1、1云南省玉溪市一中 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（文）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 A= | ，B= | ，则 AB =A. | 或 B. | C. | D. | 【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到 B= | = ，再根据集合的并
2、集运算得到结果.【详解】B= | = , A= | ,则 AB = | .xx-1故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算2.复数 =2i1+iA. B. C. D. 1i 1+i 1+i 1i【答案】A【解析】2【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数 = -2i1+i -2i(
3、1i)(1+i)(1i)=i(1i)=i1故答案为：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =an n Sn a4+a6=10 S9A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前 n 项和的性质得到 S9= ，直接求解92(a1+a9)=92(a4+a6)【详解】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4+a6=10，S 9=92(a1+a9)=92(a4+
4、a6)=45.故选：C【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方Sn an an Sn1法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。4.设 ，则“ ”是“ ”的xR |x34|b0) x22x+y2+34=0于（ ）A. B. C. D. 22 3233【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可【详解】圆 x22x+y 2+ =0 的圆心（1，0） ，半径为： ，34 12双曲线的渐近线方程为：y
5、= x，由点到直线的距离可得到： ，解得 = ，ba 12= ba1+(ba)2 ba 33即 ， ，可得 e= b2a2=13 c2a2a2=13 233故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13.在区间 上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率为_3，5
6、 x 1(12)x4【答案】14【解析】【详解】由 ，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件 “1(12)x49”发生的概率1(12)x4 ，2x0，1(12)x4在区间3，5上随机取一个实数 x，由几何概型概率计算公式得：事件“ ”发生的概率为 p= = 1(12)x4 0+25+314故答案为： 14【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是
7、等可能的14.已知 ，且 ，则 的最小值是_x，yR+ 4x+y=11x+1y【答案】9【解析】【分析】直接将代数式 4x+y 与 相乘，利用基本不等式可求出 的最小值1x+1y 1x+1y【详解】由基本不等式可得 ，当且仅当1x+1y=(4x+y)(1x+1y)=4xy+yx+524xyyx+5=9.，等号成立，因此 的最小值为 9，4xy=yx4x+y=1x=16y=13 1x+1y故答案为：9【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用
8、，否则会出现错误.15.若实数 满足条件 ，则 的最大值为_x，y x1x2y+30yx z=y1x【答案】1【解析】【分析】10作出平面区域，则 表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率求解最大值即z=y-1x可【详解】作出实数 x，y 满足条件 的平面区域如图所示：x1x-2y+30yx 由平面区域可知当直线 过 A 点时，斜率最大z=y-1x解方程组 得 A（1，2） x=1x2y+3=0z 的最大值为 =12-11故答案为：1【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、ax+b
9、y斜率型（ 型）和距离型（ 型） y+bx+a (x+a)2+(y+b)2(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.16.已知定义在 R 上的偶函数 f（x） ，满足 f（x+2）=f（x） ，当 x0，1时，f（x）=ex1，则 f（2017）+f（2018）=_【答案】 e1【解析】【分析】11根据 f（x）是偶函数即可得出 f（2017）=f（2017） ，而由 f（x+2）=f（x）即可知f（x）的周期为 2，再根据当 x0，1时，f（x）=e x1 即可求出 f（201
10、7）=e1，f（2018）=0【详解】f（x）是 R 上的偶函数；f（2017）=f（2017） ；f（x+2）=f（x） ；f（x）的周期为 2；又 x0，1时，f（x）=e x1；f（2017）=f（1+21008）=f（1）=e1，f（2018）=f（0+21009）=f（0）=11=0；f（2017）+f（2018）=f（2017）+f（2018）=e1故答案为：e1【点睛】考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证 和 的关系，函数f(x) f(-x)的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，
11、接着再判断当 x 变大时 y 的变化趋势，从而得到单调性.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ，且ABC A B C b(a+b)(sinAsinB)=c(sinCsinB)（1）求 A（2）若 ，求 面积 的最大值a=4 ABC S【答案】 （1） ；（2） A=3 43【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再由余弦定理得到 ，根据特殊角b2+c2-a2=bc cosA=b2+c2-a22b
12、c =12的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知： ，根据重要不等式和a2=b2+c2-bc12a=4 得到 ，即 ，再由 面积 ，最终得到结162bc-bc=bc bc16 ABC S=12bcsin3=34bc43果.【详解】 （1）根据正弦定理可知： ，(a+b)(a-b)=c(c-b)整理得 ，b2+c2-a2=bc由余弦定理的推论得 ， cosA=b2+c2-a22bc =12，03.841有 的把握认为“恋家” 与否与国别有关.95%（）用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到幸福的有 1 人，分别设为 .a1,a2,a3
13、,b =(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a3),(a2,b),(a3,b) .n=6设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件 ，A，A=(a1,b),(a2,b),(a3,b) .则 .m=3 P(A)=mn=36=1219.如图，底面 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ，ABCD 3 DE ABCD CF DE DE=3CF与平面 所成的角为 BE ABCD 450（1）求证：平面 平面 ；ACE BDE（2）求二面角 的余弦值FBED【答案】 （1）证明见解析；（2） 1919【解析】【分析】（1）DE平面 ABCD，可得到 DEAC，又因为底面为正方形所以得到
14、 ACBD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面 BEF 和面 BDE 的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】 （1）证明： DE平面 ABCD，AC 平面 ABCDDEAC15又底面 ABCD 是正方形，ACBD，又 BDDE=D，AC平面 BDE，又 AC平面 ACE，平面 ACE平面 BDE （2）以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 所在直线分别为 ， ，轴建立空间直角坐标系 ，x y D-xyz如图所示，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45，即EBD=45，DE=BD= AD= ，CF= DE= 2 32 2A（3 ，0，0） ，B
15、（3，3，0） ，C（0，3，0） ，E（0，0， ） ，F（0，3， ） ， 32 2=（3，0， ） ， =（0，3， ） ， 2 -22设平面 BEF 的一个法向量为 =（ ， ， ） ，x y则 ，即 ，令= ，-3x+ 2z=03y-22z=0 32则 =（2，4， ） 32又 AC平面 BDE，=（ 3，3，0）为平面 BDE 的一个法向量 cos = = = 63832 1919二面角 FBED 的余弦值为 1919【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法16求两个面
16、的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.20.已知椭圆 C： (ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 .直线 y k(x1)与x2a2+y2b2=1 22椭圆 C 交于不同的两点 M， N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当 AMN 的面积为 时，求 k 的值103【答案】 （1） （2）1 或1.x24+y22=1【解析】试题分析：（I）由已知条件可得 和 的值，利用 可得 的值，进而可得椭圆的方程；（II）先设 、 的坐标，再联立直线 的方程和椭圆的方程，消去 ，化简得关于 的一元二次方程，由韦达定理可得 ， 的值，由弦长公式求|MN|，由点k=1到直线的距离公式求AMN 的高，再
17、根据三角形的面积求 试题解析：（1）由题意得 解得 所以椭圆 C 的方程为 （2）由 得 设点 M，N 的坐标分别为 ， ，则 ， ， 所以|MN|= = = 由因为点 A（2,0）到直线 的距离 ，所以AMN 的面积为 由 ，解得17，经检验 ，所以 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题解题时要注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，最后注意验证 视频21.已知函数 ， .f(x)=x-alnx （aR）（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a=2 y=f(x) (1，f(1)（2）求函数 f（
18、x）的极值【答案】 （1） ； x+y2=0（2）当 a0 时，函数 f（x）无极值；当 a0 时，函数 f（x）在 x=a 处取得极小值aalna，无极大值【解析】【分析】（1）把 a=2 代入原函数解析式中，求出函数在 x=1 时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当 a0 时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当 a0 时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值【详解】 （1）当 时， ， ，切点为 ，a=2 f(x)=x-2lnx f(1)=1 (1,1)，f(x)=1-2x
19、k=f(1)=1-2=-1曲线 在点 处的切线方程为： y=f(x)，即 . y-1=-(x-1) x+y-2=0（2）由 ，x0 知：f(x)=1-ax=x-ax当 a0 时， 0，函数 f（x）为（0，+）上的增函数，函数 f（x）无极值； f(x)当 a0 时，由 =0，解得 x=a f(x)又当 x（0，a）时， 0，当 x（a，+）时， 0f(x) f(x)从而函数 f（x）在 x=a 处取得极小值，且极小值为 f（a）=aalna，无极大值综上，当 a0 时，函数 f（x）无极值；当 a0 时，函数 f（x）在 x=a 处取得极小值 aalna，无极大值18【点睛】本题考查了利用导
20、数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的数学思想，属中档题研究曲线上某点处的切线方程，步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.22.在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，以坐标原点为极点，C (2，0) 2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的参数方程为： （ 为参数） x=-ty=1+t （1）求圆 和直线 l 的极坐标方程；C（2）点 的极坐标为 ，直线 l 与圆 相交于 A，B，求 的值P (1，2) C |PA|+|PB|【答案】 （1）圆 的极坐标方程为 ，的
21、极坐标方程为 ；C 2-4cos+2=0 cos+sin=1（2） 32【解析】【分析】（1） 代入圆 C 得圆 C 的极坐标方程；直线 l 的参数方程转化成普通方程，进而x=cosy=sin 求得直线 l 的极坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入圆的方程，求得关于 t 的一元二次方程，令 A，B 对应参数分别为 t1，t 2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值【详解】 （1）圆 的直角坐标方程为： ，C (x-2)2+y2=2把 代入圆 得：x=cosy=sin C (cos-2)2+2sin2=2化简得圆 的极坐标方程为：C 2-4cos+2=0由 （
22、为参数） ，得 ，l: x=-ty=1+t x+y=1的极坐标方程为： . cos+sin=1（2）由点 的极坐标为 得点 的直角坐标为 ，P (1，2) P P(0，1)直线的参数方程可写成： （ 为参数） x=- 22ty=1+22t 代入圆 得： 化简得： ，C (-22t-2)2+(1+22t)2=2 t2+32t+3=0 ， ，t1+t2=-32 t1t2=319 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=32【点睛】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题一般 t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，
23、 ， 均可用 t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.|PA|+|PB| |PA|-|PB| |PA|PB|23.已知 f(x)=|xa2|+|x+2a+3|（1）证明： ；f(x)2（2）若 ，求实数的取值范围f(32)3【答案】 （1）证明见解析；（2） (1,0)【解析】【分析】(1)根据绝对值三角不等式得到 ;(2) ，则 ，故 ，分情况去掉绝对值解出不等式即可.【详解】 （1）证明： （2）解：若 ，则 ， 故 或 ，解得： 实数的取值范围为 【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
