1、1福建省莆田第一中学 2019 届高三数学上学期期末考试试卷 理一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若 ( 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点在( )21zizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 已知 ， ，则 ( )|x2|0BxABA. B. C. D. (0,2)(1,0)(,)2,3.下列叙述中正确的是( )A.命题“ a、 b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的逆否命题为“ a+b 不是偶数，则 a、 b 都是奇数”B.“方程 表示椭圆”的充要条件是“ ”21AxByABC.命题
2、“ ”的否定是“ ”,0R20,xRD. “m=2”是“ ： 与 ： 平行”的充分条件1l24xmy2l30mxy4已知等差数列 an的公差为 5，前 n 项和为 Sn，且 a1， a2， a5成等比数列，则 S6( )A80 B85 C90 D955.九章算术一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为 8 步，长的直角边长为 15 步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( )A.
3、 B. C. D320310456如图，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A8 B843C8 D823 37已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0，| | )的部分图象如图所示，若将 2f(x)图象上的所有点向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的单调递增 62区间为( )A. ， kZ B. ， kZk 4， k 4 2k 4， 2k 4C. ， kZ D. ， kZk 3， k 6 2k 3， 2k 68函数 f(x) 的图象大致为( )ln|x 1|1 x|9平行四边形 ABCD 中， AB3， AD
4、2， BAD120， P 是平行四边形 ABCD 内一点，且AP1，若 x y ，则 3x2 y 的最大值为( )AP AB AD A4 B5 C2 D1310已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 ，若对于任意实数 x，有 f(x)fx，且 y f(x)1 为奇函数，则不等式 f(x)e x的解集为( )fxA(，0) B(0，) C(，e 4) D(e 4，)11已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，且| F1F2|2 c，若椭圆上x2a2 y2b2存在点 M 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为( )121sinsicFMA(0， 1) B. C. D( 1
5、,1)2 (22， 1) (0， 22) 212.抛物线 y28 x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线上的两个动点，若x1 x24 |AB|，则 AFB 的最大值为 ( )2333A. B. C. D. 3 34 56 23二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若 ，则目标函数 的取值范围是 .62yxyxz314. 的展开式中 的系数为 .14152016 年 9 月 3 日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会现从 A、 B、 C、 D、 E 5 名歌手中任
6、选3 人出席演唱活动，当 3 名歌手中有 A 和 B 时， A 需排在 B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .16已知函数 f(x)(3 x1)e x1 mx，若有且仅有两个整数使得 f(x)0，则实数 m 的取值范围是 .三解答题(本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. （本小题满分 12 分）在等比数列 中，首项 ，数列 满足 ，na81nbnna2log且 .（1）求数列 的通项公式；（2）记数列 的前 项和为 ，5321b S又设数列 的前 项和为 ，求证： .nSnT43n18(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 SABC
7、D 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD BC， AD DC，平面 SAD平面 ABCD， P 为 AD 的中点， SA SD2， BC AD1， CD12.3(1)求证： SP AB； (2)求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值；(3)设 M 为 SC 的中点，求二面角 SPBM 的余弦值19.（本小题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.4(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学
8、生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？(3)在(2)中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取 9 人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这 9 人中任抽取 3 人，记名次在 150 名的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分 12 分)已知点 为圆 的圆心， 是圆上的动点，点 在圆的半径 上，且有C2(18xyPQCP点 和 上的点 ，满足 ， .（1）当点 在圆上运动A,
9、0)PM0QA2AM时，求点 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与圆 相切，与（1）中所求Qklxy点 的轨迹交于不同的两点 , 是坐标原点，且 时，求 的取值范FHO334OFHk围.21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) aln x x ，其中 a0. (1)若 f(x)在1x(2，)上存在极值点，求 a 的取值范围； (2)设 x1(0,1)， x2(1，)，若f(x2) f(x1)存在最大值，记为 M(a)，则 当 ae 时， M(a)是否存在最大值？若存在，1e求出其最大值；若不存在，请说明理由5请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计
10、分，做答时请写清题号。22.选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)已知曲线 （ 为参数）和定点 ， 、 是此曲线的左、右焦2cos:3inxCy(0,3A1F2点，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求直线 的极坐标O 2A方程.（2）经过点 且与直线 垂直的直线交此圆锥曲线于 、 两点，求1F2AMN的值1|MN23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x3| x m|(xR) (1)当 m1 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若不等式 f(x)5 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围62018-2019 学年莆田一中
11、高三上学期期末理科数学考试答案一 选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B D C A D A D C B D D二 填空题13.14. 320 15. 51 16. 8,14 52e， 83e2)三解答题17.解：（1）由 和 得 ，所以 ，2lognnba1235b213log()5a15123a设等比数列 的公比为 q， ， ，188nq解得 6 分 2158q4124na（2）由（1）得 ，证明 为等差数列，nbnb,则 ， 235.(1)nS11()(2)2nSn， nT1()()234 3()134nT12 分18 (1)证明：在 SAD 中， SA SD，
12、 P 为 AD 的中点， SP AD，平面 SAD平面ABCD，且平面 SAD平面 ABCD AD. SP平面 ABCD.(3 分) AB平面 ABCD， SP AB.(4 分)(2)在直角梯形 ABCD 中， AD BC， BC AD， P 为 AD 的中点， BC PD，且12BC PD.四边形 BCDP 为平行四边形 AD DC， AD PB.(6 分) 由(1)可知 SP平面ABCD，故以 P 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Pxyz，如图7则 P(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0， ，0)， S(0,0， )， C(1， ，0)， D(1,0,0)3 3 3 (0， ， )
13、， (0， ，0)， (1,0， )BS 3 3 CD 3 SD 3设平面 SCD 的法向量为 n( x， y， z)， n ， n ，Error!令 z1，则 x ， y0， n( ，0,1)为平面 SCDCD SD 3 3的一个法向量(8 分)设直线 BS 与平面 SCD 所成角为 .sin |cos n， | ，BS |nBS n|BS | 326 24直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值为 .(9 分)24(3) AP SP， AP BP， SP BP P， AP平面 SPB.即 (1,0,0)为平面 SPB 的法向量 M 为 SC 的中点PA 点 M 的坐标为 ，而 (0， ，
14、0)， .设平面 MPB 的(12， 32， 32) PB 3 PM ( 12， 32， 32)法向量为 m( x， y， z) m ， m ，Error!PB PM 令 z1，则 x ， y0， m( ，0,1)，(11 分)3 3cos m， .(12 分)易知，二面角 SPBM 为锐角，PA |mPA m|PA | 321 32二面角 SPBM 的余弦值为 .(13 分)3219.（本小题满分 12 分）解：（1）由图可知，第一组 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为 90，所以后四组的频数依次为 27，24，21，18，所以视力在 5.0
15、以下的人数为 3+7+27+24+21=82（或者 100-18=82）人，全年级视力在 5.0 以下的人数约为8.82100（2）2(41839)04.13.8577k因此在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系.（3）依题意 9 人中年级名次在 150 名和 9511000 名分别有 3 人和 6 人，X 所有可能取值有 0，1，2, 3.3216639 91239545(),()848().CCPxPxx，X 的分布列为X 的数学期望 E(X)= 51310+2=.8420.解：（1）由题意知 中线段 的垂直平分线，所以MQAP2CPCC所以点 的轨迹是以点 ， 为
16、焦点，焦距为 2，长轴为 的椭圆， ， ,故点 的轨迹方程是 2a1c21bacQ21xy（2）设直线 ，:lykx2,FyHx直线 与圆 相切212211bkk联立 2xykb2240x222216418(1)8kbk012122,xxk21211()OFHykxbxX 0 1 2 3P92 2(1)(4)1kbkb222(1)4(1)kk2k所以2133421k为所求. k或21解：(1) ， x(0，)21(1)()axafx由题意，得 0 在(2，)上有根(且不为重根)，即 a x 在21xx(2，)上有解 y x 在(2，)上单调递增， x . 当1x 1x (52， )a 时， f
17、(x)在(2，)上存在极值点 a 的取值范围是 .(4 分)52 (52， )(2)当 0 a2 时，易知 0， 在(0，)上满足21x1()afx0 ， f(x)在(0 ，)上单调递减， f(x2) f(x1)不存在最大值，故 a2. ()fx(5 分)易知当 a2 时，方程 0 有两个不相等的正实数根，设为 m， n，且21a0 m1 n，此时Error!，当 0 x m 或 x n 时， 0，当 m x n 时，()fx 0， f(x)在(0， m)上单调递减，在( m， n)上单调递增，在( n，)上单调递()fx减对 x1(0,1)，有 f(x1) f(m)，对 x2(1，)，有 f
18、(x2) f(n)， f(x2) f(x1)max f(n) f(m)(6 分) M(a) f(n) f(m) aln ( m n) ，又(aln n n1n) (aln m m 1m) nm (1n 1m)a m n， mn1， M(a) 2 2 ln n2 .(8 分)(1n n)l(1n n) (1n n) (1n n)2 ae ， m n ne ， n1.又 y x 在(1，)上单调递增， 1e 1n 1e 1xn(1，e(9 分)设 h(x)2 ln x2 ， x(1，e，则(1x x) (1x x)10 2 ln x2 2 2 ln x， x(1，e()hx1)(1x x)1x (
19、)21() 0，即 h(x)在(1，e上单调递增 h(x)max h(e)2 ln e2() (e1e) . M(a)存在最大值，最大值为 . (12 分)(1e e) 4e 4e22.解：（1）曲线 C： 可化为 ，其轨迹为椭圆，2cos3inxy213yx焦点为 和 。经过 和 的直线方程为 ，即1,0F21,0,A2,0F13yx极坐标方程为 . 3xy3cosin3（2）由（1）知，直线 AF2的斜率为 ，因为 AF 2，所以 的斜率为 ，倾斜角为ll330，所以 的参数方程为 （t 为参数） ， l312xyt代入椭圆 C 的方程中，得 13360tt因为 M，N 在点 F1的两侧，
20、所以 1123|1MFNt23解：(1)当 m1 时， f(x)6 等价于Error!，或Error!，或Error!，(3 分)解得 x2 或 x4，所以不等式 f(x)6 的解集为 x|x2 或 x4(5 分)(2)解法一：化简 f(x)得，当 m3 时，f(x)Error! ，(6 分)当 m3 时， f(x)Error!(7 分)根据题意得：Error!，即3 m2，(8 分)或Error! ，即8 m3，(9 分)参数 m 的取值范围为 m|8 m2(10 分)解法二：| x3| x m|( x3)( x m)| m3|， f(x)min|3 m|，(7 分)| m3|5，(8 分)118 m2，参数 m 的取值范围为 m|8 m2(10 分)
