1、1第 19章 四边形章末小结与提升四边形多边形 内角和: n边形的内角和等于( n-2)180(n 3且 n为整数)外角和: n边形的外角和等于 360(n 3且 n为整数) 平行四边形性质 平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分 判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 矩形性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 菱形性质 菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直 判定 有一组邻边相等的平
2、行四边形是菱形 四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形 性质 正方形的四条边相等,四个角都是直角正方形的对角线相等,且互相垂直平分 判定:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 类型 1 与多边形内角和、外角和有关的计算1.正八边形的每一个外角都是 (B)A.30 B.45C.60 D.1352.若从十二边形的一个顶点出发,引多边形的对角线,最多可以引出对角线 (C)A.11条 B.10条C.9条 D.8条23.一个六边形 ABCDEF纸片上剪去一个角 BGD后,得到1 +2 +3 +4 +5 =430,则 BGD= (B)A.60 B.70 C.80
3、D.90类型 2 与特殊四边形有关的计算典例 1 如图,菱形 ABCD的对角线的长分别是 2和 5,P是对角线 AC上任一点(点 P不与点 A,C重合),且 PE BC交 AB于点 E,PF CD交 AD于点 F,求阴影部分的面积 .【解析】由 PE BC,PF CD,可得 PE AF,PF AE,所以四边形 AEPF为平行四边形,所以 S POF=S AOE,所以 S 阴影 =S ABC= S 菱形 ABCD= ACBD= .12 1212 52【针对训练】1.如图,在边长为 2的正方形 ABCD中, E是 BC的中点, Q为对角线 BD上的动点,则 CEQ周长的最小值为 (D)A. B.
4、+25 2C. +1 D. +13 52.如图 1的矩形 ABCD中, E点在 AD上,且 ABE=30.现分别以 BE,CE为折线,将点 A,D向BC的方向折过去,图 2为对折后 A,B,C,D,E五点均在同一平面上的位置图 .若图 2中 AED=15,则 BCE的度数为 37.5 . 33.如图,正方形 ABCD和正方形 CEFG中,点 D在 CG上, BC=1,CE=3,H是 AF的中点,那么 CH的长是 . 5类型 3 与特殊四边形有关的证明典例 2 如图,在菱形 ABCD中, F为边 BC的中点, DF与对角线 AC交于点 M,过点 M作 ME CD于点 E,1 =2 .求证: AM
5、=DF+ME.【解析】如图,延长 DF,AB交于点 G. 四边形 ABCD是菱形, BCA= DCA.BC= 2CF,CD=2CE,CE=CF.又 CM=CM , CEM CFM,ME=MF.AB CD, 2 = G, GBF= BCD.又 CF=BF , CDF BGF,DF=GF. 1 =2, G=2, 1 = G,AM=GM=GF+MF=DF+ME.【针对训练】41.如图,菱形 ABCD中, O为 AC的中点, E为 OC上一点,且 DE BE,求证:(1) ADE ABE;(2)DE= OE.2证明:(1) 四边形 ABCD是菱形, DAE= BAE,AB=AD,AE=AE, ADE
6、ABE.(2)连接 BD.O 为 AC的中点,四边形 ABCD是菱形,B ,O,D三点共线 . ADE ABE, DEO= BEO.DE BE, DEB=90, DEO=45. 四边形 ABCD是菱形,BD AC, DOE=90, DOE是等腰直角三角形,DE 2=2OE2,即 DE= OE.22.如图,在正方形 ABCD中, G是边 BC上任意一点, DE AG,垂足为 E,延长 DE交 AB于点 F.在线段 AG上取点 H,使得 AG=DE+HG,连接 BH.求证: ABH= CDE.证明:由题意知 AB=AD, ABG= DAF=90.DE AG, ADE+ EAD=90.又 BAG+
7、EAD=90, BAG= ADE.在 ABG和 DAF中, BAG= ADE,AB=AD, ABG= DAF=90,5 ABG DAF(ASA),AF=BG ,AG=DF, AFD= BGA.AG=DE+HG ,DF=AG=DE+EF,EF=HG.在 AEF和 BHG中, AF=BG, AFD= BGA,EF=HG, AEF BHG(SAS), BAG= HBG, ADE= HBG. ADE+ CDE= ADC=90, HBG+ ABH= ABC=90, ABH= CDE.类型 4 与特殊四边形有关的创新题典例 3 如图,以 ABC的两条边 AB,AC为邻边作平行四边形 ABDC,E是 AB的
8、中点,F是 CD的中点 .(1)求证:四边形 CEBF是平行四边形 .(2) 请在 ABC中添加一个条件 ,使四边形 CEBF是矩形,并简要说明理由; 请在 ABC中添加一个条件 ,使四边形 CEBF是菱形,并简要说明理由 . 【解析】(1) 四边形 ABDC是平行四边形,CD AB,CD=AB.E 是 AB的中点, F是 CD的中点,CF= CD,BE= AB,CF=BE ,12 12 四边形 CEBF是平行四边形 .(2)AC=BC.理由: AC=BC ,E是 AB的中点, CE AB,由(1)得四边形 CEBF是平行四边形, 平行四边形 CEBF是矩形 .AC BC.理由: AC BC,
9、E是 AB的中点,6CE= AB=BE,12由(1)得四边形 CEBF是平行四边形, 平行四边形 CEBF是菱形 .【针对训练】1.如图,在矩形 ABCD中, AB=6,第 1次平移将矩形 ABCD沿 AB的方向向右平移 5个单位,得到矩形 A1B1C1D1,第 2次平移将矩形 A1B1C1D1沿 A1B1的方向向右平移 5个单位,得到矩形A2B2C2D2,第 n次平移将矩形 An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿 An-1Bn-1的方向向右平移 5个单位,得到矩形 AnBnCnDn(n2).(1)求 AB1和 AB2的长;(2)若 ABn的长为 56,求 n的值 .解:(1) AB= 6,每次向
10、右平移 5个单位,AA 1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1,AB 1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11,AB2=5+5+6=16.(2)由 AB1=25+1=11,AB2=35+1=16,可知 ABn=(n+1)5+1=56,解得 n=10.2.我们经常通过认识一个事物的局部或特殊类型来逐步认识这个事物,通过对一些特殊结论的归纳、猜想、验证,逐步得出一般结论 .我们给出定义:至少有一组对角相等的四边形叫等对角四边形 .(1)特例认知:请你从学过的特殊四边形中找出等对角四边形,写出名称 平行四边形(或菱形、矩形、正方形) .(一个即可) (2)性质探究:
11、小强在研究等对角四边形性质时,画了一个等对角四边形 ABCD,如图,其中 ABC= ADC,AB=AD,此时他发现 AC平分一组对角,请你证明此结论 .7 由此小强猜想:对于任意等对角四边形,当一组邻边相等时,经过这组邻边公共端点的对角线必平分这组对角 .你认为他的猜想是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请画图举出反例 .(3)解决问题:如图,四边形 ABCD是等对角四边形,且 B= D=90,AB=AD=4,AC是对角线,点 E,F分别在边 BC和 AD上,将这个四边形沿 EF折叠,使 AB的中点与点 C重合,点 B落在点 M处,点 A落在点 N处,且 BEEC= 3 5.请你通过计算判
12、断,等对角四边形 ABCD是哪一种特殊四边形?解:(2) 连接 BD.AB=AD , ABD= ADB. ABC= ADC, CBD= CDB,CB=CD , ABC ADC, BAC= DAC, BCA= DCA,即 AC平分一组对角 . 他的猜想不正确 .如图, ABC= ADC=90,AB=BC,CD AD,BD不平分这组对角 .(答案不唯一)(3)等对角四边形 ABCD是正方形 .设 BE=3x,则 EC=5x.由对折可知, MN=AB=4, M= B=90.C 是 MN的中点, CM= 2.在 Rt EMC中,由勾股定理得(5 x)2=(3x)2+22,解得 x=0.5,BC= 8x=4,由(2) 可知, CD=BC,AB=BC=CD=AD , 四边形 ABCD是菱形,又 B=90, 四边形 ABCD是正方形 .8
