1、1第 2 讲不等式1利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大1不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax2bxc0(或0)，如果 a 与 ax2bxc 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间(2)简单分式不等式的解法 0(0(0，b0)a2 b22 a b2 ab 2aba b(4)2(a2b 2)(ab) 2(a，bR，当 ab 时等号成立)3利用基本不等式求最值(1)如
2、果 x0，y0，xyp(定值)，当 xy 时，xy 有最小值 2 (简记为：积定，和有最小值)p(2)如果 x0，y0，xys(定值)，当 xy 时，xy 有最大值 14s(简记为：和定，积有最大值)4简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决热点一 不等式的性质及解法考向预测2【例 1】(1)(2018武汉联考)已知函数 fx是 0,上的减函数，若 23faf，则实数 a 的取值范围为_(2)(2017江苏卷)已知函数 f(x)x 32xe x ，其
3、中 e 是自然对数的底数，若1exf(a1)f(2a 2)0，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)因为 fx是 0,上的减函数，若 23faf，所以230a，解不等式组得 1,0,3a，(2)f(x)3x 22e x 3x 222 3x 20 且 f(x)不恒为 0，所以 f(x)为单调递增函数1ex ex1ex又 f(x)x 32xe x e x(x 32xe x )f(x)，故 f(x)为奇函数，1ex由 f(a1)f(2a 2)0，得 f(2a2)f(1a)，2a 21a，解之得1a ，12故实数 a 的取值范围是 1，12答案 (1)C (2) 1，12探究提高 1解一元二次不等式：
4、先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集2(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论【训练 1】(1)(2018七宝中学)若 21log40ax对任意 xR恒成立，则实数 a的取值范围是_(2)已知不等式 |a2a|对于 x2，6恒成立，则 a 的取值范围是_2x 1 15解析 (1)由已知得不等式 2112log4logax对任意 xR恒成立，所以不等式241ax对任意 R恒成立，即不等式 430ax对任意 x恒成立，当 0a时，则不等式 30对任意 x不恒成立，所以
5、0。所以 2430a，即 234，所以 14a或 解得 4a(2)设 y ， 201x，2x 13故 y 在 x2，6上单调递减，则 ymin ，2x 1 26 1 25故不等式 |a2a|对于 x2，6恒成立等价于 |a2a| 恒成立，化简得2x 1 15 15 25 a2 a 2 0，a2 a 2 0， )解得1a2，故 a 的取值范围是1，2答案 (1)R (2)1，2热点二 基本不等式【例 2】(1)(2018天津期末)已知 0,xy，且 41xy，若 23xym恒成立，则实数 m的取值范围是_(2)(2016江苏卷改编)已知函数 f(x)2 x ，若对于任意 xR，不等式 f(2x)
6、mf(x)6 恒成立，则(12)x 实数 m 的最大值为_解析 (1) 0x， y， 2min3xy恒成立，且 41xy，414 559yxxy，因为 2min3恒成立， 23， 3故答案为 ,2(2)由条件知 222xxf fxf(2x)mf(x)6 对于 xR 恒成立，且 f(x)0， 24fxm对于 xR 恒成立又 2fxf(x) 2 4，且 204f，4f（ x） f（ x） 4f（ x）m4，故实数 m 的最大值为 4答案 (1)8 (2)4探究提高 1利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，
7、等号能够取得2特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错【训练 2】 (1) (2018新泰一中)若直线 10,xyab过点 2,1，则 3ab的最小值为_(2)若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值为( )1a 2b ab4A B2 C2 D42 2解析 (1)直线 10,xyab过点 ,1， 1ab，故 232337776ab ，当且仅当 23ba，即 23ba时取等号，结合 21可解得 6a且 61b，故答案为 (2)依题意知 a0，b0，则 2 ，当且仅当 ，即 b2a
8、时， “”成立1a 2b 2ab 2 2ab 1a 2b ， ，即 ab2 ，1a 2b ab ab 2 2ab 2ab 的最小值为 2 2答案 (1)C (2)C热点三 简单的线性规划问题【例 3】 (1) (2018张家口期中)已知 x， y满足02xy，则 3zxy的最大值为_(2) (2017池州模拟)已知 x，y 满足约束条件 目标函数 z2x3y 的最大值是 2，则实x y 2 0，ax y 4，x 2y 3 0， )数 a( )A B1 C D412 32解析 (1)根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示：由 02yx解得 ,0B，目标函数 3zy可看做斜率为 3 的动直线
9、，其纵截距越小， z越大，由图可知，当动直线过点 时， z最大，最大值为 326z，故答案是 6.(2)解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，5目标函数 z2x3y 的最大值是 2，由图象知 z2x3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2由 解得 A(4，2)，x y 2 0，2x 3y 2， )同时 A(4，2)也在直线 axy40 上，4a2，则 a 12答案 (1)D (2)A探究提高 1线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般
10、情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得2对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可【训练 3】 (1) (2019贵州联考)设实数 x， y满足不等式组 401yx，则 zxy的最小值是_(2)(2017新乡模拟)若实数 x，y 满足 且 zmxy(m0，则 的最小值为_a4 4b4 1ab1(2018南阳期中)
11、已知正项等比数列 na的公比为 2，若 24mna，则 1n的最小值等于（ ）A 34B 12C 13D 62(2017全国卷)设 x，y 满足约束条件 则 zxy 的取值范围是( )3x 2y 6 0，x 0，y 0， )A3，0 B3，2 C0，2 D0，33已知当 x0 时，2x 2mx10 恒成立，则 m 的取值范围为( )A2 ，) B(，2 2 2C(2 ，) D(，2 )2 24已知函数 3log,10xf那么不等式 f(x)1 的解集为_5设 x， y，满足约束条件: 120yx的可行域为 M（1）求 2A的最大值与 2B的最小值;（2）若存在正实数 a,使函数 sincos4
12、2xxya的图象经过区域 M中的点,求这时 a的取值范围.81已知 x， y满足约束条件430521xy，记 zaxy（其中 0a）的最小值为 fa，若 35f，则实数 a的最小值为（）A3 B4 C5 D62(2017北京卷)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y 2的取值范围是_3(2017长郡中学二模)曲线 x|y1|与 y2x5 围成封闭区域(含边界)为 ，直线 y3xb 与区域 有公共点，则 b 的最小值为_94 （2018莆田一中）已知函数 2,fxbcR，对任意的 xR，恒有 fxf（1）证明： cb（2）若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 2fcfbMc恒成立，求 M的
13、最小值5 （2018执信中学）私人办学是教育发展的方向，某人准备投资 1200 万元举办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表班级学生数 配备教师数 硬件建设费（万元） 教师年薪（万元）初中 502.0281.2高中 4.55.6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取 60元，高中每生每年可收取 150元.因生源和环境等条件限制，办学规模以 20至 3个班为宜（含2个与 3个）.教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年.请你合理地安排招生计划，使年利润最
14、大，大约经过多少年可以收回全部投资？10参考答案111 【解题思路】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式 312yxz，之后在图中画出直线 32yx，在上下移动的过程中，结合 12z的几何意义，可以发现直线 过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【答案】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由 32zxy可得 312xz，画出直线 ，将其上下移动，结合 2z的几何意义，可知当直线过点 B 时， z取得最大值，由 0xy，解得 2,0，此时 max326z，故答案为 6.2 【解题思路】x 2y 2可看
15、做点(x, y)到(0,0)的距离的平方【答案】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x2y 2表示区域内点到原点距离的平方，由 得 A(3，1)x y 2，2x 3y 9)由图形知，(x 2y 2)max|OA| 23 2(1) 210故选 C3 【解题思路】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有12fxfx成立，一定会有 021x，从而求得结果.12【答案】 将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 201x，解得 0x，f(x)所以满足 12ff的 的取值范围是 0,，故选 D.4 【解题思路】直接用两次均值不等式，本题恰好能同时取等号【答案】 a，
16、bR，ab0， 4ab 2 4，a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 4ab1ab当且仅当 即 时取得等号故填 4a2 2b2，4ab 1ab， ) a2 22，b2 24 )1 【解题思路】根据等比数列的性质求出 6mn，由乘“1”法求出代数式的最小值即可【答案】正项等比数列 na的公比为 2，若 24a，故 224mmna,故 6n， 1,故 1553261234nmn 当且仅当 32nm即 时“”成立，故选 A2 【解题思路】画出可行域，确定取最小值和最大值时的点【答案】 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点 A(0，3)处取得最小
17、值 z033，在点 B(2，0)处取得最大值z202故选 B3 【解题思路】利用分离参数法分离出 m，转化为求最值问题【答案】 由 2x2mx10，得 mx2x 21，13因为 x0，所以 m 2x 2x2 1x 1x又 2x 2 2 1x （ 2x） 1（ x） （ 2x） 1（ x） 2当且仅当2x ，即 x 时取等号，1x 22所以 m2 故选 C24 【解题思路】分类讨论代入不同的函数解析式，进而求出 x 的范围【答案】 当 x0 时，由 3log1x 可得 x3，当 x0 时，由 1 可得 x0，(13)x 不等式 f(x)1 的解集为(，03，)故填(，03，)5 【解题思路】 （
18、1）画出可行域 M，将目标函数 2Ayx变形为 2yxA，故 最大值，直线纵截距最大，故将直线经过可行域尽可能地向上平移到点 B时，此时 最大，将点 B坐标带入即可， 2Bxy表示可行域内的点到原点距离的平方，观察可行域内的点并将与原点距离最小的点的坐标带入目标函数即可；（2）函数解析式化为 cosygxa，由图像得只需 12g，解不等式得 a的取值范围【答案】 （1）由12xy，得12xy ,A，由 120xy，得 18xy ,B，由20xy，得 4x， ,C，可行域 M为如图 ABC ， 12ACk，又 2y， yxA， 是 y轴的截距， 12ACk，过点 ,8B时， 816A最 大 ，
19、2B是表示区域 M 上的点 ,xy到原点 0,O距离平方.如图 1,2使所求距离的平方最小，2154最 小.（2） 0a， sincossincos242xxyaaxax过区域 中的点，而区域中 14x，又 ，函数 c图象过点 ,0， 14，14当 3,2x时， 0y， 342，满足 cosyax过区域 M 中的点，只须图象与射线 1x， 2y有公共点.只须 1时, 12， 1cosa，所求 a的取值范围是 1,cosa.1 【解题思路】画出可行域，确定何时取最小值.【答案】由题画出可行域如图所示，可知目标函数 zaxy过点 21,5A时取得最小值 min25za，由题 235fa， 5a，选
20、 C2 【解题思路】x 2y 2可看做点(x, y)到(0, 0)的距离的平方，也可利用均值不等式【答案】 法一 x0，y0 且 xy12 xy1，当且仅当 xy 时取等号，从而 0xy ，xy12 14因此 x2y 2(xy) 22xy12xy，所以 x 2y 2112法二 可转化为线段 AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为 ，则 x2y 222， 1的取值范围为 12， 1故填 12， 13 【解题思路】y3xb 化为 b3xy 即为目标函数，画出可行域，确定取最小值时的点【答案】 作 x|y1|与 y2x5 围成的平面区域如图，15由 解得 A(6，7)，x
21、y 1，y 2x 5， )平移直线 y3xb，则由图象可知当直线经过点 A 时，直线 y3xb 在 y 轴上的截距最小，此时 b 最小b3xy 的最小值为18711故填114 【解题思路】 （1）先求导数，并化简不等式 fxf得 20xbc，再根据一元二次不等式恒成立得24bc，最后利用基本不等式得结论.（2）先讨论 c时，不等式恒成立，再讨论 cb时，利用变量分离法将不等式恒成立转化为对应函数最值问题，根据函数单调性求得函数最值即得 的取值范围，M最后确定 的最小值M【答案】 （1）易知 2fxb由题设，对任意的 xR， 2bxc，即20xbc恒成立，所以 240cb，从而 14c于是 1，
22、且214b，因此 （2）由（1）知， c当 b时，有 222fcfbcbcbM令 btc，则 1t， 21t而函数 1gtt的值域是 3,2因此，当 时， M的取值集合为 ,3当 cb时，由（1）知， 2b， c此时 8ff或 0， 0，从而 23fcfbc恒成立综上所述， M的最小值为 325 【解题思路】根据设初中编 x个班，高中编制为 y个班，得出二元一次方程组，又设年利润为 s万元，那么 5061041502.4sxyxy，即 0.62sxy，根据线性规划可得年利润最大值，利用 1.623.4.82n可得大约经过 36 年可以收回全部投资.16【答案】设初中编制为 x个班，高中编制为
23、y个班.则依题意有20385120,xyN， （*）又设年利润为 s万元，那么 506104150.4sxyxy，即 0.62sxy，在直角坐标系中作出（*）所表示的可行域，如图所示.问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线 0.62sxy在 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为 0.3的直线，显然当直线过图中的 A点时，纵截距 12ys取最大值.解联立方程组 328512xy得 812xy，将 1x， 代入 中得， max34.S，.s设经过 n年可收回投资，则第 年利润为 65010621.051042.516.（万元） ；第 年利润为 2.3.（万元） ，2以后每年的利润均为 48万元，故依题意应有 .62380n.解得 35.n.答：学校规模以初中 1个班、高中 12个班为宜，第一年初中招生 6个班约 3人，高中招生 4个班约 160，从第三年开始年利润为 34.8万元，约经过 36年可以收回全部投资.
