1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 23 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 若 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB=0，则 ( )（A）A=O 或 B=O（B） A+B=O（C） A=0 或B=0（D）A+B=02 若 n 阶方阵 A 可逆，且伴随矩阵 A*也可逆，则 A*的逆矩阵为 ( )（A）A（B） A2（C）（D）3 设 1= ，则 3=_时，有 1， 2， 3 为 R3 的基 ( )（A）(2 ，1，2) T（B） (1，0，1) T（C） (0，1，0) T（D）(0 ，0，
2、1) T4 设 A= ，则 Ax=0 的基础解系含有 _个解向量 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）0 5 设 A= ，则以矩阵 A 为对应的二次型是( )（A）f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+x32（B） f(x1，x 2，x 3)=x12+x2x3（C） f(x1，x 2，x 3)=x22+x1x3（D）f(x 1，x 2，x 3)=x32+x1+x2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知矩阵 A= 的(1 ，2)元素的代数余子式 A12=1，则 A 的行列式A=_ 7 设矩阵 A= ，则 3AT 一 BT=_。8 设 D= ，则 A 的代
3、数余子式为_9 k=_时，向量组 1=(6，k+1，7) ， 2=(k，2，2)， 3=(k，1，0)线性相关10 已知 1= 是 R3 的一组基，则 在这里基下的坐标为_11 若线性方程组 无解，则 =_12 设矩阵 A= ，则 A 的全部特征值为_13 已知方阵 A 相似于对角矩阵 ，则 A10=_14 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(2x1x2+3x3)2 的矩阵为_15 设矩阵 A= 为正定矩阵，则 a 的最大取值范围是_三、计算题16 计算行列式 D=17 已知 A= 且 A2 一 AB=E，求矩阵 B18 设 A= ，且 A*X=A-1+2X，求 X19 设 1=(2， 3，
4、5) ， 2=(3，7，8) ， 3=(1，一 6， 1)，求 使 =(7，一 2，)可用向量 1， 2， 3 线性表示20 已知矩阵 A= (1)求 A-1；(2) 解矩阵方程 AX=B。21 设方程 A 有特征值 1=2， 2=一 1，又 1= 是 A 属于 1=2和 2=一 1 的特征向量，向量 = (1)将 表示成 1， 2 的线性组合；(2)求A22 设 A=(aij)33 为正交矩阵，其中 a33=一 1，又 B= ，求矩阵方程 AX=B 的解四、证明题23 设 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素全大于零全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 23 答案与解析一、
5、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB=0 AB=0 AB=0 A=0 或B=0 答案为 C。2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 A 可逆，因此A0，又 A A*=A*A=AI ，所以答案为 C。3 【正确答案】 D【试题解析】 首先已知 1， 2 线性无关(其坐标不成比例) ，又令 A=(1， 2， 3)，则 1， 2， 3 线性无关A0 由于 A 的左上角 2 阶主子式(记为A 11)不等于 0，故选 3= 即可。(此时A *= =A 1110)答案为 D。4 【正确答案
6、】 A【试题解析】 由于 V(A)=3，所以基础解集含有 43=1 个向量答案为 A。5 【正确答案】 C【试题解析】 A 的主对角线元素 1 对应 x2 系数； a13=1，a 31=1，之和对应 x1x3 系数 2答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 7【试题解析】 由于 A12=(一 1)1+2 =一 x=1，因此 x=一 1所以A=一 1+2+6=77 【正确答案】 【试题解析】 3A TBT=38 【正确答案】 3【试题解析】 a 为行列式 D 的 a23 项，故 a 的代数余子式为 A23，且 A23=(1)2+3=39 【正确答
7、案】 k=4 或 k=一 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 以 1， 2， 3， 为列向量的矩阵作初等行变换，有11 【正确答案】 2【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有，当 一 20 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2，因此方程有解；当 一 2=0 时，增广矩阵的秩 =2，而系数矩阵的秩=1，方程无解，所以 一 2=0，即 =212 【正确答案】 一 1，1【试题解析】 特征方程EA= =01=1， 2=113 【正确答案】 E【试题解析】 存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=P-1，14 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=(2x1x2+3x3)2=4
8、x12 一 4x1x+12x1x3+x22 一 6x2x3+9x32，由二次型矩阵的定义知，矩阵为 15 【正确答案】 【试题解析】 矩阵 A 正定，因此顺序主子式大于 0，1=10，=1 一 5a20，所以 a 的最大取值范围是三、计算题16 【正确答案】 第 1 列乘(一 a1)加到第二列上，第 1 列乘(一 a2)加到第二列上，第一列乘(一 a3)加到第三列上，得 D=b1b2b317 【正确答案】 由于 AB=A2 一 E，又A= =一 10所以 A 可逆，因此 B=A-1(A2 一 E)=AA-1 而 A-1=。18 【正确答案】 因为 A*=AA -1 所以A -1X=A-1+2X
9、 X=(A A -1 一 2E)-1A-1 =A( AA -1 一 2E)-1 =(AE 一 2A)-1=19 【正确答案】 求解非齐次线性方程组据此可知当 =15 时，=11 1 一52+0320 【正确答案】 由于A=10，所以矩阵 A 可逆，经计算21 【正确答案】 (1)以 1， 2， 为列向量的矩阵作初等行变换，有所以 =31+2(2)A=A(31+2)=3A1+A2=3(21)+(一 2)=612= 22 【正确答案】 由于 A 为正交矩阵，因此 A 的列向量组与行向量组均为标准正交向量组，故 a13+a23+a33=a13+a23+1=1，a 13+a23=0因此 a13=a23=0；同理 a31=a32=0 即又 A 正交，因此 A-1=AT，所以 X=A-1B=ATB=四、证明题23 【正确答案】 对于任意取定的 1in，取第 i 个标准单位向量 i=(0，0，1，0，0) T 第 i 列 由 A 的正定性知道必有 iAi=(0， 0，1，0， ，0) T 第 i 列 第 i 行=ai 0
