1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 29 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A 为 3 阶方阵且A= ，则一 2A= ( )（A）一 4（B） 4（C）一 1（D）12 若 AB=AC，能推出 B=C，其中 A，B，C 为同阶方阵，则 A 应满足条件 ( )（A）A0（B） A=0（C） A=0（D）A03 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（
2、C）若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=O（D）A 通过初等行变换，必可以化为(I mO)的形式4 若 1， 2， 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为 ( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 31（B） 1， 2， 3 的任意三个线性组合（C） 1， 1 一 2， 123（D） 1，2 1，3 15 设 A= ，则 A 的属于特征值 0 的特征向量是 ( )（A）(1 ，1，2) T（B） (1，2，3) T（C） (1，0，1) T（D）(1 ，1，1) T二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 =_7 设 A
3、 为 n 阶方阵，且A=2，则 =_8 设矩阵 A= ，则 ATA_9 分块矩阵 A= ，则 AT=_10 已知 1， 2 线性无关而 1， 2， 3 线性相关，则向量组 1，3 2，7 3 的极大无关组为_11 设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为_12 设 =2 是 n 阶方阵 A 的一个特征且A0，则 n 阶方阵 B=A3 一 3E+A-1 必有特征值_13 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=1， 2=1， 3=2，则A =_14 已知三阶矩阵 A= ，则x=_，y=_，p 所对应的特征值 =_15 已知 A= ，二次型
4、f(x)=xTAx 的矩阵为_三、计算题16 计算 D= 17 设矩阵 A= ，并且 AX=2X+B，求矩阵 X18 设矩阵 A= ，求(A *)-119 设向量组 1= 的秩为 2，求 a 的值20 设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2， 1=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T 是Ax=b 的两个解，求该方程组的通解21 设 n 阶可逆阵 A 的每行元素和均为 a(a0)，求 2A-1+E 的一个特征值及对应的特征向量22 设 A= 是正交阵，求 a，b，c 的值四、证明题23 设 A，B 是 n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵全国自考公共课线性代数（经管类）模
5、拟试卷 29 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 一 2A=(一 2)3A=一 8 =一 4答案为 A。2 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB=AC，则 A(BC)=0，故当 A 可逆，即A0 时 B=C答案为 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 Amn 的秩 r(A)=mn故 A 的行满秩，列不满秩，A 的 m 个列向量可能线性无关也可能线性相关，且 A 通过初等行变换，可以化为 (ImO)形式，故选 D答案为 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 本题
6、考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与1， 2， 3 等价答案为 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 用定义 Ax=x来判断，这时 =0，故计算 Ax 的值，使 Ax=0 的向量x 就是 A 的属于特征值 0 的特征向量当 x=(1，2，3) T 时，有 Ax=0答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 按定义计算，可得结果为 07 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 A TA= 9 【正确答案】 A T=【试题解析】 由转置矩阵的定义知10 【正确答案】 1，3 2【试题解析】 由于 1 与 3
7、2 线性无关，并且 73 可由 1，3 2 线性表示11 【正确答案】 3【试题解析】 由于 AX=0 是 6 个未知量的齐次线性方程组 6 一 r(A)=63=3，所以基础解系中含有 3 个解向量12 【正确答案】 【试题解析】 A0，因此 A 可逆，又 =2是 A 的特征值，因此存在非零向量使得 A=2，所以 A2=A2(A)=2(2)=2A(A)=4A=8，A -1= ，所以B=A3一 3E+A-1=8一 3+ 13 【正确答案】 一 2【试题解析】 A= 1 2 3=一 214 【正确答案】 x=一 2，y=6 ，=4【试题解析】 设矩阵 A 的特征向量 p 所对应的特征值为 ，则有
8、(I 一 A)p=0， 即 解得 x=一2，y=6 ，=一 415 【正确答案】 【试题解析】 因为二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+6x1x2+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩阵的定义知矩阵为 三、计算题16 【正确答案】 将各行乘 1 加到第一行上，提取公因子 3a+b，再利用行列式的性质化为三角形，从而得结果为(3a+b)(b 一 a)317 【正确答案】 由于(A2E)X=B，所以18 【正确答案】 19 【正确答案】 以 1， 2， 3 为列向量的矩阵作初等行变换，有因为当 a 一 2=0 即 a=2 时，1， 2， 3 的秩为 2，而 a 一
9、20 即 a2， 1， 2， 3 的秩为 3，所以 a=220 【正确答案】 1 一 2=(2，0，1) T 是 Ax=0 是基础解系所以通解为(1，2，2)T+c(一 2，0， 1)T(c 为任意常数) 21 【正确答案】 由题设知 所以 a 为 A 的一个特征值且 a0，从而 +1 为 2A-1+E 的一个特征值，对应的特征向量为 22 【正确答案】 设 1= 因为 A是正交阵，所以( 1， 2)=0，( 1， 4)=0，( 2， 3)=0 解得 a= 四、证明题23 【正确答案】 由已知条件 AAT=ATA=I，BB T=BTB=I，则(AB)(AB)T=ABB TAT=A(BBT)AT=I，所以 AB 也是正交矩阵
