1、第3讲 圆锥曲线的综合问题,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,真题体验,(1)证明:平面AMD平面BMC;,(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.,2.(2017全国卷,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上;,(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,(1)求C的方程;,(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.,考情分析,1.考查角度 以直线与圆
2、锥曲线、圆与圆锥曲线为载体,考查圆锥曲线中的判断与证明、最值与范围、定点与定值、存在性等问题. 2.题型及难易度 解答题,难度中高档.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线的综合问题,(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON= ,求证:点(m,k)在定圆上.,方法技巧,以圆锥曲线的方程、性质为背景考查直线、圆方程、直线与圆的位置关系等问题,关键分析特殊点的位置关系,如圆的圆心、直径与圆锥曲线的位置关系,从而找出它们的数量关系求解.,热点训练1:(2018临沂三模)如图,已知抛物线E:x2=2py(p0)与圆O:x2+y2=5相交于
3、A,B两点,且|AB|=4,过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,相交于点M.,(1)求抛物线E的方程;,解:(1)由|AB|=4,且B在圆上, 由抛物线和圆的对称性可得B(2,1), 代入抛物线可得4=2p, 解得p=2, 所以抛物线E的方程为x2=4y.,(2)求点M到直线CD距离的最大值.,热点二,定点与定值问题,考向1 定点问题,(1)求椭圆C的标准方程;,(2)已知点P(2,t),Q(2,-t)(t0)在椭圆C上,点A,B是椭圆C上不同于P,Q的两个动点,且满足APQ=BPQ.试问:直线AB的斜率是否为定值
4、?请说明理由.,方法技巧,(1)定点问题的常见解法:根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该定点与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组.以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点;从特殊位置入手,找出定点,再证明该点的坐标满足题意(与参数无关),这种方法叫“特殊值探路法”. (2)关于直线系l:y=kx+m过定点问题有以下重要结论: 若m为常数b,则直线l必过定点(0,b); 若m=nk(n为常数),则直线l必过定点(-n,0); 若m=nk+b(n,b为常数),则直线必过定点(-n,b).,(4)定值问题就是证明一个量与其他变化因素无关.解决这类问题以坐标运算为主,需建立相应的目标
5、函数(用变化的量表示),通过运算求证目标的取值与变化的量无关.,热点训练2:(2018太原市二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上. (1)求点B的轨迹E的方程;,(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点.,热点三,探索性问题,考向1 位置的探索,(1)求椭圆的方程及AOB的面积;,(2)在椭圆上是否存在一点P,使四边形OAPB为平行四边形,若存在,求出|OP|的取值范围,若不存在,说明理由.,考向2 参数值的探索 【例5】 (2018辽宁省辽南协作校一模)已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=
6、kx+2交C于A,B两点,M是AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N点.,(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;,(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.,方法技巧,解决存在性(探索性)问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,(2)若直线y=kx(k0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.在x轴上
7、,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.,热点训练5:已知抛物线E:x2=2py(p0)上一点P的纵坐标为4,且点P到焦点F的距离为5.,(1)求抛物线E的方程;,(2)如图,设斜率为k的两条平行直线l1,l2分别经过点F和H(0,-1),l1与抛物线E交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点.问:是否存在实数k,使得四边形ABDC的面积为4 +4?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.,热点四,最值(范围)问题,(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;,方法技巧,解圆锥曲线中的最值(范围)问题的方法: (1)代
8、数法:题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等式关系,则建立函数、不等式等模型,利用二次函数法或基本不等式法、换元法、导数等方法求解;(2)几何法:题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形的性质求解.,(1)求椭圆的方程;,(2)延长PO交椭圆于R点,求PQR面积的最大值.,备选例题 挖内涵寻思路,【例1】 (2018福州市期末)抛物线C:y=2x2-4x+a与两坐标轴有三个交点,其中与y轴的交点为P. (1)若点Q(x,y)(1x4)在C上,求直线PQ斜率的取值范围;,(2)证明:经过这三个交点的圆E过定点.,(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2+y2=9,求椭
9、圆长轴的长;,【例3】 (2018广州市调研)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3. (1)求抛物线C的方程;,(2)过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点(A,B两点在x轴上方),点A关于x轴的对称点为D,且FAFB,求ABD的外接圆的方程.,阅卷评析 抓关键练规范,(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.,注:第(1)问得分说明: 写出l的方程得1分. 求出A的坐标得1分. 求出AM的方程得2分. 第(2)问得分说明: 当l与x轴垂直时,证出ABM=ABN,得1分. 当l与x轴不垂直时,设出l的方程,得1分. 直线l的方程与椭圆方程联立,消元并得出x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的值(含k)得2分. 证出AM,BM的斜率之和为0得2分. 证出OMA=OMB得1分. 写出结论得1分.,【答题启示】 (1)求交点问题常联立方程组求解. (2)求与交点有关的问题常联立方程组,设出交点,消元,根据根与系数的关系求解. (3)设直线方程时,要分斜率存在和不存在两种情况.本题易忽略斜率不存在的情况而失分. (4)求与交点有关的问题时,要对x1与y1,x2与y2相互转化(含斜率k的式子),本题常因不会转化或转化时计算错误而失分. (5)分类讨论问题要先分后总,本题易忽略结论而失1分.,
