1、第二讲 概率及其与统计的综合应用,热点题型1 事件与概率、古典概型、几何概型 【感悟经典】 【典例】1.从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是_.,2.如图,在等腰直角ABC中,过直角顶点C 作射线CM交AB于M,则使得AM小于AC的概率 为_. 3.一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.,【联想解题】1.看到求概率,想到古典概型. 2.看到求AM小于AC的概率,想到几何概型. 3.看到求红球或黑球的概率,想到互斥事件的概率加法公式.,【
2、规范解答】1.方法一:设红球为A1,A2,黄球为B1,B2 白球为C1,则从5个球中随机取出两个球,得基本事件空间=A1A2,A1B1,A1B2,A1C1,A2B1,A2B2,A2C1,B1B2, B1C1,B2C1, 设事件A为“两球颜色不同”,则A=A1B1,A1B2,A1C1,A2B1,A2B2,A2C1,B1C1,B2C1,所以P(A)= = . 方法二:用对立事件的概率公式:P(A)=1- = . 答案:,2.当AM=AC时,ACM为以A为顶点的等腰三角形, ACM= =67.5.当ACM67.5时,AMAC, 所以AM小于AC的概率 答案:,3.记事件A1=任取1球为红球,A2=任
3、取1球为黑球, A3=任取1球为白球,A4=任取1球为绿球, 则P(A1)= ,P(A2)= = , P(A3)= = ,P(A4)= , 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥.,方法一 (利用互斥事件求概率) (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)=P(A1)+P(A2)= + = . (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .,方法二 (利用对立事件求概率) (1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出 1球为白球或绿球,即A1A2的对立事件为A3A4,所以取 出1球为红球或黑球的概率为
4、P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=1- - = .,(2)因为A1A2A3的对立事件为A4, 所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)=1-P(A4)=1- = .,【规律方法】 1.计算古典概型概率步骤 (1)算出基本事件的总个数n. (2)求出事件A所包含的基本事件个数m. (3)代入公式求出概率P,解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.,2.与面积有关的平面图形的几何概型的解题关键 对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.,【对点训练】 1.(2018唐山一模)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂
5、色,每个小球只涂一种颜色,则两个小球颜色不同的概率为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.用3种颜色给甲、乙两个小球涂色,有9种 方法,两个小球涂色不同的方法有6种,所以所求的概率 为 = .,2.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”, 它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一 块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一 块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方 形,在其中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ),A. B. C. D.,【解析】选A.由七巧板的构造可知,BICGOH,故 黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等,则SEFOH=SDOF
6、= SABDF= SABDF,所以所求的概率 为P=,3.连续投掷两次正方体骰子得到的点数分别为m和n,记 向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为,求 的概率.,【解析】因为连续投掷两次正方体骰子得到的点数分 别为m和n, 则基本事件空间=(m,n)|m,nN,1m, n6中共有36个元素,如图,使得 的点有21个, 所以由古典概型的计算公式,可得 的概率 是 = .,【提分备选】在一个不透明的箱子里装有5个完 全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.,(1)若甲、乙两人谁摸
7、出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率. (2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?,【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的 数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),共25个.,(1)设甲获胜的事件
8、为A,则事件A中包含的基本事件有: (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),共10个, 则P(A)= = .,(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包 含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有10个; 则P(B)= = . 所以P(C)=1-P(B)= . 因为P(B)P(C),所以这样规定不公平.,热点题型2 概率与统计综合 【感悟经典】 【典例】最新高考改革方案已在上海和浙江开始实施,某教育机构为
9、了解我省广大师生对新高考改革方案的看法,对某市部分学校500名师生进行调查,统计结果如下:,在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的学生的概率为0.3,且z=2y.,(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查,则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少? (2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出三人进行座谈,求至少有一名教师被选出的概率.,【联想解题】(1)看到分层抽样,想到求抽样比. (2)看到求概率,想到古典概型.,【规范解答】(1)由题意 =0.3,所以x=150, 所以y+z=60, 因为z=2y,所以y=20,z=40,则应抽取“不赞成改革”的
10、 教师人数为 20=2,应抽取“不赞成改革”的学生 人数为 40=4.,(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a,b,4名学 生记为1,2,3,4,随机选出三人的不同选法有(a,b,1), (a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3,),(a,1,4), (a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4), (b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4), (2,3,4),共20种,至少有一名教师的选法有,(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4
11、),(a,1,2),(a,1,3), (a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3), (b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),共16种. 至少有一名教师被选出的概率P= = .,【规律方法】 解答概率统计问题的关注点 概率统计解答题的主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是解决问题的关键,因此要把这些统计图表的含义弄清楚,在此基础上掌握好样本特征数的计算方法、各类概率的计算方法.,【对点训练】 1.(2018成都一模)A,B两人进行一局围棋比赛,A获胜 的概率为0.8,若采用三局两胜制举行一场比赛,现采用 随机模拟
12、的方法估计B获胜的概率.先利用计算器生成0 到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获 胜;8,9表示B获胜,这样能体现A获胜的概率为0.8.因为,采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数: 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计B获胜的概率为_.,【解析】在30组数中,有698,959两组是B获胜,所以估计B类获胜的概率为 = . 答案:
13、,2.(2018曲靖一模)央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况,随机抽取了某市30名观众进行调查,其中有12名男观众和18名女观众,将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图(单位:分钟),收视时间在35分钟以上(包括35分钟)的称为“朗读爱好者”,收视时间在35分钟以下(不包括35分钟)的称为“非朗读爱好者”.,(1)若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名,再从这5名观众中任选2名,求至少选到1名“朗读爱好者”的概率. (2)若从收视时间在40分钟以上(包括40分钟)的所有观众中选出男、女观众各1名,求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.,
14、【解析】(1)根据茎叶图,有“朗读爱好者”12人,“非 朗读爱好者”18人,用分层抽样的方法,每个人被抽到的 概率是 = ,所以选中的“朗读爱好者”有12=2人,记为B,C,“非朗读爱好者”有18 =3人, 记为1,2,3.,基本事件有(B,C),(B,1),(B,2),(B,3),(C,1),(C,2), (C,3),(1,2),(1,3),(2,3)共10个;记A:至少有一名是 “朗读爱好者”被选中,满足事件A的有(B,C),(B,1), (B,2),(B,3),(C,1),(C,2),(C,3)共7个,则P(A)= .,(2)收视时间在40分钟以上的男观众分别是41,42,44, 47,
15、51,女观众分别是40,41,现要各抽一名,则有(41,40), (41,41),(42,40),(42,41),(44,40),(44,41),(47,40), (47,41),(51,40),(51,41),共10种情况.,收视时间相差5分钟以上的有(47,40),(47,41),(51,40), (51,41),共4种情况.故收视时间相差5分钟以上的概率 P= = .,【提分备选】1.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:,(1)根据表中数据,问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下(有95%的把握)认为“南方学生和北方学生在选用甜品
16、的饮食习惯方面有差异”. (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.,【解析】(1)将22列联表中的数据代入公式计算,得 K2= = 4.762.由于4.7623.841, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下(有95%的把 握)认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯 方面有差异”.,(2)从5名数学系学生中任取3人的所有的基本事件有 (a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2), (a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b
17、1,b3), (a2,b2,b3),(b1,b2,b3),共10个. 其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2;bj表示不喜欢甜品 的学生,j=1,2,3.,这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A包 含的基本事件有(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3), (a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3),共7个. 因而P(A)= .,2.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁 以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年 龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了10
18、0名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄 在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为 两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.,(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件写出22列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?,【解析】(1)由已知得,样本中有25周岁以上
19、组工人60 名,25周岁以下组工人40名. 所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁 以上组工人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以 下组工人有400.05=2(人),记为B1,B2.,从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), (A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有一名 “25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B
20、2), (B1,B2).故所求的概率为P= .,(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中, “25周岁以上组”中的生产能手有600.25=15(人), “25周岁以下组”中的生产能手有400.375=15(人), 因此可列22的列联表如下:,所以得 因为1.793.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.,数学建模概率的热点问题中的数学素养 【相关链接】 1.概率是高考中相对独立的一个内容,处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.,2.概率问题
21、的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心,找到对应的古典概型和几何概型是解题的关键,能熟练掌握统计中的频率分布直方图、茎叶图,以及独立性检验.,命题角度1:以实际背景为载体考查古典概型 【典例1】某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活 动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次 转动后,待转盘停止转动时,记录 指针所指区域中的数.设两次记 录的数分别为x,y.奖励规则如下:,若xy3,则奖励玩具一个; 若xy8,则奖励水杯一个; 其余情况奖励饮料一瓶.,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率. (2)请比较小亮获得水杯与
22、获得饮料的概率的大小,并说明理由.,【规范解答】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,其活动记录与奖励情况如下:,显然,基本事件总数为16. (1)xy3情况有5种,所以小亮获得玩具的概率= . (2)xy8情况有6种,所以获得水杯的概率= = , 所以小亮获得饮料的概率=1- - = ,即 小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.,命题角度2:概率与统计的交汇问题 【典例2】(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:,未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表,使用了节水龙头50天的日用水量频数
23、分布表,(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.,(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率. (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.),【规范解答】(1),(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水 量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1 +20.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量 小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.,(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数 为 = (0.051+0.153+0.2
24、52+0.354+0.45 9+0.5526+0.655)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为= (0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.45 16+0.555)=0.35.,估计使用节水龙头后,一年可节省水 (0.48-0.35)365=47.45(m3).,【规律方法】 利用列举法求解基本事件数的关注点 首先,要正确理解题意,明确一些常见的关键词,如“至多”“至少”“只有”等,其次,要熟练使用常用的列举法.只有有规律地列出基本事件,才能避免“重”和“漏”.,【通关题组】 1.(2018厦门一模)甲、乙两名同学分别从“象棋” “文学”“摄影” 三个
25、社团中随机选取一个社团加入, 则这两名同学加入同一个社团的概率是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.甲、乙两人随机选取一个社团加入,共有 9种方法,其中两人加入同一个社团的情形有3种,所以 所求的概率为 = .,2.(2018榆次一模)甲、乙二人约定7:10在某处会面, 甲在7:00-7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05-7:20内 某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.因为甲在7:007:20内某一时刻随机到达,所以从7:00计时设甲到达约定地点的时刻为x,因为乙在7:057:20内某一时刻随机到达,所以从7:05计时设
26、乙到达约定地点的时刻为y,则点(x,y)的全体构成样本空间,如图,它的面积为2015=300,事件“甲至少等待乙5分钟”, 即y-x5,对应图中阴影部分,它的面积为 = , 所以所求事件的概率为 = .,【提分备选】 (2018沧州联考)为加速京津冀一体化的旅游发展,以 倡导亲子游览,增进和谐家庭为目的,由中国关心下一 代工作委员会事业发展中心发起的20172018北京亲 子年票京津冀跨年版,共收入京津冀100多个亲子游玩,学习的好去处,年票单价198元.某一旅游公司工作人员为了考察年票的使用情况,进行了抽样调查,各地区销售数量如表所示.拟采用分层抽样的方法抽出容量为6的样本.,(1)求这6张
27、年票中分别来自三个地区的年票数量. (2)若在这6张年票中随机抽取2张,求至少有1张来自于北京的概率.,(3)为迎接北京冬奥会,年票中特别提供了多样化选择 的平台,有十渡爱琴海滑雪场(房山),陶然亭冰雪嘉年 华(西城),八达岭滑雪场(延庆),钓鱼岛滑雪场(怀柔), 门票价格分别是98元,110元,100元, 70元,年票规则是 只允许使用一次.假设一名顾客在年票有效期内只在这,四个滑雪场选择两个场所游玩,请回答去哪两个滑雪场更划算(只写结论).,【解析】(1)150+100+50=300 6 =3,6 =2,6 =1,所以来自北京、天 津、河北三个地区的年票数量分别是3,2,1.,(2)来自北京的年票记作a1,a2,a3;来自天津的年票记作 b1,b2;来自河北的年票记作c. =(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,a3), (a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c), (b1,b2),(b1,c),(b2,c),共15种,其中至少有1张来自于 北京的年票共有12种.,故至少有1张来自于北京的概率P= = . (3)选择去陶然亭冰雪嘉年华(西城)和八达岭滑雪场 (延庆)更划算.,
