1、选修4-4 坐标系与参数方程,热点题型1 极坐标 【感悟经典】 【典例】1.(2017天津高考)在极坐标系中,直线 与圆=2sin 的公共点的个数为 _.,2.(2017北京高考)在极坐标系中,点A在圆 2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0), 则|AP|的最小值为_.,【联想解题】 1.看到极坐标方程,想到利用公式x=cos , y= sin ,2=x2+y2把极坐标方程化为直角坐标 方程.,2.看到曲线的极坐标方程,点的极坐标,想到利用公式x=cos ,y=sin ,2=x2+y2把极坐标方程化为直角坐标方程,把极坐标化为直角坐标.,【规范解答】1.直线为2 x+2y
2、+1=0 ,圆为x2+ (y-1)2=1 ,因为圆心到直线的距离d= 1 ,所以 有两个交点. 答案:2,2.将圆的极坐标方程化为普通方程为x2+y2-2x- 4y+4=0 ,整理为(x-1)2+(y-2)2=1 ,圆心C(1,2),点P的 直角坐标为(1,0),点P是圆外一点,所以 的最小值 就是 -r=2-1=1. 答案:1,【规律方法】 1.确定极坐标方程的五要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,五者缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:极点与原点重合;极轴与x轴正向重合;取相同的单位长度.,(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要
3、运用公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.,【对点训练】 1.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.,(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足 |OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程. (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面 积的最大值.,【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0),为M的 极坐标为(0,)(00),由题设知 =, =0,由
4、 =16得C2的极坐标方程为= 4cos(0),因此C2的直角坐标方程为 (x-2)2+y2=4(x0).,(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知 |OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积 S= |OA|BsinAOB=4cos = 2 2+ . 当=- 时,S取得最大值2+ . 所以OAB面积的最大值为2+ .,2.(2018安庆一模)在直角坐标系xOy中,直线l: (t为参数,其中为直线的倾斜角)与 曲线C: (为参数)相交于不同的两点A,B.,(1)当= 时,求直线l与曲线C的普通方程. (2)若|MA|MB|=|OM|2 - ,其中M( ,0),求直线 l的斜率.,【解
5、析】(1)当= 时,直线l的普通方程为 y=x- ,曲线C的普通方程为 +y2=1. (2)把 代入 +y2=1,得(4sin2+cos2)t2+(2 cos)t-1=0, |MA|MB|=|t1t2|= =|OM|2 - = ,得sin2= , 所以tan2 = ,所以斜率k= .,3.(2018枣庄一模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数 方程为 (为参数),直线 的参数方程为(t为参数). (1)若a=1,求直线l被曲线C截得的线段的长度. (2)若a=11,在曲线C上求一点M,使得点M到直线 的距 离最小,并求出最小距离.,l,l,【解析】(1)曲线C的普通方程为 + =1. 当a=1
6、时,直线l的普通方程为y=2x. 由 .解得 或 , 直线l被曲线C截得的线段的长度为,(2)方法一:当a=11时,直线l的普通方程为2x-y-10=0. 由点到直线的距离公式,椭圆 上的点M (3cos ,2sin )到直线l :2x-y-10=0的距离为 d= =,= 其中0满足cos 0= ,sin 0= . 由三角函数性质知,当+0=0时,d取最小值 2 -2 . 此时,3cos =3cos(-0)= , 2sin =2sin(-0)=- .,因此,当点M位于 时,点M到l的距离取最小值 2 -2 .,方法二:当a=11时,直线l的普通方程为2x-y-10=0. 设与l平行,且与椭圆
7、+ =1相切的直线m的方程 为2x-y+n=0.,由 消去y并整理得40x2+36nx+9n2-36=0. 由判别式=(36n)2-440(9n2-36)=0,解得 n=2 . 所以,直线m的方程为2x-y+2 =0或2x-y-2 =0.,要使两平行直线l与m间的距离最小,则直线m的方程为 2x-y-2 =0. 这时, l与m间的距离d= =2 -2 .,此时点M的坐标为方程组 的解因此,当点M位于 时,点M到直线l的距离取 最小值2 -2 .,【提分备选】1.(2018九江三模)在极坐标系中,点 P的极坐标是 ,曲线C的极坐标方程为 = 4cos .以极点为坐标原点,极轴为x轴的正 半轴建立
8、平面直角坐标系,斜率为 -1 的直线经过点P.,(1)写出直线的参数方程和曲线 C的直角坐标方程. (2)若直线和曲线C相交于两点A,B,求 的值.,【解析】 (1) 由曲线 C的极坐标方程=4cos 可得=2cos +2 sin ,即2=2cos + 2 sin ,因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x- 2 y=0,即(x-1)2+(y- )2=4,点P的直角坐标为,(0, ),直线的倾斜角为135,所以直线的参数方程 为 (t为参数).,(2)将 (t为参数)代入(x-1)2+(y- )2=4,得t2+ t-3=0,设A,B对应的参数 分别为t1,t2,则t1+t2=- ,t1t2=
9、-3,根据直线参数方程t的几何意义有,2.(2018泸州四模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方 程 (为参数).以O为极点,x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程.,(2)设直线的极坐标方程是2sin =3 ,射线 x-y=0(x0)与圆C的交点为O,P,与直线的交点为Q, 求线段PQ的长.,【解析】(1)因为 消参得:(x-1)2+y2=1, 把x=cos,y=sin 代入得(cos -1)2+ (sin )2=1, 所以圆C的极坐标方程为=2cos .,(2)射线 x-y=0(x0)的极坐标方程是= ,设 点P(1,1),则有: 解得 设点Q(2,2),则有: 解
10、得 由于1=2,所以|PQ|=|1-2|=2, 所以线段PQ的长为2.,3.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数).在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴 的极坐标系中,曲线C2:2 =,(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程. (2)若C1与C2相交于A,B两点,设点F(1,0),求 的值.,【解析】(1)由 (t为参数) 得 即 x-y- =0, 所以曲线C1的普通方程为y= (x-1).,由2= 得32+2sin2 =12,3(x2+y2)+y2=12 即3x2+4y2=12, 所以C2的直角坐标方程为,(2)由题意可设,与A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将 C1的参数方程
11、代入C2的直角坐标方程 ,化简整理得, 5t2+4t-12=0,所以,所以 因为t1t2=- 0,所以,所以,4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系.若直线l的极坐标方程为 cos(- )-2=0,曲线C的极坐标方程为 sin2 =cos ,将曲线C上所有点的横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得 到曲线C1.,(1)求曲线C1的直角坐标方程. (2)已知直线l与曲线C1交于A,B两点,点P(2,0),求|PA|+|PB|的值.,【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为y2=x, 所以曲线C1的直角坐标方程为y2=2(x-1). (2)由
12、直线l的极坐标方程为 cos (- )-2=0, 得cos +sin -2=0, 所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=0,又因为点P(2,0)在直线l上,所以直线l的参数方程为:(t为参数),代入C1的直角坐标方程得t2+2 t-4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则=8+160, t1+t2=-2 ,t1t2=-4, 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| =,热点题型2 参数方程 【感悟经典】 【典例】(2017江苏高考)在平面坐标系xOy中,已知 直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的参数方程,为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P 到直线l的距
13、离的最小值.,【联想解题】看到参数方程,想到消去参数化为普通方程;看到求点到直线的距离,想到应用点到直线的距离公式.,【规范解答】直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 s), 从而点P到直线l的距离当s= 时,dmin= .,所以当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距 离取到最小值 .,【规律方法】 在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它
14、们二者要表示同一曲线.,【对点训练】 1.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数 方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).,(1)若a=-1,求C与l的交点坐标. (2)若C上的点到l的距离的最大值为 ,求a.,【解析】(1)a=-1时,直线l的方程为x+4y-3=0. 曲线C的标准方程是 +y2=1, 联立方程 解得: 或 则C与l的交点坐标是(3,0)和 .,(2)直线l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 设曲线C上点P(3cos ,sin ). 则P到l的距离 其中tan = . 依题意得:dmax= , 解得a=-16或a=8.,2.在直角坐标系xOy中,
15、曲线C1的参数方程为 (为参数),将曲线C1上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2,在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以 原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的极坐 标方程为cos =-2 .,(1)求直线l和曲线C2的直角坐标方程. (2)设点Q是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.,【解析】(1)因为直线l的极坐标方程为cos =-2 ,所以有cos -sin +4=0,即直线l的直 角坐标方程为:x-y+4=0, 因为曲线C1的参数方程为 (为参数),经过变换后得到曲线C2的参数方程为 (为参数), 所以曲线C2化为直
16、角坐标方程为:x2+y2=1.,(2)因为点Q在曲线C2上, 故可设点Q的坐标为(cos ,sin ), 从而点Q到直线l的距离为,可得,当cos =1时,d取得最大值,且最大值为 2 +1.,3.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为sin2=4cos .,(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程. (2)若点M的坐标为(2,-1),直线l与曲线C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.,【解析】(1)由 (t为参数)消去参数t,得直线l的普通方程为x+y-1=0, 由sin2 =4cos ,两
17、边同乘得 2sin2=4cos ,即y2=4x, 故曲线C的直角坐标方程为y2=4x.,(2)在 (t为参数)中,令t=- t,得直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数),代入曲线C:y2=4x,整理得:(t)2+2 t-14=0, 设A,B所对应参数分别为t1,t2,则t1+t2= -2 ,t1t2=-140, 所以,|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| =,【提分备选】 1.(2018西北师范大学附中三模)若以直角坐标系xOy 的O为极点,Ox为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标 系,得曲线C的极坐标方程是= .,(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲 线
18、是什么曲线. (2)若直线l的参数方程为 (t为参数),当直线l与曲线C相交于A,B两点时,求|AB|.,【解析】(1)因为= , 所以2sin2=6cos , 所以曲线C的直角坐标方程为y2=6x,曲线为以 为焦 点,开口向右的抛物线.,(2)直线l的参数方程可化为 (t为参数)代入y2=6x,得t2-4t-12=0. 解得t1=-2,t2=6. 所以|AB|=|t1-t2|=8.,2.在平面直角坐标系xOy中,将圆O:x2+y2=4上每一个点 的横坐标不变,纵坐标变为原来的 ,得到曲线C. (1)求曲线C的参数方程.,(2)以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,在两坐标系中取相同的单位长度,射线 =( 0)与圆O和曲线C分别交于点A,B,求|AB|的最大值.,【解析】(1)圆的参数方程为 (为参数). 根据题意,曲线C的参数方程为 (为参数).,(2)令=,则在极坐标系中 A(2,), 则|AB|=2- , 当= 时|AB|取最大值1.,
