1、2014 年 4 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设行列式 ( )（A）一 15（B）一 6（C） 6（D）152 设 A，B 为 4 阶非零矩阵，且 AB=0，若 r(A)=3，则 r(B)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设向量组 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T，则下列向量中可由 1， 2 线性表出的是 ( )（A）(0 ，一 1，2) T（B） (一 1，2，0) T（C） (一 1，0，2) T（D）(1 ，
2、2，一 1)T4 设 A 为 3 阶矩阵，且 r(A)=2，若 1， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同的解k 为任意常数，则方程组 Ax=0 的通解为 ( )（A）k 1（B） k2（C）（D）5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+x32 一 2x1x2+4x1x3-2x2x3 的矩阵是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 3 阶行列式 第 2 行元素的代数余子式之和 A21+A22+A23=_7 设 A 为 3 阶矩阵，且|A|=2，则|A*|=_8 设矩阵 ，则 ABT=_9 设 A 为 2 阶矩阵，且 ，则|(一 3A)-1
3、|=_10 若向量组 1=(1，一 2，2) T， 2=(2，0，1) T， 3=(3，k，3) T 线性相关，则数k=_11 与向量(3 ，一 4)正交的一个单位向量为_12 齐次线性方程组 的基础解系所含解向量个数为_13 设 3 阶矩阵 A 的秩为 2， 1， 2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同解，则方程组 Ax=b 的通解为_ 14 设 A 为 n 阶矩阵，且满足|E+2A|=0，则 A 必有一个特征值为_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+x22+x32 的正惯性指数为_三、计算题16 计算行列式 的值17 设矩阵 求可逆矩阵P，使得 PA=B.1
4、8 设矩阵 ，矩阵 X 满足 XA=B，求 X19 求向量组 1=(1，一 1，2，1) T， 2=(1，0，1，2) T， 3=(0，2，0，1) T， 4=(一1，0，一 3，一 1)T， 5=(4，一 1，5，7) T 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出20 求线性方程组 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)21 已知矩阵 的一个特征值为 1，求数 a，并求正交矩阵 Q 和对角矩阵，使得 Q-1Q=A.22 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22 一 2x32+4x1x2+2x2x3 为标准形，并写出所作的可逆
5、线性变换四、证明题23 设 1， 2， 3 为齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明21+2+3， 1+22+3， 1+2+33 也是该方程组的基础解系2014 年 4 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 因 AB=0，r(A)=3 ，则矩阵 B 应与 A 有相同的阶数，所以 r(B)=33 【正确答案】 B【试题解析】 B 选项中(一 1，2，0) T=一 11+22， A、C、D
6、选项均不可由 1， 2表示4 【正确答案】 D【试题解析】 1 与 2 为 Ax=0 的两个不同解，是 r(A)=2，A 的阶数为 3，则有 1个基础解，故其通解为5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 A 21+A22+A23= =07 【正确答案】 4【试题解析】 |A*|=|A| n-1=22=48 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 一 10【试题解析】 行列式 即 k=一 10时，线性方程组有非零解，则 1， 2
7、， 3 线性相关11 【正确答案】 【试题解析】 设向量(xy)与(3，一 4)正交，则 3x 一 4y=0， ，则所求单位向量为12 【正确答案】 1【试题解析】 系数矩阵为 ，同解方程组为 即 所以基础解系有 1 个解向量13 【正确答案】 (k+1) 1 一 k2，k 为任意常数【试题解析】 1,2 为 Ax=b 的解，则 1 一 2 是 Ax=0 的解，所以 Ax=b 的通解为1+k(1 一 2)=(k+1)1 一 k214 【正确答案】 【试题解析】 由|E+2A|=0 可得 所以必有一个特征值为15 【正确答案】 2【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为 其中 k=2，
8、所以正惯性指数为2三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 矩阵 A，经过初等变换得矩阵 B，由 A 和 B 的关系知初等矩阵，可使 PA=B.18 【正确答案】 19 【正确答案】 A=( 1， 2， 3， 4， 5)=所以向量组的秩为 3，其极大线件无关组为 1， 2， 3， 4 及 5 用 1， 2， 3 表示出来为： 4=一 21+2 一 3， 5=1+3220 【正确答案】 可得原方程组的同解方程组 取 x3=0 得一个特解 原方程组导出同解方程组 令 x3=1 可得基础解系 于是原方程组通解为=*+k，k 为任意常数21 【正确答案】 由 =(a 一 2)(一 2)(a)一
9、 1=0，因为 1 是特征值，则代入得 2 一 a=0，a=2 ，所以矩阵 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=3，当 1=1 时，由方程组(E-A)x=0，得 1=1 的特征向量当 2=2 时，由方程组(2E-A)x=0，得 2=2 的特征向量 当 3=3 时，由方程组(3EA)x=0 ，得 3=3 的特征向量 得22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x1x2+4x22 一 x22+2x2x3 一 x32-x32=(x1+2x2)2 一(x 2一 x3)2-x32， 则二次型 f(x1，x 2，x 3)的标准型为 f=y12 一 y22 一 y32四、证明题23 【正确答案】 1， 2， 3 为齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系令1=21+2+3， 2=21+22+3， 3=21+22+23 可表示为 可知1， 2， 3 线性无关Ax=0 中任一个解 均可由 1， 2， 3 线性表示所以1， 2， 3 也是 Ax=0 的基础解系
