1、1第 2 讲 直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与圆锥曲线的位置关系 1,4圆锥曲线的弦长问题 2,5,6中点弦问题 6轨迹方程 7综合问题 3一、选择题1.(2018广东珠海九月摸底)已知抛物线 C:y2=4x,过点 P(-2,0)作直线 l 与 C 交于 A,B 两点,直线 l 的斜率为 k,则 k 的取值范围是( A )(A)(- ,0)(0, ) (B)- , 22 22 22 22(C)(- , ) (D)- ,0)(0, 22 22 22解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+2),由得 k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,当 k=
2、0 时,不合题意,当 k0 时,=16(k 2-1)2-16k40,所以 0b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过2222点 F1且与双曲线 C 的一条渐近线垂直的直线 l 与 C 的两条渐近线分别交于 M,N 两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线 C 的渐近线方程为 . 解析:不妨设 C 与渐近线 y= x 垂直,则直线 l:y=- (x+c),由 得 M(- ,- ),=(+),=, 由 得 N(- , ),=(+),=, 222 22因为|NF 1|=2|MF1|,所以 M 为 NF1的中点,所以 =- ,22即 c2=-2(a2-b2),所以 a2+b2=-2a2+2b2,所以
3、 = ,22故双曲线的渐近线方程为 y= x.33答案:y= x三、解答题4.(2018珠海二模)已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F(0,1).(1)求 p 的值;(2)过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A,B,以 AB 为直径的圆交 x 轴于点 M,N,设 AB 中点为 Q,求QMN 的最小值,并求此时直线 l 的方程.解:(1)因为抛物线的焦点为 F(0,1),所以 =1,即 p=2.3(2)由(1)可知抛物线 C:x2=4y,设 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线 l 的方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 得 x2-4kx-4=0,所以 x1+x2=4k,
4、x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以 AB 的中点 Q 为(2k,2k 2+1),所以|AB|=y 1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,在等腰三角形 QMN 中,QMN 为锐角,sinQMN= =1- 1- = ,22+122+2 122+2 12所以QMN 的最小值为 ,6此时 k=0,即直线 l 的方程为 y=1.5.已知椭圆 C: + =1(ab0)的下顶点为 A,右顶点为 B,离心率 e= .抛物线 E:y= 的焦点为 F,P 是抛物线 E 上一点,抛物线 E 在点 P 处的切线为 l,且 lAB.(1)求直线 l 的方程;(2)若 l 与椭圆
5、 C 相交于 M,N 两点,且 SFMN = ,求椭圆 C 的标准方程.解:(1)因为 e2=1- = ,22所以 = ,所以 kAB= ,又 lAB,所以直线 l 的斜率为 .设 P(t, ),由 y= 得 y= ,28 4因为过点 P 的直线 l 与抛物线 E 相切,所以 = ,412解得 t=2,所以 P(2, ),所以直线 l 的方程为 x-2y-1=0.(2)法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),4由得 2x2-2x+1-4b2=0,则 x1+x2=1,x1x2= ,1422易知 =4-8(1-4b 2)0,解得 b2 ,18所以|x 1-x2|= = .821l:x-2y-
6、1=0 中,令 x=0 得 y=- ,12则 l 交 y 轴于点 D(0,- ),12又抛物线焦点为 F(0,2),所以|FD|=2+ = ,12所以 SFMN = |FD|x1-x2|= = ,解得 b2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.24法二 设 M(x1,y1),N(x2,y2),由得 2x2-2x+1-4b2=0,则 x1+x2=1,x1x2= ,1422易知 =4-8(1-4b 2)0,解得 b2 ,所以|x 1-x2|= = .|MN|= |x1-x2|= ,1+14 52 8215l:x-2y-1=0,抛物线焦点为 F(0,2),则点 F 到直线 l 的距离 d= =
7、 ,|041|5所以 SFMN = |MN|d= 52 821 5= ,解得 b2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.6.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: + =1(ab0)右焦点的直线 x+y- =0 交 M 于 A,B3两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .(1)求 M 的方程;(2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形 ACBD 面积的最大值.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 + =1, + =1, =-1,2121由此可得 =- =1.2(2+1)2(2+1)因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = ,所以 = ,所以 a2=2b2.又由题意知,M 的右焦点的坐标为( ,0),故 a2-b2=3,3因此 a2=6,b2=3,所以 M 的方程为 + =1.26(2)由+ 3=0,26+23=1, 6解得 或因此|AB|= .463由题意可设直线 CD 的方程为y=x+n(- 0,得 b2 . 33要使 k1,k2,k 有意义,则 x10,x 20,所以 0 不是方程(*)的根,所以 b2-20,即 k1 且 k-1. 由,得 k 的取值范围为- ,-1)(-1,- )( ,1)(1, .3 3
