1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 6 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 的充要条件为 ( )（A）k0（B） k1（C） k0 且 k士 1（D）k0 或 k12 若 n 阶方阵 A 满足 A2 一 2A 一 3I=0，且矩阵 A 可逆则 A-1= ( )（A）A-2I（B） 2I-A（C）（D）3 设 A，B 是 n(2)阶可逆方阵，k 是一实常数且不为零，下列等式不成立的是 ( )（A）(AB) -1=B-1A-1（B） (kA)-1=k-1A-1（C） (A)-1=(A-1)，A
2、 表示 A 的转置阵（D）(AB) -1=A-1B-14 设 A 为 mn 矩阵，秩为，r，C 为 n 阶可逆矩阵，矩阵 B=AC，秩(B)=r 1，则 ( )（A）r 1r 2 （B） rr 1（C） r=r1（D）r 1 与 C 有关5 以下各线性方程组中，解空间的基是 1=(1，一 1，1，一 1，1)T， 2=(1，1，0，0，3) T， 3=(3，1，1，一 1，7) T， 4=(0，2，一 1，1，2) T 的方程组是 ( )（A）（B）（C） x1 一 x22x3=0（D）x 1+x2+2x4=0二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 中(3，2)
3、元素的代数余子式 A32=_7 =_.8 设 A、B 均为 3 阶矩阵，A=3，B=一 2，则一 2T.B-1=_。9 设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为_10 设矩阵 的秩为 2，则 =_11 已知线性方程组 无解，则 =_。12 若 A2=E，则 A 的特征值只能是_13 如果向量 x 是矩阵 A 的特征向量，则_是矩阵 P-1AP 的特征向量14 设 A 为实对称矩阵， 和 是 A 属于不同特征值 1 和2 的特征向量，则 a=_15 实二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x2x3 的正惯性指数 p=_.三、计算题16
4、 计算 n+1 阶行列式17 设方阵 A、B 满足 AB+E=A2+B，且 求 B.18 设 A 为 n 阶方阵(n3)，秩 r(A)=r，求 A 的伴随矩阵 A*的秩19 设 3 维列向量 1,2,3， 1， 2， 3 满足： 1+3+21 2=0，3 1 一 2+1 一3=0，一 2+3 一 2+3=0，且 1,2,3=4 ，求 1， 2， 320 设 1,2,3 是 4 元非齐线性方程组 AX=B 的三个解向量，并且 r(A)=3求方程组 AX=B 的通解21 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 155 是分别属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并求 A.22 设二次型
5、f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经过正交变换 x=Py 化成 f=y22+2y32，其中 x=(x1,x2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T 是三维列向量，P 是三阶正交矩阵，求常数 a，b 的值四、证明题23 设 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素全大于零全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 6 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 答案为C2 【正确答案】 D【试题解析】 由
6、于 A(A 一 21)=3I，因此 所以 A-1=答案为 D.3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查矩阵求逆阵运算法则选项 A、B 、C 均正确，选项 D 中 (AB)-1=B-1A-1答案为 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 C 为可逆阵，且 B=AC r(B)=r(AC)=r(A)=r，即 r1=r答案为 C5 【正确答案】 C【试题解析】 因 5 一 r(A)=4，故 r(A)=1于是，只可能为 C 或 D。因一眼就能看出，A、B 中两方程的系数都不成比例，故 r(A)=r(B)=2再把解代人验证：因 1满足 C，不满足 D，故选 C。答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上
7、正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 一 8【试题解析】 7 【正确答案】 一 3【试题解析】 8 【正确答案】 12【试题解析】 =129 【正确答案】 r【试题解析】 根据矩阵的秩的定理 261 推论：设 A 为 mn 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)可推出 r(B)=r(A)=r(A)=r10 【正确答案】 1【试题解析】 对矩阵 A 作初等变换，有由此可知，当 一 10 时 r(A)=3，而 一 1=0 时 r(A)=2 所以 一 1=0 即=111 【正确答案】 -1【试题解析】 当 =一 1 时，第 4 个方
8、程为矛盾方程，因而无解12 【正确答案】 1 或一 1【试题解析】 由 A2=E 得 A2 一 E=0，(A E)(A+E)=0(A E)(A+E)=0故AE=0 或(A+E)=(一 AE)=0 故必有 一 1=0 或一 一 1=0 即=1 或一 113 【正确答案】 P -1x【试题解析】 设 B=P-1AP，则 A=PBP-1，又 Ax=x，所以有 PBP-1x=x，两 边同时左乘可逆矩阵 P-1 得 BP-1x=P-1x，即(P -1AP)P-1x=P-1x，由特征值和特征向量的定义即可得到，P -1x 是 P-1AP 的一个特征向量14 【正确答案】 5【试题解析】 由于实对称矩阵属于
9、不同特征值的特征向量正交，因此(a 1，a 2)=a一 8+3=a 一 5=0，所以 a=515 【正确答案】 p=2【试题解析】 令 由于 所以经过可逆；线性变换二次型化为标准型 f=y12+2y22 一 2y32，所以正惯性指数 p=2三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 由于 AB-B=A2-E，(A-E)B=(A-E)(A+E)，又即 AE 可逆，所以 B=(AE)-1(AE)(A+E)=A+E=18 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A 可逆，则 A*也可逆，因此 r(A*)=n；当 r(A)=n 一1 时，A=0，因此 AA*=AE=0，即 A*的 n 个列向量均为齐
10、次线性方程组Ax=0 的解向量，由于 r(A)=n 一 1，AX=0 的基础解系仅含一个解向量，所以 A*的列向量的秩1；又 r(A)=n 一 1，A 中存在一个不为 0 的 n1 阶子式，故 A*的 n 个列向量中至少有一个不为零向量，所以 A*的列向量的秩 1，由以上讨论可知，r(A*)=1当 r(A)n-1 时， A 的每一个 n 一 1 阶子式均为零，即 A*是零矩阵，所以r(A*)=0所以19 【正确答案】 由条件可知 而( 1+3，3 1 2，一2+3)=(1,2,3) (一 21+2，一 1+3， 2 一 3)=(1， 2， 3)所以两边取行列试，得即 1， 2，3=一 4 1,
11、2,3=一 1620 【正确答案】 由于 r(A)=3，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有一个 解向量，又 A21 一( 2+3)=2A1 一 A2A 3=2BBB=0因此 21 一( 1+2)=是 AX=0 的一个非零解向量是 AX=0 的基础解系，所以 AX=B 的通解为(k 为任意实数)21 【正确答案】 设属于 3 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，由( 1， 3)=0，( 2， 3)=0 得 所以 即 3=k(1，0，1) T又因为 A 的特征值为 1，2，3，所以 即 P-1AP=A 于是 A=PAP-122 【正确答案】 根据假设条件知，变换后二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵分别为二次型 f 可以写成 f=XTAX，f=Y TBY由于PTAP=B，且 P 为正交矩阵，故 PT=P-1，于是有 P-1AP=B，即 AB，所以有IA=I B，即 由此可得方程2 一 32+(2 一 a2 一 b2)+(a 一 b)2=2 一 32+2，从而有方程组 解之得 a 一 b=0，为所求的常数四、证明题23 【正确答案】 对于任意取定的 1in，取第 i 个标准单位向量i=(0，0，1，0，0) T第 i 列由 A 的正定性知道必有
