1、1第 3 讲圆锥曲线综合问题1圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题1圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解2定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题若得到了直线方程的点斜式： y y0 k(x x0)，则直线必过定点( x0， y0)；若得到了直线方程的斜截式：y kx m，则直线必过定点(0， m)(2)定值问题：在解析几何中，
2、有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题3存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在(3)得出结论热点一 圆锥曲线中的最值、范围【例 1】(2018济宁期末)已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于C:x2=2py(p0)A，B 两点，且 ，直线 AO，BO 分别交直线 于点 M，NOAOB=-3 y=-1(1)求抛物线 C 的方程；(2)求 的最小值S OMN解（1）抛物线 的焦点
3、为 F ， ，C:x2=2py(p0) (0,p2) A(x1,y1) B(x2,y2)设直线 的方程为： ，AB y=kx+p2联立直线 与抛物线 的方程可得： ，AB C y=kx+p2x2=2py 2整理得： ，x2-2pkx-p2=0所以 ， ，x1+x2=2pkx1x2=-p2= ，y1y2=(kx1+p2)(kx2+p2)=k2x1x2+p2k(x1+x2)+p24p24因为 ，且 ， ，OAOB=-3 OA=(x1,y1) OB=(x2,y2)所以 ，即 ，解得： x1x2+y1y2=-3 -p2+p24=-3 p=2所以抛物线 C 的方程为： 。x2=4y（2）直线 的方程为：
4、 ，直线 的方程为： ，OA y=y1x1x OB y=y2x2x联立 得： ，所以 ，y=y1x1xy=-1 x=-x1y1 M(-x1y1,-1)联立 得： ，所以 ，y=y2x2xy=-1 x=-x2y2 N(-x2y2,-1)所以 = = ，MN=|x2y2-x1y1|=|x2y1-x1y2y2y1 |x2(kx1+p2)-x1(kx2+p2)y1y2 |=|x1-x2| (x1+x2)2-4x1x2所以 = ，SOMN=121|x1-x2|=12 (x1+x2)2-4x1x212 4k2+16 2当 时，等号成立k=0所以 的最小值为 2S OMN探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主
5、要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围【训练 1】已知点 A(0，2)，椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的x2a2 y2b2 32斜率为 ， O 为坐标原点2 33(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解 (1)设 F(c，0)，由条件知， ，得 c 又 ，所以 a2
6、， b2 a2 c212c 2 33 3 ca 32故 E 的方程为 y21x24(2)当 l x 轴时不合题意，故设 l： y kx2， P(x1， y1)， Q(x2， y2)将 y kx2 代入 y21，得(14 k2)x216 kx120x24当 16(4 k23)0，即 k2 时， x1，2 34 8k2 4k2 34k2 13从而| PQ| |x1 x2| k2 14 k2 14k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d 2k2 1所以 OPQ 的面积 S OPQ d|PQ| 12 4 4k2 34k2 1设 t，则 t0， S OPQ 4k2 34tt2 4 4t 4t
7、因为 t 4，当且仅当 t2，即 k 时等号成立，且满足 04t 72所以当 OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y x2 或 y x272 72热点二 圆锥曲线中的存在性问题【例 2】(2019广州一模)已知动圆 过定点 ，且与定直线 相切C F(1,0) x=-1（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；C E（2）过点 的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点 ，试探究在 轴上是否存在定点 （异于点 ） ，M(-2,0) l E P,Q x N M使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由 QNM+ PNM= N解（1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，C F(
8、1,0) x=-1由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其中 C F(1,0) x=-1 p=2动圆圆心 的轨迹 的方程为 C E y2=4x解法 2：设动圆圆心 ，依题意： C(x,y) (x-1)2+y2=|x+1|化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程y2=4x C E（2）解：假设存在点 满足题设条件N(x0,0)由 可知，直线 与 的斜率互为相反数，QNM+PNM= PNQN即 kPN+kQN=0直线 的斜率必存在且不为 ，设 ,PQ 0 PQ:x=my-2由 得 y2=4xx=my-2 y2-4my+8=0由 ,得 或 =(-4m)2-480 m
9、2 m0)的焦点为 F，直线 2x y20 交抛物线 C 于A， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，若直线 AB 过焦点 F，求| DF| DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2 |2 |？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由QA QB QA QB 解 (1)直线 2x y20 与 y 轴的交点为(0，2)， F(0，2)，则抛物线 C 的方程为 x28 y，准线 l： y2设过 D 作 DG l 于 G，则| DF| DE| DG| DE|，当 E， D， G 三点共线时，|
10、DF| DE|取最小值 235(2)假设存在，抛物线 x22 py 与直线 y2 x2 联立方程组得： x24 px4 p0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，(4 p)216 p16( p2 p)0，则 x1 x24 p， x1x24 p， Q(2p，2 p)|2 |2 |， QA QBQA QB QA QB 则 0，可得( x12 p)(x22 p)( y12 p)(y22 p)QA QB ( x12 p)(x22 p)(2 x122 p)(2x222 p)5 x1x2(46 p)(x1 x2)8 p28 p40，代入得 4p23 p10，解得 p 或 p1(舍去)14因此存在
11、实数 p ，且满足 0，使得|2 |2 |成立14 QA QB QA QB 51(2018全国 I 卷)设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 C:x22+y2=1 F F l C A,B M (2,0)（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；l x AM（2）设 为坐标原点，证明： O OMA= OMB1(2018全国 III 卷)已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为k l C： x24+y23=1 A B ABM(1 ， m)(m0)（1）证明： ；kb0)的右顶点为 A，直线 y 与椭圆 C 交于2x2a2 y2b2 43P， Q 两点( P
12、 在 Q 的左边)， Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M， N若 M 是椭圆的左顶点， D 是直线 MN 上一点，且 DA AM点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点1(2017延安调研)如图，椭圆 E： 1( a b0)，经过点 A(0，1)，且离心率为 x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P， Q(均异于点 A)，证
13、明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值72(2017昆明二模)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短轴长为 2直线 l： y kx m 与椭圆x2a2 y2b2 22C交于 M， N 两点，又 l 与直线 y x， y x 分别交于 A， B 两点，其中点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，12 12且 OAB 的面积为 2(O 为坐标原点)(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 的取值范围OM ON 8参考答案1 【解题思路】(1)首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 l 的方程为 x=1，代入椭圆方程求得点 Al x F(1,0)的坐标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；(
14、1,22) (1,- 22) AM(2)分直线 l 与 x 轴重合、 l 与 x 轴垂直、 l 与 x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果【答案】 （1）由已知得 ， l 的方程为 x=1F(1,0)由已知可得，点 A 的坐标为 或 (1,22) (1,- 22)所以 AM 的方程为 或 y=-22x+ 2 y= 22x- 2（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA=OMB=0当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA=OMB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ，
15、 ，y=k(x-1)(k 0)A(x1,y1),B(x2,y2)则 ，直线 MA， MB 的斜率之和为 x10， 2m1 2k0，m（ 1 2k） 0， )即 m2(14 k2)0，而 m20，14 k20，又| AB| ，(2m1 2k 2m1 2k)2 ( m1 2k m1 2k)2 4|m|1 4k2 1 k2又原点 O 到直线 l 的距离为 ，即 OMN 底边 AB 上的高为 ，|m|1 k2 |m|1 k2 S OMN 12 2，4|m| 1 k21 4k2 |m|1 k2 2m21 4k2 m214 k2，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，将直线 l 代入椭圆方程，整理可得(12 k2)x24 kmx2 m220， x1 x2 ， x1x2 ，4km1 2k2 2m2 21 2k216 k2m24(12 k2)(2m22)48 k20，则 k20， y1y2( kx1 m)(kx2 m) ，m2 2k21 2k2 x1x2 y1y2 7，OM ON 2m2 21 2k2 m2 2k21 2k2 81 2k20 k2 ，12 k2 ，14 (1， 32) ， 81 2k2 (163， 8) OM ON ( 53， 1)故 的取值范围为 OM ON ( 53， 1)
