(aN*)， 所以当 a=1，即 n=2 时，x n 一 yn=x2 一y2=(x 一 y)(x+y)，能被 xy 整除，成立 假设
20、a=b，即 n=2k(kN*)时，能被 xy 整除 则当 a=k+1，即 n=2k+1(kN*)时，也能被 xy 整除 综合可知，当 n=2a(aN*)时，x n 一 yn 能被 xy 整除【知识模块】 简易逻辑与推理证明27 【正确答案】 要证明 a4+b42a 3b+2ab3 一 2a2b2，只需证明a4+b4+2a2b22a 3b+2ab3， 即证明(a 2+b2)22ab(a 2+b2)，(a 2+b2)2 一 2ab(a2+b2)0， 只需证明(a 2+b2)(a2+b2 一 2ab)0，即(a 2+b2)(a-b)20， 因为 a，b 是不相等的正数，所以上式显然成立， 故 a4+
21、b42a 3b+2ab3 一 2a2b2 得证【知识模块】 简易逻辑与推理证明28 【正确答案】 因为命题 p 是命题 q 的充分不必要条件， 所以由 p 可以推出 q，由 q 不能推出 p 则题目可转化为 f(x)=x3 一 3ax2+4x+8 在一 1x2 上时单调递减，求 a 的取值范围 f(x)=3x2 一 6ax+4=3(x 一 a)2+43a2， 则 f(x)0 在 1x2 上恒成立， 即 【知识模块】 简易逻辑与推理证明29 【正确答案】 因为 f(x)=(log2x)2，f(a)f(b)， 所以(log 2a)2(log 2b)2，即log 2 alog 2 b， 令 g(x)=log2 x，则 g(x)在定义域上单调递增， 因为 0ab，所以 log2alog 2b， 又因为log 2alog 2b， 所以一 log2a一 log2b，即b， 所以 ab1【知识模块】 简易逻辑与推理证明
