1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 4 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 AT.BT 是矩阵 ( )（A）上三角（B）下三角（C）对角形（D）即非上三角也非下三角2 设 A 是 n 阶方阵，且A=5，则(5A T)-1= ( )（A）5 n+1（B） 5n-1（C） 5-n-1（D）5 -n3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 ( )（A）A -1+B-1（B） A+B.（C） A(A+B)-
2、1.B（D）(A+B) -14 齐次线性方程组 的解的个数为 ( )（A）有惟一的零解（B）有无穷多个解（C）无解（D）不确定5 已知线性方程组 则下列判断正确的是 ( )（A）=2 时,方程组有无穷多组解（B） =一 3 时方程组无解（C） =3 时方程组有无穷多组解（D）2 时方程组有惟一解二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 =_.7 若 则D1= =_。8 已知 则 X=_.9 设 A 为 n 阶方阵且A0，则 A*可逆并且(A *)-1=_.10 已知向量组 线性相关，则 k=_.11 已知齐次线性方程组 有非零解，则 =_.12 若三阶矩阵 ,则
3、A 的三个特征向量的关系为 _13 已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1，一 2，一 3，A 及 A-1，A *，A 2+2A+E的特征值分别为_14 已知方阵 A 与方阵 相似，则 A 的特征值为_15 二次型 f(x1，2x 2，x 3)=x12 一 2x22+x32 一 2x1x2+4x1x3+8x2x3 对应的对称矩阵A=_三、计算题16 计算17 计算行列式18 设矩阵 ，求 A 在初等变换下的标准型并求 A 的秩19 求向量组 1=(1，2，1，0) T， 2=(1，1，1，2) T， 3=(3，4，3，4)T， 4=(4，5，6，4) T 的秩与一个极大线性无关组20 设 3 阶
4、方阵 A 的特征值为 1=1， 2=0， 3=一 1，并且 A 属于 1， 2， 3 的特征向量分别为 求矩阵 A 及 A521 已知 2 是三阶方阵 的二重特征值，求 A 的另一个特征值，并求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角阵21 设三阶实对称矩阵 A 满足 A2+2A=0，而且 r(A)=222 求出 A 的全体特征值23 当 k 为何值时，kE 3+A 必为正定矩阵?四、证明题24 设方阵 A 满足条件 AA=E，求证：A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 4 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的
5、，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 A T，B T 均为下三角阵，因此 AT.BT 也是下三角阵答案为 B2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=5，所以答案为 C3 【正确答案】 C【试题解析】 由于(A -1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A -1+B-1)4 【正确答案】 B【试题解析】 齐次线性方程系数矩阵 A 的秩为： r(A)=34，故齐次线性方程组有无穷多个解答案为 B。5 【正确答案】 B
6、【试题解析】 对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若 =一 3，则矩阵最后一行前面 4 个数等于 0，而最后一个数等于 4，用方程式表示将得到 0=4，这表明方程组无解，故应该选 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 7 【正确答案】 2【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 由于A0，故 A 可逆且 所以 A*=A.A -1，因此10 【正确答案】 k=2【试题解析】 向量 1,2,3 线性相关，故对 1,2,3 组成的矩阵作初等变换，即由于 1
7、,2,3 线性相关，故 k=211 【正确答案】 一 2 或 1【试题解析】 由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式12 【正确答案】 线性无关【试题解析】 AB 知 A 和 B 有相同的特征值，故 A 有 1，2，3 三个不同的特征值，A 为三阶的，故 A 的三个特征值对应的三个特征向量线性无关13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查利用公式求特征值与特征向量，设 i 为 n 阶方阵 A 的特征值，p i 为 A 的对应于特征值 i 的特征向量，i=1，2，n，则(1)f(A)的特征值为f(i)，对应于 f(i)的特征向量为 pi，i=1 ，2，n ，其中 f(x)为 x 的多项式；(2)
8、设 A 可逆，则 A-1 的特征值为 i-1，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(3)设A 可逆，则 A*的特征值为 ，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(4)A T 的特征值为 i,i=1，2， n，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(5)若 B=P-1AP，则 B 的特征值为 ，对应的特征向量为 P-1pi，i=1，2，,n ；从而有：A=1.(一 2).(一 3)=6； A-1 的特征值为： ；A *的特征值为：6，一 3，一 2；A 2+2A+E 的特征值为：4，1，414 【正确答案】 1=2=2， 3=一 2【试题解析】 由于 B 的特征多项式为因此 B 的特征值
9、为1=2=2， 3=一 2，而 A 与 B 相似，因此有相同的特征值15 【正确答案】 x1，x 2，x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，一 2，1；x 1x2 的系数一 2 对应 a12 和 a21 的系数的和： a12=一 1a21=一 1；x 1 x3的系数 4 对应 a13 和 a31 系数的和： a13=a31=2；x 2x3 的系数 8 对应 a23 和 a32 的系数的和：a 23=a32=4三、计算题16 【正确答案】 将第一行乘 1 加到第二行上，再将新的第二行乘 1 加到第三行上，依次类推，最后可得行列式的值为 117 【正确答案】 18 【正确答案】 对矩阵 A 作初
10、等变换，有为 A 在初等变换下的标准型，并且 r(A)=219 【正确答案】 以 1,2,3,4 为列向量构成矩阵 A由此可知 B 的列向量组的秩为 3，且第 1，2，4 列为 B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以向量组 1,2,3,4 的秩为 3， 1,2,4 为其一个极大线性无关组( 1,2,4 也是一个极大线性无关组)20 【正确答案】 由于 Ai=i， i=1，2，3，所以令则 所以又21 【正确答案】 设 A 的另一个特征值为 ，则 2+2+=tr(A)，即 2+2+=1+4+5所以 =6对应于 1=2=2 的特征向量为 对应于 3=一 6 的特征向量为 所以22 【正确答案】
11、设矩阵 A 的特征值为 ，则有 A2+2A=0 知， 2+2=0，故 =0 或=2因为 r(A)=2，=0 不可能是二重根，故 是二重根 23 【正确答案】 kE 3+A 的特征值为 k+，kE 3+A 为正定矩阵的充要条件是 kE3+A有 3 个大于 0 的特征值，故当 k0 时，k+0，kE 3+A 必为正定矩阵四、证明题24 【正确答案】 设 X 是 A 的实特征向量， 是对应的特征值，则 AX=X，因XA=X,于是 XAAX=ZXX=2XX 因 AA=E，(E 为单位阵)，所以 XEX=2XX，即 XX=2XX，( 2 一 1)XX=0 又 x0 为实特征向量，从而 XX0，所以 2=1即=1
