1、- 1 -山西大学附属中学 2019 届高三 9 月模块诊断数学试题考试时间：分钟满分：150 分考察范围：函数导数三角函数一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合 A、B，再根据交集的定义求出 AB【详解】A=x|x 240=x|x2 或 x2B=x| =x|x2AB=x|x2故选：B【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴1判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表
2、达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析2.下列函数 中，满足“对任意的 ，当 时，总有 ”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题目所给条件，说明函数 f（x）在（，0）上应为减函数，其中选项 A 是二次函数，C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定义域上就可以排- 2 -除【详解】函数满足“对任意的 x1，x 2（，0） ，当 x1x 2时，总有 f（x 1）f（x
3、 2） ”，说明函数在（，1）上为减函数f（x）=（x+1） 2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x=1，所以函数在（，1）单调递减，在（1，+）单调递增，不满足题意函数 f（x）=ln（x1）的定义域为（1，+） ，所以函数在（，0）无意义对于函数 f（x）= ，设 x1x 20，则 f（x 1）f（x 2）= ，因为x1，x 2（，0） ，且 x1x 20，x 2x 10，则 ，所以 f（x 1）f（x 2） ，故函数f（x）= 在（，0）上为减函数函数 f（x）=e x在（，+）上为增函数故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为
4、（，0）上的减函数判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性.3.函数 的单调递增区间是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论【详解】由题可得 x2-3x+20，解得 x1 或 x2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数 的单调递增区间为：（-，1）故选：A【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题4.函数 的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3- 3 -【答案】D【解析】【分析】根据题目条件：“函数 的零点个数”转化为方程 lnx=x2-2x
5、的根的个数问题及一次函数 2x+1=0 的根的个数问题，分别画出方程 lnx=x2-2x 左右两式表示的函数图象即得【详解】 对于函数 f（x）=lnx-x 2+2x的零点个数转化为方程 lnx=x2-2x 的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图由图象可得两个函数有两个交点又一次函数 2x+1=0 的根的个数是：1故函数 的零点个数为 3故选：D【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题体现了数形结合的数学思想5.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
6、- 4 -试题分析：因为 ，所以 ，在点 处的切线斜率，直线 的斜率 ，与直线 垂直的斜率 ，所以，解得 考点：导数的几何意义6.在ABC 中， “A30”是“sinA ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解题时注意三角形内角和是 180 度，不要丢掉这个大前提【详解】：在ABC 中，A+B+C=180A3030A1800sin A1可判读它是 sinA 的必要而不充分条件故选：B【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分7.已知 下列不等式 中恒成立的是( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3
7、个 D. 4 个【答案】C【解析】【分析】取 a=-1，b=-2，即可判断出；考察指数函数 y=2x在 R 上单调性，即可判断出；取 a=1，b=-2，即可判断出；- 5 -考察幂函数 在 R 上单调递增，即可判断出；考察指数函数 在 R 上单调性，即可判断出【详解】取 a=-1，b=-2，虽然满足-1-2，但是（-1） 2（-2） 2不成立，因此 a2b 2不正确；考察指数函数 y=2x在 R 上单调递增，ab，2 a2 b，因此正确；取 a=1，b=-2，虽然满足 1-2，但是 不成立，因此不正确考察幂函数 在 R 上单调递增，ab， 正确；考察指数函数 在 R 上单调递减， ab， ，正
8、确，故选：C【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题8. ，则 （ ）A. 1-a B. C. a-1 D. -a【答案】A【解析】本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.又 ，所以.故选 A9.如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0 的两根是 、，则 的值是（ ）A. lg5lg7 B. lg35 C. 35 D. 【答案】D【解析】- 6 -lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0 ,选 D.10.已知函数 f(x)=log2(x+1)且 abc0, 则 , , 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
9、析】把 , , 分别看作函数 f（x）=log 2（x+1）图象上的点（a，f（a） ） ， （b，f（b） ） ，（c，f（b） ）与原点连线的斜率，对照图象可得答案【详解】 由题意可得， , , 分别看作函数 f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a） ） ， （b，f（b） ） ， （c，f（b） ）与原点连线的斜率，结合图象可知当 abc0 时， 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法11.已知函数 ，当 时， 取得最小值 ，则函数 的图象为（ ）- 7 -【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，则（
10、当且仅当 ，即 时取等号） ，即 ，即 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，取得最大值 1；故选 B考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质12.已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数，不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】 ，则函数 关于 对称函数 在 上是增函数函数 在 是减函数，即 在 上是减函数当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 或 ，满足不等式 对任意 恒成立，由此排除 两个选项当 时，不等式 变
11、为 ，- 8 -根据函数 的图象特征可得出： ，解得 ，不满足不等式 对任意 恒成立，由此排除综上所述， 选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数 ， 的单调递减区间为_ 【答案】 【解析】试题分析： ， ，令 ，则 ，正弦函数 在 上单调递增，由 得： 函数 在 的单调递增区间为 考点：正弦函数的单调性14.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围是
12、 【答案】【解析】试题分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可解：当 x0 时，f（x）=x 2，此时函数 f（x）单调递增，f（x）是定义在 R 上的奇函数，函数 f（x）在 R 上单调递增，若对任意 xa，a+2，不等式 f（x+a）f（3x+1）恒成立，则 x+a3x+1 恒成立，即 a2x+1 恒成立，xa，a+2，- 9 -（2x+1） max=2（a+2）+1=2a+5，即 a2a+5，解得 a5，即实数 a 的取值范围是（，5；故答案为：（，5；考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质15.定义在 上的函数 的图像关于 对称，且当 时， （其中是 的导函数） ，若 ，
13、则 的大小关系是_【答案】【解析】【分析】由“当 x（，0）时不等式 f（x）+xf（x）0 成立”知 xf（x）是减函数，要得到a，b，c 的大小关系，只要比较 的大小即可【详解】当 x（，0）时不等式 f（x）+xf（x）0 成立即：（xf（x） ）0，xf（x）在 （，0）上是减函数又函数 y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，函数 y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数xf（x）是定义在 R 上的偶函数xf（x）在 （0，+）上是增函数又, 30.3f（3 0.3）（log 3）f（log 3）即 30.3f（3 0.3）（log 3）f
14、（log 3）即：cab- 10 -故答案为：cab.【点睛】本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）=uv+uv；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反本题结合已知构造出 h（x）是正确解答的关键所在16.已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表. 的导函数 的图象如图所示.x 1 0 4 51 2 2 1下列关于函数 的命题：函数 是周期函数； 函数 在 上是减函数；如果当 时 的最大值是 2，那么 的最大值为 4；当 时，函
15、数 有 4 个零点.其中真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】由导数图象可得当1x0，2x4 时，f（x）0，此时函数单调递增，当0x2，4x5 时，f（x）0，此时函数单调递减，根据函数的单调性和极值，最值之间的关系进行判断【详解】函数 是周期函数不正确，从题干中得不出此结论；函数 在 上是减函数，因为导函数在此区间上是小于 0 的，故正确；如果当 时 的最大值是2，那么 的最大值为 5，故不正确；因为 x=0 或 x=4 时，函数取得极大值，当 x=2 时，函数取得极小值所以 f（0）=2，f（4）=2，f（2）的值不确定，因为 f（1）=f（5）=1，- 11 -根据函数的变化趋势，
16、函数 y=f（x）a 有 4 个零点 a 的范围不确定，因为函数的最低点不确定故答案为：【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的推理能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（1）已知 ,求 值;（2）若 ，求 值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）原式分母看做“1” ，利用同角三角函数间的基本关系化简，将 tan 的值代入计算即可求出值（2）由已知条件推导出 ，求出 由此能求出 的值【详解】 （1） ， （2） 而 ，由此可得【点睛】本题考查齐次式的求法，考查对数值
17、的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用- 12 -18.在 中，角 的对边分别为 且 .(1)求 ;(2)若 ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)利用正弦定理得到 ，然后化简得到，从而求出 ，再由同角三角函数的基本关系式可求出；(2)由余弦定理得 ，结合 ，求出 的值，利用三角形的面积计算公式 得到三角形的面积.试题解析：(1)在 中，由正弦定理可得又因为 ，所以即又 ，所以 ，又因为 ，又因为(2)由余弦定理得 ，将 代入得又 ，故 .- 13 -考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角三角函数的基本关系式；4.三角形的面积计算
18、公式.19.已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，当且仅当 00,1x 1x20， 0,又(x 2x 1)(1x 2x1)=(x21)(x 1+1)0，x 2x 11x 2x1,0 1,由题意知 f( )0， 即 f(x 2)f(x1)f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0f(x)在(1，1)上为减函数【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给 x，y 赋值是解决问题的关键，属基础题20.已知函数(1)若 的定义域为( ,+ )，求实数 的取值范围；- 14 -(2)若 的值域为( ,+ )，求实数 的取值范围【答案】 （1） 或 ； （2） .【解析
19、】【分析】（1）因为 f（x）的定义域为 R，所以对数的真数一定大于 0 恒成立，讨论二次项系数为 0不成立，系数不为 0 时，得到系数大于 0 且根的判别式小于 0 求出 a 的范围即可；（2）因为函数值域为 R，讨论二次项系数为 0 时，不成立，系数不为 0 时，让系数大于 0 且根的判别式大于等于 0 求出 a 的范围即可【详解】 （1）设的定义域为 R， 恒成立，当 时，即 或 ， 满足题意， （舍去）当 ，解得 或综上 或 .（2）当 时，即 或 ， 满足题意 ，得综上 .【点睛】本题考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力21.已知函数 (其中 )若 为
20、 的极值点，解不等式 【答案】 或 .【解析】【分析】由于 x=0 为 f（x）的极值点，可得 f（0）=0，得到 a=0当 a=0 时，,整理得 令，利用导数研究其单调性极值即可得出- 15 -【详解】因为 ，所以 ，因为 为 的极值点,所以由 ,解得 ，检验,当 时, ,当 时, ,当 时, .所以 为 的极值点,故 当 时,不等式 ,整理得 ,即 或 ， 令 ， , ，当 时, ；当 时, ，所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，即 ,所以 在 上单调递增,而 ；故 ； ，所以原不等式的解集为 或 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了
21、推理能力与计算能力，属于难题22.设 ，函数 .（1）当 时,求曲线 在 处的切线方程;（2）当 时,求函数 的最小值.【答案】 （1） ； （2） ； .【解析】【分析】- 16 -（1）将 a=1 代入，对函数 f（x）进行求导得到切线的斜率=f（1） ，切点为（1，2） ，从而得到切线方程（2）分 xe 和 xe 两种情况讨论分别对函数 f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数 f（x）的单调性后可得到答案【详解】 （1）当 时，令 得 所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1，所以曲线 在 处的切线方程为： .（2）当 时， ， ，因为 ，所以 恒成立，所以 在 上增函数.故当 时
22、， . 当 时， ，（ ）5 分（i）当 即 时， 在 时为正数，所以 在区间上为增函数.故当 时， ，且此时(ii)当 ，即 时， 在 时为负数，在间时为正数.所以 在区间 上为减函数，在 上为增函数故当 时， ，且此时(iii)当 ；即 时， 在 时为负数，所以 在区间1,e上为减函数，- 17 -故当 时， .综上所述，当 时， 在 时和 时的最小值都是 .所以此时 的最小值为 ；当 时， 在 时的最小值为 ，而 ，所以此时 的最小值为 .当 时，在 时最小值为 ，在 时的最小值为 ，而 ，所以此时 的最小值为所以函数 的最小值为 .【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减
