1、1第 2 课时 勾股定理的应用知识要点基础练知识点 勾股定理的应用1.将 13 米长的梯子靠在一堵墙上,若梯子的底部离墙角 5 米,则梯子的顶部离墙角 (B)A.11 米 B.12 米 C.13 米 D.14 米2.如图,在边长为 1 个单位长度的正方形网格中,以网格线的交点为顶点构成 ABC,则点 A到边 BC 的距离为 (C)A. B. C. D.32 3322 23.如图,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向,与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处,则此时轮船所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为 (
2、D)A.60 海里 B.45 海里C.20 海里 D.30 海里3 34.小东同学离开学校先向东走 120 米,再向北走 50 米正好到家,则小东家离学校的直线距离是 130 米 . 5.如图,在 ABC 中, ACB=90,AC=BC=2,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与 ABC 的 BC 边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为 . 1426.如图,折叠长方形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在边 BC 的点 F 处,已知 AB=8,BC=10.(1)求 BF 的长;(2)求 EC 的长 .解:(1)由折叠可知 AF=AD=1
3、0,DE=EF,在 Rt ABF 中, BF= =6.AF2-AB2= 102-82(2)BF= 6,CF= 4.设 CE=x,则 DE=EF=8-x,在 Rt CEF 中, EF2=CE2+CF2,即(8 -x)2=x2+42,解得 x=3,即 EC=3.综合能力提升练7.如图,有两棵树,一棵高 10 米,另一棵高 4 米,两树相距 8 米 .一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 (B)A.8 米 B.10 米C.12 米 D.14 米8.如图,已知圆柱底面的周长为 4 dm,圆柱高为 2 dm,在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为
4、(A)A.4 dm B.2 dm2 2C.2 dm D.4 dm5 539.把一张长方形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 A 与点 E 重合,点 C 与点 F 重合( E,F 两点均在 BD 上),折痕分别为 BH,DG.若 AB=6,BC=8,则线段 FG 的长为 (C)A.5 B.4C.3 D.2 310.某楼梯的侧面如图所示,其中 AB=4 米, C=90, BAC=30,因某种活动要求铺设红色地毯,则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 2 +2 米 . 311.如图,有一个圆柱形玻璃杯,高为 12 cm,底面周长为 18 cm,在杯内离杯底 3 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一
5、只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为 5 cm. 1012.如图,在矩形 ABCD 中, BC=6,CD=3,将 BCD 沿对角线 BD 翻折,使点 C 落在 C处, BC交 AD于点 E,则线段 DE 的长为 . 154【变式拓展】在矩形纸片 ABCD 中,已知 AD=8,AB=6,E 是边 BC 上的点,以 AE 为折痕折叠纸片,使点 B 落在点 F 处,连接 FC,当 EFC 为直角三角形时, BE 的长为 3 或 6 . 13.九章算术中有这样一段话:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺 .引葭赴岸,适与岸齐 .问葭长几何?”它的
6、意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为 1 丈(1 丈 =10 尺),有一棵芦苇生长在池塘的正中央,并且芦苇露出水面的部分有 1 尺 .如果把这棵芦苇拉向岸边,则恰好碰到岸边,问芦苇高几尺?4解:如图,设芦苇高 AD=x 尺,则 AB=AD=x,水深 AC=x-1. 池塘的边长为 1 丈 =10 尺,BC= 5.在 Rt ABC 中,由勾股定理,得 BC2+AC2=AB2,即 52+(x-1)2=x2,解得 x=13.答:芦苇高 13 尺 .14.如图,一架 10 米长的梯子 AB 斜靠在一面墙 OA 上,梯子的顶端 A 离墙角 O 有 8 米,若梯子的顶端向下滑 2 米,求梯子的底部向右滑
7、几米?解:在 Rt AOB 中,由勾股定理得 OB= =6(米),102-82在 Rt COD 中, OC=8-2=6,CD=10,由勾股定理得 OD= =8(米),102-62所以 BD=2 米,即梯子的底部向右滑了 2 米 .15.如图,在公路 AB 旁有一座山,现知 C 处需要爆破,已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为300 米,与公路上的另一停靠站 B 的距离为 400 米,且 CA CB,为了安全起见,距离爆破点 C周围 250 米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路 AB 段是否因有危险而需要临时封闭?解:过点 C 作 CD AB 于点 D.在 Rt ABC 中, BC=40
8、0,AC=300,由勾股定理得 AB= =500,3002+4002根据三角形的面积公式得 ABCD= ACBC,12 125 500CD=400300,CD= 240250, 在进行爆破时,公路 AB 段因有危险而需要临时封闭 .拓展探究突破练16.为了保护环境,新农村改造工程中需要修建污水处理厂,如图, A,B 是位于小河(直线) MN同侧的两个村庄, A 村离小河 MN 的距离 AC=6 km,B 村距离小河 MN 的距离 BD=1 km,经测量CD=24 km,现准备在小河边修建一个污水处理厂 O.(不考虑河宽)(1)设 OC=a,请用含 a 的代数式表示 OA+OB 的长(保留根号)
9、;(2)为了节省材料,使得两村的排污管道最短,求最短的排污管长 .(3)根据(1)(2)的结果,运用数形结合思想,求 的最小值 .a2+36+ (15-a)2+4解:(1)在 Rt ACO 中, AC=6,OC=a,由勾股定理得 OA= ,OC2+AC2= a2+36在 Rt BDO 中, BD=1,OD=24-a,由勾股定理得 OB=,OD2+BD2= (24-a)2+1= a2-48a+577所以 OA+OB= (0 a24) .a2+36+ a2-48a+577(2)作点 A 关于 MN 的对称点为 A,可得 OA=OA.根据两点之间线段最短可得 AB 的长度就是排污管的最短长度,作 AE BD 交 BD 的延长线于点 E,可得 AE=24,BE=7,由勾股定理得AB= =25.AE2+BE2(3)根据(2)的结果,先作对称点,把问题转化到求最短距离问题 .因为两点之间距离最短,可以求得一边长为 =8,另外一边长为 15,所以最小值为 =17.4+ 36 82+152
