1、1第三讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线 y2=4x 的焦点为 F,一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出,经过抛物线上的点 A 反射后,再经抛物线上的另一点 B 射出,则直线 AB 的斜率为 ( )A. B.- C. D.-43 43 43【解析】选 B.因为 MA 平行于 x 轴,所以 A 的纵坐标为 1,所以 A 的横坐标为 ,又因 为直线14AB 经过焦点
2、F(1,0),所以直线 AB 的斜率为 =- .432.若 a1,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是 ( )22A.( ,+) B.( ,2)2 2C.(1, ) D.(1,2)2【解析】选 C.因为 e= = ,a1,所以 e(1, ).2+1 1+(1)2 23.设离心率为 的椭圆 + =1 的右焦点与双曲线 x2- =1 的右焦点重合,则椭圆方程为12 2222 23( )A. + =1 B. + =12423 28262C. + =1 D. + =1【解析】选 D.因为双曲线 x2- =1 的右焦点为(2,0),所以 c=2,又因为离心率为 ,所以23 12a=4,所以 b2=
3、12,所以椭圆的方程为 + =1.4.已知抛物线 C1:y2=4x 和圆 C2:(x-1)2+y2=1,直线 y=k(x-1)与 C1,C2依次相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中 x1b0)的一个焦点为 F1,若椭圆上存在一个 点 P,满足以椭圆短轴为直径22的圆与线段 PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.23 59【解析】选 D.设线段 PF1的中点为 M,另一个焦点为 F2,由题意知,OM=b,又 OM 是F 1PF2的中位线,3所以 OM= PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知 PF1=2a-P
4、F2=2a-2b,12则 MF1= PF1= (2a-2b)=a-b,又 OF1=c,12 12所以在直角三角形 OMF1中,由勾股定理得:(a-b) 2+b2=c2,又 a2-b2=c2,可得 2a=3b,故有 4a2=9b2=9(a2-c2),由此可求得离心率 e= = .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.已知 A,B 是圆 C:x2+y2-8x-2y+16=0 上两点,点 P 在抛物线 x2=2y 上,当APB 取得最大值时,|AB|=_. 【解析】设PCB=,(0,),要使得 APB 取得最大值,当且仅当 cosACB =cos 2=2cos 2-1= -1 达到最大,也就
5、是 CP2最小时,因为圆心 C 的坐标为(4,1),设点 P22,所以 CP2=(x-4)2+ = -8x+17,求导数得 x3-8=0,所以 x=2,(,22) 44所以当 x=2 时,CP 2取到最小值,最小值为 5,此时 cos 2=- ,所以在ACB 中由余弦定理35得|AB|= = .2-2(-35)455答案:4557.椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,顶点 B(0,b)到右焦点 F2的距离为 4,2222直线 x= a 上存在点 P,使得F 2PF1为底角是 30的等腰三角形,则此椭圆方程为32_. 【解析】因为顶点 B(0,b)到 F2的距离为 4,所以
6、a=4,因为F 2PF1为底角是 30的等腰三4角形,所以 c=3,所以 b2=7,所以椭圆方程为 + =1.27答案: + =1278.与双曲线 -y2=1 有相同的焦点,且经过点(0,-2)的椭圆的标准方程为_. 25【解析】因为双曲线 -y2=1 的焦点为( ,0),所以椭圆的焦点为25 6( ,0),c= ,又因为椭圆经过点 (0,-2),所以 b=2,所以 a2=10,椭圆的方程为6 6+ =1.24答案: + =124三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)9.已知抛物线 C:y2=2px(p0),焦点为 F,直线 l 交抛物线 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
7、D(x0,y0)为 AB 中点,且|AF|+|BF|=2+2x 0.(1)求抛物线 C 的方程.(2)若过 A 作抛物线 C 的切线 l1,过 D 作与 x 轴平行的直线 l2,设 l1与 l2相交于点 E,l2与 C相交于点 H,求证: 为定值 ,并求出该定值.|【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x 1+x2+p,x1+x2=2x0,因为|AF|+|BF|=2+2x 0,所以 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)设过 A(x1,y1)的切线 l1方程为 x=m(y-y1)+x1,联立抛物线 C 与切线 l1的方程 得 y2-4my+4my1- =0,所以 =
8、16m 2-4(4my1-4x1)=0,解得 m= ,125所以过点 A 的切线方程为 y1y=2(x+x1),联立直线 l2的方程 y=y0,解得点 E ,即 E 为 ,(124,0)所以 H ,所以|EH|= - = = ,204 (1+2)2-41216 (1-2)216所以|HD|=x D- = -2041+22 204= = ,21+22-2(1+22 )28 (1-2)216所以 =1,即 的定值为 1.| |10.已知动点 M 到定点 F(1,0)的距离比 M 到定直线 x=-2 的距离小 1.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程.(2)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1和
9、l2,分别交曲线 C 于点 A,B 和 K,N.设线段 AB,KN的中点分别为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过一个定点.【解析】(1)由题意可知:动点 M 到定点 F(1,0)的距离等于 M 到定直线 x=-1 的距离,根据抛物线的定义可知,点 M 的轨迹 C 是抛物线.因为 p=2,所以抛物线方程为:y 2=4x.(2)设 A,B 两点坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则点 P 的坐标为 .(1+22 ,1+22 )由题意可设直线 l1的方程为 y=k(x-1)(k0),6由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(2k 2+4)2-4k4=16k2+160,因为直线 l1与
10、曲线 C 交于 A,B 两点,所以 x1+x2=2+ ,y1+y2=k(x1+x2-2)= ,42 4所以点 P 的坐标为 .由题意知,直线 l2的斜率为- ,同理可得点 Q 的坐标为(1+2k 2,-2k),1当 k1 时,有 1+ 1+2k 2,此时直线 PQ 的斜率 kPQ= =222+21+22-1-22.所以,直线 PQ 的方程为 y+2k= (x-1-2k2),整理得 yk2+(x-3)k-y=0.于是,直线 PQ 恒过定点(3,0);当 k=1 时,直线 PQ 的方程为 x=3,也过点(3,0).综上所述,直线 PQ 恒过定点(3,0).11.已知椭圆 C: + =1(ab0)经
11、过点 A ,且两个焦点 F1,F2的坐标依次为(-2222 (12,354)1,0)和(1,0).(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)设 E,F 是椭圆 C 上的两个动点,O 为坐标原点,直线 OE 的斜率为 k1,直线 OF 的斜率为 k2,若 k1k2=-1,证明:直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.7【解析】(1)由椭圆定义得 2a=+ =4,(12+1)2+(354 -0)2 (12-1)2+(354 -0)2即 a=2,又 c=1,所以 b2=3,得椭圆 C 的标准方程为+ =1.2423(2)设直线 EF 的方程为 y=kx+b,E(x1,y1),F(x2
12、,y2),直线 EF 的方程与椭圆方程联立,消去 y 得(3+4k 2)x2+8kbx+4b2-12=0,当判别式 =3+4k 2-b20 时,得x1+x2=- ,x1x2= ,83+42由已知 k1k2=-1,即 =-1,1212因为点 E,F 在直线 y=kx+b 上,所以(kx 1+b)(kx2+b)=-x1x2,整理得(k 2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,即(k 2+1) +bk +b2=0,(- 83+42)化简得 b2= ,原点 O 到直线 EF 的距离 d= ,d2= = = ,|1+2 21+2122+1272+7所以直线与一个以原点为圆心的定圆相切,定圆的标准
13、方程为 x2+y2= .【提分备选】81.已知 F 为双曲线 C: - =1(a0,b0)的一个焦点,其关于双曲线 C 的一条渐近线的对2222称点在另一条渐近线上,则双曲线 C 的离心率为 ( )A. B. C.2 D.2 3 5【解析】选 C.如图所示,由题意可知OPQOPF,所以POQ=POF=QOM=60,所以 e= =2.2.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,在抛物线 C 上任取一点 A,过 A 作 l 的垂线,垂足为 E.(1)若|AF|=5,求 cosEAF 的值.(2)除 A 外,EAF 的平分线与抛物线 C 是否有其他的公共点,并说明理由.【解析】(1)|
14、AF|=x A+1=5,所以 xA=4,即 A(4,4),由抛物线的对称性,不妨取 A(4,4),因为 F(1,0),E(-1,4),所以 =(-5,0), =(-3,-4),所以 cosEAF= = = .155535(2)设 A(x0,y0),因为 F(1,0),E(-1,y0),所以 =(2,-y0).由|AE|=|AF|知EAF 的平分线所在直线就是EAF 边 EF 上的高所在的直线.所以EAF 的平分线所在的直线方程为 2(x-x0)-y0(y-y0)=0.由 消 x 得 y2-2y0y-4x0+2 =0.9因为 =4x0,方程化为 y2-2y0y+ =0,即 y1=y2=y0.即E
15、AF 的平分线与抛物线 C 只有一个公共点,除 A 以外没有其他公共点.(20 分钟 20 分)1.(10 分)设椭圆 E: + =1 的焦点在 x 轴上.22 21-2(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的 方程.(2)设 F1,F2分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1PF 1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.【解析】(1)因为焦距为 1,所以 2a2-1= ,14解得 a2= .58故椭圆 E 的方程为 + =1.(2)设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= .由题设知
16、 x0c,则直线 F1P 的斜率 = ,直线 F2P 的斜率 = .故直线 F2P 的方程为 y= (x-c).当 x=0 时,y= ,即点 Q 坐标为 .0-0 (0,0-0)因此,直线 F1Q 的斜率为 = .10由于 F1PF 1Q,所以 = =-1.化简得 = -(2a2-1).将代入椭圆 E 的方程,由于点 P(x0,y0)在第一象限,解得 x0=a2,y0=1-a2,即点 P 在定直线x+y=1 上.2.(10 分)已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7=0相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 ,圆 C 的面积小于 13.3(1)求
17、圆 C 的标准方程.(2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OADB.是否存在这 样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在,求出 l 的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆 C:(x-a)2+y2=R2(a0),由题意知解得 a=1 或 a= ,又 S=R 20,11解得 k1+ .263 263x1+x2=- ,y1+y2=k(x1+x2)+6= ,6-21+2 2+61+2= + =(x1+x2,y1+y2), =(1,-3),假设 ,则-3(x 1+x2)=y1+y2,所以 3 = ,6-21+2解得 k= ,假设不成立,34(-, 1-263) (1+263,+ )所以不存在这样的直线 l.
