1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 12 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设行列式 =0，则 k 的值为 ( )（A）一 3 或 2（B） 2（C） 0（D）一 2 或 32 设矩阵 A，B，C 满足 AC=CB，且 C 为 m n 矩阵，则 A 和 B 分别是 ( )（A）n m 与 m n 矩阵（B） n n 与 m m 矩阵（C） m m 与 n n 矩阵（D）m n 与 n m 矩阵3 设 A=(aij)是 s r 矩阵，B=(b ij)是 r s 矩阵，如果 BA=Ir，则必
2、有 ( )（A）rs（B） rs（C） rs（D）rs4 设 A 为 n 阶对称矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是 ( )（A）A+A T（B） A-AT（C） ATA（D）AA T5 以下结论中不正确的是 ( )（A）二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22；是正定二次型（B）若存在可逆实矩阵 C，使 A=CC，则 A 是正定矩阵（C） n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值全为正数（D）n 元实二次型正定的充分必要条件是 f 的正惯性指数为 n二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 在齐次线性方程组 Amnx=0 中，若秩(A)=k 且
3、1， 2， r 是它的一个基础解系，则 r=_；当 k=_时，此方程组只有零解7 设 1=(2，一 1，0，5) ， 2=(一 4，一 2，3，0) ， 3=(一 1，0，1，k)， 4=(一1，0，2，1) ，则 k =_时， 1， 2， 3， 4 线性相关8 若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当_时，方程组有唯一解；当_时，方程组有无穷多解9 设 1=(2，一 1，3，0) ， 2=(1，2，0，一 2)， 3=(0，一 5，3，4)， 4=(一1，3，t，0)，则_时， 1， 2， 3， 4 线性相关10 齐次线性方程组 只有零解，则 k 应满足的条件是_11 已知 =
4、(3，5，7，9) ，=(一 1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_12 设 A 为 4 阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A*x=0(A*是 A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为_13 当 k=_时，向量 =(1，k，5)能由向量 1=(1，一 3，2)， 2=(2，一 1，1)线性表出14 设 则 Ax=0 的通解为_ 15 已知 1=(1，1，2，2，1)， 2=(0，2，1，5，一 1)， 3=(2，0，3，一 1，3)，4=(1， 1，0， 4，一 1)，则秩( 1T， 2T， 3T， 4T)=_三、计算题16 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且
5、 A3 一 3A2+5A-3E=0证明：A 正定17 设 =1 是矩阵 的特征值，求：(1)t 的值；(2)对于 =1 的所有特征向量18 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵19 设矩阵 A 与 B 相似，其中 (1)求 x 和 y的值；(2)求可逆矩阵 P，使得 p-1AP=B20 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n) 为实数，试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次
6、型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型?21 设 求 A10022 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)mn 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= (1)记x=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并说明二次型 f(x)的矩阵为 A-1；(2)二次型 g(x)=xTAx 与 f(x)的规范形是否相同? 说明理由四、证明题23 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明：向量组 1+2， 2+3， 3+1 也线性无关.全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 12 答案与解
7、析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 =k2 一 2 一 k 一 4=k2 一 k 一 6 一(k+2)(k 一 3)=0，所以k=一 2 或 k=32 【正确答案】 C【试题解析】 根据矩阵乘法的定义，A 的列数等于 C 的行数，A 的行数等于 C的行数，因此 A 为 mm 矩阵；同理 B 的行数等于 C 的列数，B 的列数等于 C 的列数，因此 B 为 nn 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 r=r(Ir)=r(BA)minr(B),r(A)，故得 r(B)r，且
8、 r(A)r，故rs4 【正确答案】 B【试题解析】 若 A 为对称矩阵，则 A=AT，选项 B，(A AT)T=AT 一 A，故不是对称矩阵5 【正确答案】 A【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22，对应的矩阵 对任何实列向量x，都有 xTAx0，故 f 为半正定二次型，答案为 A.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 n 一 k，n【试题解析】 方程组 Amnx=0 的未知量个数为 n，故 r=n 一秩(A)=n 一 k 方程组只有零解，也即 r=0，故当 k=n 时，方程组只有零解7 【正确答案】 【试题解析】 只需满足8 【正
9、确答案】 r=n，r n【试题解析】 当 r=n 时，方程组有唯一解；当 rn 时，方程组有无穷多解9 【正确答案】 tR【试题解析】 同上只需满足即 t 为任意实数都有1， 2， 3， 4 线性相关10 【正确答案】 【试题解析】 方程组只有零解，说明系数矩阵满秩11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 4【试题解析】 秩(A)=2，则秩(A*)=0，即 A*=O故任意 4 维向量都是 A*x=0 的解，即它的基础解系所包含的线性无关的解向量的个数为 413 【正确答案】 一 8【试题解析】 1， 2 线性无关，故只需得 k=一 814 【正确答案】 x=k(1，1，1) T【试
10、题解析】 则基础解系1=(1，1，1) T，通解为 x=k1，其中 k 为任意常数15 【正确答案】 3【试题解析】 三、计算题16 【正确答案】 证明：设 是 A 的任一特征值，对应特征向量为 x0，即Ax=x，则有(A 33A2+5A 一 3E)x=(332+5 一 3)x=0，也即 满足 3-32+5一 3=( 一 1)(2 一 2+3)=0，解得 =1 或 因为 A 为实对称矩阵，其特征值为实数，故只有 =1，即 A 的全部特征值就是 =10，所以 A 为正定矩阵17 【正确答案】 =( 一 1)(2+4+32t)，即 t为任何值时，矩阵都有特征值 1 取 x3为自由未知量，并令 x3
11、=1，得 =(0，2，1) T即属于 =1 的全部特征向量为k=k(0，2，1) T，k 任取但不为 018 【正确答案】 证明：因为 BT=(E+ATA)T=E+ATA=B，所以 B 是 n 阶实对称矩阵，构造二次型 xTBx，那么 xTBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax)0，恒有 xTx0，(Ax) T(Ax)0，因此， 0 时， 0，有 xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0二次型为正定型，故 B 为正定矩阵19 【正确答案】 (1)A 的特征值为一 1，1，x；B 的特征值为 y，1，1AB，故特征值相同，相比较得 y=一 1，x=1 令 =1，
12、解(E 一 A)x=0 得 1=(-1，1，0) T， 2=(1，0，1) T。再令 =一 1，解(E 一 A)x=0 得3=(1，0，0) T 则有 P-1AP=B20 【正确答案】 由已知条件知，对任意的 x1，x 2，x n，恒有 f(x1，x 2，x n)0，其中等号成立的充分必要条件是 根据正定的定义，只要x0，恒有 xTAx0，则 xTAx 是正定二次型，为此，只要方程组 仅有零解，就必有当 x0 时，x 1+a1x2，x 2+a2x3，不全为 0，从而 f(x1，x 2，x n)0，亦即 f是正定二次型而方程组中只有零解的充分必要条件是系数行列式即当 a1a2an(一 1)n 时
13、，二次型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型21 【正确答案】 可求得 A 的特征值 1=一 1， 2=1， 3=2，对应特征向量分别为(0，0， 1)T，(1，0，一 1)T， 令22 【正确答案】 因为 r(A)=n，知 A 可逆，又因 A 是实对称的，有(A -1)T=(AT)-1=A-1，可知是实对称矩阵，于是 A*是对称的，故二次型 f(x)的矩阵是 A-1 (2)经坐标变换 x=A-1y，有 g(x)=x TAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)Ty=yTA-1y=f(y) 即 g(x)与 f(x)有相同的规范形四、证明题23 【正确答案】 设 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0，则有(k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0因为 1， 2， 3 线性无关，故有 =20，所以，k 1=k2=k3=0，所以，向量组 1+2， 2+3， 3+1 也线性无关
