1、1勾股定理章末小结与提升勾股定理勾股定理 在 Rt ABC中, a,b是直角边, c是斜边,则 a2+b2=c2 用面积法证明勾股定理应用:在直角三角形中已知两边长,可求第三边长 勾股定理的逆定理 a,b,c是 ABC的三边长,若 a2+b2=c2,则 ABC是 直角 三角形应用:判定三角形是直角三角形 类型 1 利用勾股定理求线段的长典例 1 如图,Rt ABC中, AB=9,BC=6, B=90,将 ABC折叠,使 A点与 BC边上的中点 D重合,折痕为 MN,则线段 BN的长为 ( )A. B.53 52C.4 D.5【解析】设 BN=x,由折叠的性质可得 DN=AN=9-x.D 是 B
2、C边的中点, BD= 3,在 Rt NBD中,由勾股定理,得 x2+32=(9-x)2,解得 x=4. 线段 BN的长为 4.【答案】 C【针对训练】1.如图,在平面直角坐标系中,点 P的坐标为( -2,3),以 O为圆心, OP的长为半径画弧,交 x轴的负半轴于点 A,则点 A的横坐标是 (C)A.- B.5 5C.- D.13 132.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为 3 m,4 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且只能将长为 3 m的直角边向一个方向延长,则等腰三角形的腰长为 4或 5或 m. 25623.如图,四边形 ABCD是边长为 9的正方形纸片,将其沿 MN折叠,使点 B落在
3、 CD边上的 B处,点A对应点为 A,且 BC=3,则 AM的长为 2 . 类型 2 勾股定理的实际应用典例 2 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.求旗杆的高度 .(滑轮上方的部分忽略不计)【解析】如图所示,作 BC AE于点 C,则 BC=DE=8.设 AE=x m,则 AB=x m,AC=(x-2)m,在 RtABC中, AC2+BC2=AB2,即( x-2)2+82=x2,解得 x=17,即旗杆的高度为 17 m.【针对训练】1.一个无盖的圆柱形杯子,底面直径长 12 cm,高为 16 cm
4、,将一根长 24 cm的竹筷子放入其中,杯口外面露出一部分,甲、乙、丙、丁四名同学测量露在外面一部分的长度,他们测量的结果是甲:3 cm,乙:6 cm,丙:9 cm,丁:12 cm,则测量正确的是 (B)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.如图,一艘轮船以 16海里 /时的速度从港口 A出发向东北方向航行,另一艘轮船以 12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行,离开港口 2小时后,则两船相距 (C)A.25海里 B.32海里C.40海里 D.56海里33.如图,在长方形 ABCD中, M为 BC边上一点,连接 AM,过点 D作 DE AM,垂足为 E,若DE=DC=2,AE=2EM,则
5、 BM的长为 . 4554.如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场上进行走展示 .输入指令后,机器人从出发点 A先向东走 10米,又向南走 40米,再向西走 20米,又向南走 40米,再向东走 70米到达终止点 B.求终止点 B与原出发点 A的距离 AB.解:过点 A作 AC MB于点 C.在 Rt ABC中, AC=40+40=80,BC=70-20+10=60,AB= =100.602+802答:终止点 B与原出发点 A的距离 AB为 100米 .类型 3 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形典例 3 若 ABC的三边 a,b,c满足 a=m-1,b=2 ,c=m+1(m
6、1),试判断 ABC的形m状 .【解析】 a 2+b2=(m-1)2+(2 )2=m2+2m+1,c2=(m+1)2=m2+2m+1,a 2+b2=c2, ABC是直角m三角形 .【针对训练】1.在 ABC中, A, B, C所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2-a2=c2,则下列判断正确的是(A)A. A与 C互余 B. B与 C互余C. A与 B互余 D. ABC是等腰三角形2.若 ABC的三边 a,b,c满足( a-b)(a2+b2-c2)=0,则 ABC是 (C)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形43.如图, P是等边 ABC内一点,连接 PA
7、,PB,PC,PAPBPC= 3 4 5,以 AC为边作APC APB,连接 PP,则有以下结论: APP是等边三角形; PCP是直角三角形; APB=150; APC=105.其中一定正确的是 .(把所有正确答案的序号都填在横线上) 类型 4 勾股定理及其逆定理的综合应用1.如图,在 44方格中作以 AB为一边的 Rt ABC,要求点 C也在格点上,这样的 Rt ABC能作出 (D)A.2个 B.3个C.4个 D.6个2.如图,每个小正方形的边长均为 1,A,B,C是小正方形的顶点,则 ABC的面积为 (C)A. B.52 5C. D.5523.如图,在四边形 ABCD中, DA AB,DA=AB= ,BC= ,DC=1,则 ADC的度数是 135 . 2 54.如图, E,F分别是正方形 ABCD中 BC和 CD边上的点, CE= BC,F为 CD的中点,连接14AF,AE,EF.请判断 AEF的形状,并说明理由 .5解: AEF是直角三角形 .理由:设 AB=4a,则 DF=FC=2a,EC=a,BE=3a,根据勾股定理得 EF= a,AF= a,AE=(2a)2+a2= 5 (2a)2+(4a)2= 20=5a.(3a)2+(4a)2EF 2+AF2=5a2+20a2=25a2=AE2, AEF是直角三角形 .
