1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 19 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设|A|=|a ij|为 n 阶行列式，则 a12a23a34an-1,nan,1 在行列式中符号为 ( )（A）正（B）负（C） (一 1)n（D）(一 1)n-12 设 n 维向量 ，矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 AB= ( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T3 设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有 ( )（A）|
2、A|=|B|（B） |A|B|（C）若 |A|=0，则一定有|B|=0（D）若|A|0，则一定有|B|04 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A*是矩阵 A 的伴随矩阵，则 ( )（A）(A*)*=|A| n-1A（B） (A*)*=|A|n+1A（C） (A*)*=|A|n-2A（D）(A*)*=|A| n+2A5 设 3 阶矩阵 其中 ， 2， 3 均为 3 维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2 ，则行列式|A-B|等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 =(1，1 ，0，一 1)，=(-2，1，0,0
3、)，=(-1，一 2，0，1)，则 3+5r=_7 n 阶方阵 A=(aii)的每一行元素之和同为 a则属于 a 的特征向量 p 为_8 已知矩阵 则为 A 的特征向量的是 _9 若可逆矩阵 A 的特征值 =2，则(A 2)-1 必有特征值_10 设矩阵 相似，则 x=_，y=_11 的根为_12 设 则(A+B) 2-(A2+AB+B2)=_13 若向量组 线性相关，则 t=_14 设 A 为 n 阶方阵且|A|0 ，则 A*可逆并且(A*) -1=_15 二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=2x1x2 一 ax3x4 的秩为 2，则 a=_三、计算题16 已知 D= 求 A21+A
4、22+A23+A2417 设 且已知 AXA=3X，求矩阵 X18 求解矩阵等式 AX=B，其中19 将向量组 标准正交化20 用初等行变换求解线性方程组21 设矩阵 ，求一个正交矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵22 考虑矩阵 (1)当 a 为何值时，矩阵 A 能对角化?(2)求可逆矩阵P 和对角矩阵 A，使得 P-1AP=A四、证明题23 设 A 是 n 阶方阵，且满足 A2 一 5A+E=0，利用定义证明：A 一 3E 可逆全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 19 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选
5、或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 (2 3 4n 1)=n 一 1，故符号为(一 1)n-1故选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 B=(E T)(E+2T) =E+T 一 2TT =E+T 一 2T(T) =E+T 一 2 =E，选 C.3 【正确答案】 C【试题解析】 设 B=PAQ，其中 P，Q 为可逆矩阵，于是当|A|=0 时，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 AA*=|A|E 两边取行列式，得|A|A*|=|A| n|E|，又|A|0 ，得|A*|=|A| n-1又(A*)*A*=|A*|E=|A| n-1E，故(
6、A*)*=5 【正确答案】 B【试题解析】 选 B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 (0，一 8，0，2)【试题解析】 3+5=3(1，1，0，一 1)一(一 2，1，0，0)+5( 一 1，一2，0，1)=(0，一 8，0，2)7 【正确答案】 【试题解析】 取 因此 a 是矩阵A 的一个特征值，则 p 是 A 属于特征值 a 的特征向量8 【正确答案】 (一 1，1) T【试题解析】 矩阵 A 的特征值可求出为 2，则将 =2 代入(E 一 A)x=0 中得故 x1=一 x2，令 x2=1 则 x1=一 1，故特征向量为(一 1，1) T9 【正
7、确答案】 【试题解析】 由于 =2 是 A 的特征值，故 =4 是 A2 特征值，所以 是(A 2)-1 的特征值10 【正确答案】 -1，1【试题解析】 因为|A|=x,|B|=一 y，所以根据|A|=|B|得到一 y=x，再根据 tr(A)=tr(B)，即 2+x=y，得 x=一 1，y=111 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)=3x+6+1227+4x+2=7x 一 7=0,x=112 【正确答案】 【试题解析】 (A+B) 2 一(A 2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A 2+AB+B2)=A2+B2+AB+BAA2 一 ABB2=BA=13 【正确答案】 6【试题解析】
8、 由于 1， 2， 3 线性相关，故行列式| 1， 2， 3|= =2t12=0，故 t=614 【正确答案】 【试题解析】 因|A|0，故 A 可逆且 故(A*) -1=(|A|A-1)-1=15 【正确答案】 0【试题解析】 二次型的矩阵 且 r(A)=2，故 a=0三、计算题16 【正确答案】 A 21+A22+A23+A24=17 【正确答案】 AX 一 3X=A,(A 一 3E)X=A，即 X=(A 一 3E)-1A，而18 【正确答案】 由于 故 A 可逆，19 【正确答案】 再将 1， 2， 3 单位化得 1， 2， 3 即为所求的标准正交基20 【正确答案】 对增广矩阵进行初等
9、行变换(A，)=所以原方程组有解，同解方程组为 (x1 是自由未知量)，得方程组的一个特解为 原方程组导出组的同解方程组为 得导出组的基础解系为 所以(k 为任意常数)21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为得 A 的特征值1=5， 2=4， 3=一 2对于特征值 1=5，求解方程组(5E A)x=0，5EA=得属于特征值 1=5 的一个特征向量 e1=(1，0，0) T同理，可得属于 2=4， 3=一 2 的特征向量分别为 2=(0，1，1) T， 3=(0，一 1，1)T，其单位特征向量分别为 故所求正交矩阵可取为22 【正确答案】 所以 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1当 2=3=1 时，考虑要使 A 可对角化，必须使 r(EA)=1，即 a=1(2)当 1=-1 时，解方程组(E+A)x=0，得属于特征值 1=一 1 的一个特征向量 当 2=3=1 时，解方程组(EA)x=0，属于特征值 2=3=1 的特征向量四、证明题23 【正确答案】 由于 A2 一 5A+E=0，所以 A25A=一 E，故(A 一 3E)(A 一 2E)=一 E+6E=5E，所以(A 一 3E) =E，所以 A 一 3E 可逆
