1、1育才学校 2019 届高三上学期期末考试卷数学试题（理科）请在答题卡指定区域位置作答，在其它地方作答无效。第 I 卷 选择题 60 分一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 ， ， ，则集合 =（ 1234U3,4M2,3NUCNM）A. B. C. D. 2,54,52.已知复数 （ 为虚数单位） ，则 （ ）5143izizA. B. C. 2 D. 253.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为1,0 3xf23fafa（ ）A. B. C. D. 1,23,11,021,24.如图所示的一个算法的程序框图，则输出 的最大值为（ ）2A. B. 2 C
2、. D. 5.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .若 ，则 （ nanS3512a20a120S）A. 420 B. 340 C. -420 D. -3406.已知双曲线 ： ，圆 ： ，若双1C21(0,)xyab2C22304xya曲线 的一条渐近线与圆 有两个不同的交点，则双曲线 的离心率的范围是（ ）12 1A. B. C. D. 23,3,1,2,7.设函数 ， ，若实数 ， 满足 ， 2xfeln3gxab0fa，则（ ）0gbA. B. fa0afbC. D. gg8.已知四棱锥 的三视图如图所示，则四棱锥 外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 9.将函数 的图象向右
3、平移 个单位得到函数 的图象，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 10.设 ， 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， EFABCDBC1AEB3，如果 （ ， 为实数） ，则 的值为（ ） 23BFCEFmABnCnmnA. B. C. D. 101211.设 满足约束条件 若目标函数 的最小值大于 ，则,xy0, xym， 2zxy5的取值范围为mA. B. C. D. 1,313,3,2,212.在四面体 中， 与 均是边长为 的等边三角形，二面角ABCDBCDA4的大小为 ，则四面体 外接球的表面积为（ ）60A. B. C. D. 20895294352第 II 卷 非选择题
4、90 分二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 ，且 在 上的最大值为 ，若21fxmxRyfx0,212函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围为_.2gfaa14.已知 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左、右两12,F2143xy1Fl支分别交于 两点，若 为等边三角形，则 的面积为_BA、 2BF12B15.如图，在棱长为 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为，若 ，则 长度的最小值为_.416.设曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，则1*nyxN1,xnx的值为_20182018logl208320187log
5、logx三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. (10 分)已知 的内角 所对的边分别为 ， .（1） ；（2）若 的平分线交 于点 ，且 的面积为 ，求 的长.18. (12 分)已知函数 .2Rxfxaea（1）若 ，函数 的极大值为 ，求实数 的值；0a3（2）若对任意的 ， 在 上恒成立，求实数 的取值范ln1fxb0,xb围.19. (12 分)设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为na成等比数列2*113, ,nSNa， 且 57(1)求数列 的通项公式；n(2)设 ，求数列 的前 n 项和 1nbabT20. (12 分)如图，已知抛物线 的焦点为 ，椭圆 的中心在
6、原点， 为其21:4CyxF2CF右焦点，点 为曲线 和 在第一象限的交点，且 M12 5|M（1）求椭圆 的标准方程；2C（2）设 为抛物线 上的两个动点，且使得线段 的中点 在直线 上，,AB1 ABDyx为定点，求 面积的最大值(3)PP521. (12 分)如图所示，在四棱锥 中， 平面 是 的PABCD,/,PADBCEP中点, . 2,5,3,2HPDA（1）证明： 平面 ；PHABCD（2）若 是 上的点，且 ，求二面角 的正弦值.F23FBEFC22. (12 分)已知函数 .（1）若函数 有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数 有两个极值点，试判断函数 的零点个数.6高三
7、理科数学答案一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 10.C 11.B 12.A二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 14. 15. 16.-101， 83三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17.(1) (2) 解析：（1）因为 ，所以 .于是， .（2）由 可得 .设 的面积为 ， ， .则 . 为 的平分线， ， .又 . .在 中,由余弦定理可得， .18.(1) ；(2) .1ab解析：（1） ，2xfxae 22111xxxeaxa .xe当 时， ，0a
8、1xfe令 ，得 ； ，得 ，fx0fx所以 在 上单调递增， 上单调递减,1,7所以 的极大值为 ，不合题意fx13fe当 时， ，0a1a令 ，得 ； ，得 或 ，fxx0fx1ax所以 在 上单调递增， 和 上单调递减.f1,a,所以 的极大值为 ，解得 符合题意fx213fe1a综上可得 1（2）令 ， ，2xxgaea,0当 时， ，0,x0则 对 恒成立等价于 ，ln1bx,ln1gabx即 对 恒成立.xe（）当 时， ， ， ，00,xln10bxxe此时 ，不合题意.ln1xeb（）当 时，令 ，l,xhxe则 ，其中 ， ，211xxbhxe0xe,令 ，2,0xpb则 在
9、区间 上单调递增，h当 时，则 ，11pxb所以对 ， ，0,0h从而 在 上单调递增，hx所以对任意 ， ，,x即不等式 在 上恒成立ln1bxe0, 时，08由 ， 及 在区间 上单调递增，可得01pb0pbepx0,存在唯一的 ，使得 ，且 时， .,x0px从而 时， ，所以 在区间 上单调递减，0,hxhx0,所以当 时， ，x0即 ，不符合题意ln1xbe综上所述 所以实数 的取值范围为 1,19.（1） ；（2） .nan解析：（1） ，21nS又又 成等比数列 ，即 ，解得 ， 。121nan(2)由（1）可得 ，.920.（1）椭圆 的标准方程为 ； （2） 面积的最大值为
10、2C2198xyPAB2解析：（1）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 22(0)abc由已知，点 ，则 (1,0)Fc设点 ，据抛物线定义，得 由已知， ，则0(,)Mxy0,)0|1MFx0512x032从而 ，所以点 046yx3(,6)2设点 为椭圆的左焦点，则 ， E(1,0)E237|16M据椭圆定义，得 ，则 752|62aFa从而 ，所以椭圆 的标准方式是 228bc2C2198xy（2）设点 ， ， ，则 (,)Dm1(,)Axy(,)B2214,x两式相减，得 ，即 因为 为线段 的中点，则21124()y1212yxDAB12y所以直线 的斜率 AB12kym从而直线 的方程为
11、 ，即 ()x20xym联立 ，得 ，则 2204xmy224y 214ym所以 221212122|()AByyk10设点 到直线 的距离为 ，则 PABd2|64|m所以 221|4|2S由 ，得 令 ，则240mm2t23|6|PABttS(t)设 ，则 362tft(0)263()tft由 ，得 从而 在 上是增函数，在 上是减函数，()fttft0,)(2,所以 ，故 面积的最大值为 max()2fPAB21.解析：（1）证明：因为 平面 ，所以 ，ABDH因为 ，所以 ，3,2HD2,1设 ，由余弦定可得，Px22cosPx， 221cos4xAPHxP因为 ，故 ，cosHDA1
12、H所以 ，因为 ，故 平面 .PBBCD（2）以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，,P,xyz则 ，3139,30,01,22BEF所以可得， ，,0,2,0,30FBEFC设平面 的法向量 ，BE,nxyz11则有： ，3002 1,24xyBFnnzE 设平面 的法向量 ，C,mxy则有： ，200 1,043zEFmy故 ,17cos,2nm设二面角 的平面角为 ，则 .BEFC21sin22.（1） （2）3解析：（1）令 ，由题意知 的图象与 的图象有两个交点.当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减. .又 时， ， 时， .又 时， .综上可知，当且仅当 时， 与 的图象有两个交点，即函数 有两个零点.（2）因为函数 有两个极值点，由 ，得 有两个不同的根 ， （设 ）.由（1）知， ， ，且 ，且函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，则 .令 ，则 ，12所以函数 在 上单调递增，故 ， .又 ， ； ， ，所以函数 恰有三个零点.
