1、1第 3 讲 圆锥曲线的综合问题(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号圆与圆锥曲线综合问题 1定点、定值问题 2,3探索性问题 4取值范围问题 51.(2018广西柳州市一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,2222 22F1,F2为椭圆的左右焦点,P 为椭圆短轴的端点,PF 1F2的面积为 2.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OAOB,试判断直线 AB 与圆x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,解得 a=2,b=c= ,2所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)直线
2、 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下:设点 A,B 的坐标分别为(x 0,y0),(t,2),其中 x00.因为 OAOB,所以 =0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- .当 x0=t 时,y 0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t= ,2故直线 AB 的方程为 x= .2圆心 O 到直线 AB 的距离 d= .2此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.当 x0t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t).即(y 0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.2d= ,又 +2 =4,t=- ,故 d= =|200|(02)2+(0)2 20= .|4+200 |40+
3、820+16220 2此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.综上,AB 与圆 x2+y2=2 相切.2.(2018岳麓区校级二模)已知抛物线 C:y2=4x,过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线 C 于点 A,B 和点 C,D,线段 AB,CD 的中点分别为 M,N.(1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程;(2)过 M,N 的直线 l 是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.解:(1)由题设条件得焦点坐标为 F(1,0),设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),k0,联立 得 k2x2-2(2+k2)x+k2=0,=(1),2=4, =-
4、2(2+k 2)2-4k2k2=16(1+k2)0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 xM= (x1+x2)=1+ ,yM=k(xM-1)= ,所以 2(xM-1)= ,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为y2=2(x-1)(x1).(2)过定点,理由:由(1)知,=1+22 =2+22 ,=2, 同理,设 N(xN,yN),则 =22+1,=2, 3当 k1 时,可知直线 l 的斜率为k= = , 12所以直线 l 的方程为 y+2k= (x-2k2-1),12即 yk2+(x-3)k-y=0,当 x=3,y=0 时方程对任意的 k(k1)均成立,即直线 l 过定点(3,0).
5、当 k=1 时,直线 l 的方程为 x=3.综上所述,过 M,N 的直线 l 必过定点(3,0).3.(2018广东省海珠区一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的焦距为 2 ,且过点 A(2,1).226(1)求椭圆 C 的方程;(2)若不经过点 A 的直线 l:y=kx+m 与 C 交于 P,Q 两点,且直线 AP 与直线 AQ 的斜率之和为 0,证明:直线 PQ 的斜率为定值.(1)解:因为椭圆 C 的焦距为 2 ,且过点 A(2,1),6所以 + =1,2c=2 .6因为 a2=b2+c2,解得 a2=8,b2=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.28(2)证明:设点 P(x1,y
6、1),Q(x2,y2),则 y1=kx1+m,y2=kx2+m,由消去 y 得(4k 2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则 x1+x2=- ,x1x2= ,842+1 42842+1因为 kPA+kAQ=0,即 =- ,化简得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即 2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得 - -4m+4=0,2(428)42+1 8(12)42+14整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以 k= 或 m=1-2k.若 m=1-2k,可得方程(*)的一个根为 2,不合题意,所以直线 PQ 的斜率为12定值,该
7、值为 .124.(2018临沂二模)已知抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,直线 y=kx+4(k0)交抛物线于 A,B两点,且 OAOB(O 为坐标原点).(1)求抛物线方程;(2)若 AF,BF 的延长线与抛物线交于 C,D 两点,设直线 CD 的斜率为k,证明 为定值,并求出该定值.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 可得 x2=2p(kx+4),即 x2-2pkx-8p=0,显然 =4p 2k2+32p0 且 x1+x2=2pk,x1x2=-8p,所以 y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16,因为 OAOB,所以 x1x2+y1y2=0,所以-8
8、p+16=0,解得 p=2,所以抛物线方程为 x2=4y.(2)由(1)可知 F(0,1),设 C(x3,y3),D(x4,y4),所以 kAF= ,kCF= ,111313所以 = ,因为 =4y1, =4y3,21所以 x3-4x3= x1-4x1,即(x 1x3+4)(x1-x3)=0,因为 x1x 3,所以 x1x3=-4,同理可得 x2x4=-4,所以 kCD= = = = (- - )=- =- = ,434324423443 14 1+212所以 = = .55.(2018南昌市一模)已知椭圆 + =1(ab0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点2222得到的四边形为正方形,正
9、方形的边长为 .2(1)求椭圆的方程;(2)设 C(m,0),过焦点 F(c,0)(c0)且斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,使得(+ ) ,求实数 m 的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得 a= ,b=c=1,所以椭圆的方程为 +y2=1.(2)由(1)得 F(1,0),直线 l 的方程为 y=k(x-1),代入 +y2=1,得(2k 2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),则 x1+x2= ,4222+1所以 y1+y2=k(x1+x2-2)= ,x0= ,222+1 2222+1y0= .22+1因为 + =2 ,所以 ,所以 kCMk= k=-1, 00所以 -m+ k=0,2222+1 22+1m= = (0, ),12所以实数 m 的取值范围是(0, ).
