1、1第 1 讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与圆 1,6,12,15圆锥曲线的定义及应用 5,9,10圆锥曲线的方程 4,8,16圆锥曲线的几何性质 2,3圆锥曲线的离心率 7,11,13,14一、选择题1.(2018吉林长春市一模)已知圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标为(a,b),则 a2+b2等于( D )(A)8 (B)16 (C)12 (D)13解析:由圆的标准方程可知圆心为(2,-3),即 a2+b2=13.故选 D.2.(2018浙江卷)双曲线 -y2=1 的焦点坐标是( B )23(A)(- ,0),( ,0
2、) (B)(-2,0),(2,0)2 2(C)(0,- ),(0, ) (D)(0,-2),(0,2)2 2解析:因为双曲线方程为 -y2=1,23所以 a2=3,b2=1,且双曲线的焦点在 x 轴上,所以 c= = =2,2+2 3+1即得该双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选 B.3.(2018淮南二模)已知 F1,F2是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左右焦点,F 1(- ,0),双曲227线右支上一点 P,满足|PF 1|-|PF2|=4,则它的渐近线方程为( A )(A)y= x (B)y= x233(C)y= x (D)y= x34 43解析:因为 F1(- ,0
3、),7所以 c= ,7因为双曲线右支上一点 P,满足|PF 1|-|PF2|=4,所以 2a=4,即 a=2,则 b2=c2-a2=7-4=3,即 b= ,3则双曲线的渐近线方程为 y= x= x.故选 A.24.(2018河南二模)已知双曲线 - =1(a0,b0)的两个焦点分别为 F1,F2,以线段 F1F2为2222直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为( A )(A) - =1 (B) - =1216(C) - =1 (D) - =1216解析:因为双曲线 - =1(a0,b0)的上、下焦点分别为 F1,F2,2222所以以|F 1F2|为直径的圆的方程为 x
4、2+y2=c2,因为以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),所以16+9=2,3=4,2+2=2,解得 a=3,b=4,所以双曲线的方程为 - =1.故选 A.2165.设 F1,F2分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则224PF 1F2的面积等于( C )(A)4 (B)8 (C)24 (D)482 3解析:a 2=1,b2=24,所以 c2=a2+b2=25,所以 c=5.因为|PF 1|-|PF2|=2a=2,3|PF1|=4|PF2|,所以|PF 1|=8,|PF2|=6.又|F 1F2|=2c=10
5、,所以F 1PF2=90.所以 = |PF1|PF2|=24.故选 C.12126.过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|等于( C )(A)2 (B)8 (C)4 (D)106 6解析:设圆心为 P(a,b),由点 A(1,3),C(1,-7)在圆上,知 b= =-2,再由|PA|=|PB|,得 a=1.则372P(1,-2),|PA|= =5,于是圆 P 的方程为(x-1) 2+(y+2)2=25.令 x=0,得 y=-(11)2+(3+2)222 ,则|MN|=|(-2+2 )-6 6(-2-2 )|=4 .故选 C.6 637.(2
6、017全国卷)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A22222为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( A )(A) (B) (C) (D)13解析:圆心(0,0)到直线的距离等于圆的半径 a,即 =a,22+2解得 a2=3b2,c2=a2-b2=2b2,所以 e2= = ,e= ,故选 A.22238.(2018天津卷)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直2222线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双
7、曲线的方程为( A )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1212 212解析:设双曲线的右焦点为 F(c,0).将 x=c 代入 - =1,得 - =1,2222 2222所以 y= .2不妨设 A(c, ),B(c,- ).2 2双曲线的一条渐近线方程为 y= x,即 bx-ay=0,则 d1= = = (c-b),|2|2+()2|2| 4d2= = = (c+b),|+2|2+()2|+2| 所以 d1+d2= 2c=2b=6,所以 b=3.因为 =2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以双曲线的方程为 - =1.故选 A.9.(2018郑州市二次质量预
8、测)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离222心率为 ,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若AF 1B 的周长为 12,则 C 的方程为( D )23(A) +y2=1 (B) + =1(C) + =1 (D) + =1解析:由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以 a=3.因为椭圆的离心率 e= = ,23所以 c=2,所以 b2=a2-c2=5,所以椭圆 C 的方程为 + =1,故选 D.10.(2018福州市质检)过抛物
9、线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 的直线交 C 于 A,B 两点,若|AF|=3|BF|=3,则 p 等于( C )(A)3 (B)2 (C) (D)132解析:如图,分别过点 A,B 作准线 l 的垂线 AA1,BB1,垂足分别为 A1,B1,过点 B 作 BDAA 1于D,BD 交 x 轴于 E.5由已知条件及抛物线定义得|BB 1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3,所以|AD|=3-1=2.在 RtABD 中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以ABD=30,所以|EF|= |BF|= ,12 12所以焦点 F 到准线的距离为 +1= ,12 32即 p= .故选 C.32
10、11.(2018漳州模拟)已知直线 l:kx-y-2k+1=0 与椭圆 C1: + =122(ab0)交于 A,B 两点,与圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1 交于 C,D 两点,若存在 k-2,-1,使得= ,则椭圆 C1的离心率的取值范围是( C )(A)(0, (B) ,1)12 12(C)(0, (D) ,1)解析:直线 l:kx-y-2k+1=0,即为 k(x-2)+1-y=0,可得直线恒过定点(2,1),圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1 的圆心为(2,1),半径为 1,且 C,D 为直径的端点,由 = ,可得 AB 的中点为(2,1),设 A(x1,y1),B(x2,
11、y2),则 + =1, + =1,212212222222两式相减可得 + =0,(1+2)(12)2(1+2)(12)2又由 x1+x2=4,y1+y2=2,6可得 k= =- ,1212由-2k-1,即有 1,12 22则椭圆 C1的离心率 e= = (0, . 122故选 C.12.已知不等式组 表示平面区域 ,过区域 中的任意一个点 P,作圆x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A,B,当四边形 PAOB 的面积最小时,cosAPB 的值为( B )(A) (B) (C) (D)78 12 34解析:作出平面区域 和单位圆 x2+y2=1 的图象如图所示,设 l:x+y-2 =0,数
12、形结合可得 S 四边形 PAOB=2SPAO2=2 |PA|112=|PA|.又因为|PA|= = ,|21所以当 P 到原点距离最小时,四边形 PAOB 的面积最小,此时 POl,且|PO|= =2,故|22|2APO= ,所以APB= ,cosAPB= .故选 B.12二、填空题13.(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - =1(a0,2222b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 c,则其离心率的值为. 7解析:双曲线的渐近线方程为 bxay=0,焦点 F(c,0)到渐近线的距离 d= =b.所以 b= c,所以 a= = c,2212所以 e= =2.答
13、案:214.(2018上饶三模)已知两定点 A(-1,0)和 B(1,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+2 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为 . 解析:椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则 c=1,因为 P 在直线 l:y=x+2 上移动,所以 2a=|PA|+|PB|,过 A 作直线 y=x+2 的对称点 M,设 M(m,n),则由+1=1,12=12(1)+2,解得即有 M(-2,1),则此时 2a=|PA|+|PB|MD|+|DB|=|BM|= ,此时 a 有最小值 ,102对应的离心率 e 有最大值 .105答案:105
14、15.(2017天津卷)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC=120,则圆的方程为 . 解析:由 y2=4x 可得点 F 的坐标为(1,0),准线 l 的方程为 x=-1.8由圆心 C 在 l 上,且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图),可得点 C 的横坐标为-1,圆的半径为1,CAO=90.又因为FAC=120,所以OAF=30,所以|OA|= ,3所以点 C 的纵坐标为 .3所以圆的方程为(x+1) 2+(y- )2=1.3答案:(x+1) 2+(y- )2=1.316.(2018太原市模拟)双曲线 - =1(a0,b0)上一点 M(-3,4)关于一条渐近线的对称点2222恰为双曲线的右焦点 F2,则该双曲线的标准方程为 . 解析:由题意知|OF 2|=|OM|=5,所以 F2(5,0),即 c=5.所以 a2+b2=c2=25, 又 - =1, 162所以所以双曲线的标准方程为 - =1.220答案: - =1220
