1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 22 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 0 的充要条件为 ( )（A）k0（B） k1（C） k0 且 k1（D）k0 或 k12 若 n 阶方阵 A 满足 A2 一 2A 一 3I=0，且矩阵 A 可逆则 A-1= ( )（A）A 一 2I（B） 2I 一 A（C）一 (A2I)（D） (A 一 2I)3 设 A，B 是 n(2)阶可逆方阵，k 是一实常数且不为零，下列等式不成立的是 ( )（A）(AB) -1=B-1A-1（B） (kA)-1=k-
2、1A-1（C） (A)-1=(A-1)，A表示 A 的转置阵（D）(AB) -1=A-1B-14 设 A 为 mn 矩阵，秩为 r，C 为 n 阶可逆矩阵，矩阵 B=AC，秩(B)=r 1，则 ( )（A）r 1r 2（B） rr 1（C） r=r1（D）r 1 与 C 有关5 以下各线性方程组中，解空间的基是 1=(1，一 1，1，一 1，1)T， 2=(1，1，0，0，3) T， 3=(3，1，1，一 1，7) T， 4=(0，2，一 1，1，2) T 的方程组是 ( )（A）（B）（C） x1x22x3=0（D）x 1+x2+2x4=0二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填
3、均无分。6 行列式 =_7 若D= =_8 已知 ，则 X=_9 设 A 为 n 阶方阵且A0，则 A*可逆并且(A *)-1=_。10 已知向量组 1= 线性相关，则 k=_11 已知齐次线性方程组 ，有非零解，则 =_12 若三阶矩阵 AB= ，则 A 的三个特征向量的关系为_13 已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1，一 2，一 3，A 及 A-1，A *，A 2+2A+E的特征值分别为_14 已知方阵 A 与方阵 B= 相似，则 A 的特征值为_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x122x22+x32 一 2x1x2+4x1x3+8x2x3 对应的对称矩阵A=_三、计算题16
4、计算 D= 。17 设矩阵 A= ，求 3AB 一 2A18 设 A= ，求 k 的值使 A 的秩 r(A)分别等于 1，2，319 已知向量组 1= 在这组基下的坐标20 已知 A= ，a，b0 且 a+b2=1 求(1)A 的特征值；(2)将 A 对应的二次型化为标准形，并写出所用的变换21 设矩阵 A= 可以对角化，求 x 与 y 满足的条件22 在 Q(x，y，z)=(x 2+y2+z2)+2xy+2xz 一 2yz 中，问： (1) 取什么值时，Q 为正定的? (2) 取什么值时，Q 为负定的? (3)当 =2 和 =1 时，Q 为什么类型?四、证明题23 设向量组 1， 2， 3
5、线性无关，证明：向量组 1=1， 2=1+2， 2=1+2+3 也线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 22 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 0k(k 2 一 1)0k0 且 k1答案为 C。2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A(A 一 2I)=3I，因此 A (A 一 2I=I，所以 A-1= (A 一2I)答案为 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查矩阵求逆阵运算法则选项 A、B 、C 均正确，选项 D 中(AB)-1=B-1A-1
6、答案为 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 C 为可逆阵，且 B=AC r(B)=r(AC)=r(A)=r，即 r1=r 答案为C。5 【正确答案】 C【试题解析】 因 5r(A)=4，故 r(A)=1于是，只可能为 C 或 D因一眼就能看出，A、B 中两方程的系数都不成比例，故 r(A)=r(B)=2再把解代入验证：因 1满足 C，不满足 D，故选 C答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 7 【正确答案】 2【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 由于A0，故 A 可逆且 A-1= ，
7、所以 A*=A A -1，因此(A*)-1=(AA -1)-1= 10 【正确答案】 k=2【试题解析】 向量 1， 2， 3 线性相关，故对 1， 2， 3 组成的矩阵作初等变换，即 由于1， 2， 3 线性相关，故 k=211 【正确答案】 一 2 或 1【试题解析】 由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式=一 2 或 =112 【正确答案】 线性无关【试题解析】 AB 知 A 和 B 有相同的特征值，故 A 有 1，2，3 三个不同的特征值，A 为三阶的，故 A 的三个特征值对应的三个特征向量线性无关13 【正确答案】 6；1，一 ；6，一 3，一 2；4，1，4【试题解析】 本题考查利
8、用公式求特征值与特征向量，设 i 为 n 阶方阵 A 的特征值，p i 为 A 的对应于特征值 i 的特征向量，i=1，2，n，则(1)f(A)的特征值为f(i)，对应于 f(i)的特征向量为 pi，i=1 ，2，n ，其中 f(x)为 x 的多项式；(2)设 A 可逆，则 A-1 的特征值为 i，对应的特征向量为 pi，i=1 ，2，n ；(3)设 A可逆，则 A*的特征值为 ，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(4)A T 的特征值为 i，i=1，2， n，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(5)若 B=P-1AP，则 B 的特征值为 ，对应的特征向量为 P-1pi，i=1，2
9、，n ；从而有：A=1(一 2)( 一 3)=6A-1 的特征值为：1，一 A*的特征值为：6，一3，一 2；A 2+2A+E 的特征值为：4，1，414 【正确答案】 1=2=2， 3=一 2【试题解析】 由于 B 的特征多项式为E 一B= =( 一 2)2(+2)因此 B 的特征值为 1=2=一2， 3=一 2，而 A 与 B 相似，因此有相同的特征值15 【正确答案】 【试题解析】 x 1，x 2，x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，一 2，1x 1x2 的系数一2 对应 a12 和 a21 的系数的和： a 12=一 1a21=一 1 x1x3 的系数 4 对应 a13 和 a31
10、 系数的和：a 13=a31=2 x2x3 的系数 8 对应 n23 和 a 32 的系数的和：a 23=a12=4三、计算题16 【正确答案】 将各行元素乘 1 加到第一行上，提取公因子 10，再利用行列式的性质化为三角形，从而得值为 16017 【正确答案】 18 【正确答案】 对 A 进行初等行变换，得由此可见。当 k=1 时，r(A)=1；当 k=一 2 时，r(A)=2；当 k1 且 k一 2 时，r(A)=319 【正确答案】 以 1， 2， 3， 为列向量的矩阵 A 作初等行变换，有因此 =21+323，所以 在基 1， 2， 3 下的坐标为(2，3一 1)20 【正确答案】 E
11、 一 A= =2 一 a2 一 b2=2 一 1=0所以 A的特征值为 1=1， 2=一 1标准形为 f 标 =y12 一 y2221 【正确答案】 由于 A 可以对角化，因此，A 有 3 个线性无关的特征值向量，先求 A 的特征值，由于EA= =( 一 1)2(+1)因此 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 1，所以 A 可对角化，则 1=2=1 对应于两个线性无关的特征向量即齐次线性方程组(EA)X=0 的基础解系含有两个解向量，因此 r(EA)=1，对 EA 作初等行变换有 所以当且仅当 x+y=0 时，r(E A)=1，即 A 可对角化，则 x，y 满足的条件是x+y=022 【正确
12、答案】 (1)用 Q 正定它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数因 故 D1=，D 2=2 一 1，D 3=( 一 2)(+1)2 所以要 Q 正定必须 0， 21，2，故 2 为答案(2)Q 负定D 10，D 20，D 30，即0， 21，2一 1 所以 一 1 时，Q 负定(3) 当 =2 时，A 的所有主子式均为正数或 0，所以 Q 是半正定的(因 a11=a22=a33=20，detA=0，二阶主子式有 3 个值均为 3)或用配方法 Q=2x+ (yz)2，所以 Q 半正定当 =一 1 时，Q=一 (xyz)2，故 Q 半负定四、证明题23 【正确答案】 令 k11+k22+k33=0， 则 k11+k2(1+2)+k3(1+2+3)=0， (k1+k2+k3)1+(k2+k3)2+k33=0，由于 1+2+3 线性无关，所以线性方程组的系数行列式 =10，因此仅有 0 解，即k1=k2=k3=0，所以 1， 2， 3 线性无关
