1、1玉溪一中 20172018学年下学期高二年级期末考理科数学 试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效一、选择题：本题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知 A= | ，B= | ，则 AB =A. | 或 B. | C. | D. | 【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到 B= | = ，再根据集合的并集运算得到结果.【详解】B=
2、 | = , A= | ,xx2-2x-31则 AB = | .xx-1故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算2.复数 =2i1+iA. B. C. D. 1i 1+i 1+i 1i【答案】A2【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数 = -2i1+i -2i(1i)(1
3、+i)(1i)=i(1i)=i1故答案为：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =an n Sn a4+a6=10 S9A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前 n项和的性质得到 S9= ，直接求解92(a1+a9)=92(a4+a6)【详解】等差数列a n的前 n项和为 Sn，a 4+a6=10，S 9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=45.
4、故选：C【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方Sn an an Sn1法需要检验 n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。4.设 ，则“ ”是“ ”的xR |x34|b0) F1 F2 O F1F2圆与椭圆在第一象限相交于点 ，且直线 的斜率为 ，则椭圆的离心率为P OP 3A. B. C. D. 22 312 32 31【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出【详解】在 RtPF 1F2中，F
5、1PF2=90，直线 的斜率为 故得到POF 2=60，OP 3|PF 2|=c，由三角形三边关系得到|PF 1|= ，3c又|PF 1|+|PF2|=2a=c+ ，3c .ca= 23+1= 31故选：D【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，a,c e=ca a,b,c结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或 转化为关于的方程b2=a2c2 a,c a2(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12.已知函数 （ ） ，若有且仅有两个整数 ，使得f(x)=
6、ex(3x1)ax+a a0)总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是_x20,4 x10,4 f(x1)=g(x2) m【答案】 1，43【解析】【分析】分别求得 f（x） 、g（x）在0， 上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从4而求得实数 m的取值范围【详解】f（x）=sin2x+ （2cos 2x1）=sin2x+ cos2x=2sin（2x+ ） ，3 3312当 x0， ，2x+ ， ，sin（2x+ ）1，2， f（x）1，24 3 3 56 3对于 g（x）=mcos（2x ）2m+3（m0） ，2x ， ，mcos（2x ） ，m，6 6 6 3 6 m2g（x）
7、 +3，3m32m由于对所有的 x20， 总存在 x10， ，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，4 4可得 +3，3m1，2，3m2故有 3m2， +31，解得实数 m的取值范围是1， 3m2 43故答案为： 1，43【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的 x20， 总存在 x10， ，使得 f（x 1）4 4=g（x 2）成立”的含义，转化为 f（x）的值域是 g（x）的子集三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考
8、生根据要求作答（一）必考题：共 60分17.在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ，且ABC A B C b(a+b)(sinAsinB)=c(sinCsinB)（1）求 A（2）若 ，求 面积 的最大值a=4 ABC S【答案】 （1） ；（2） A=3 43【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再由余弦定理得到 ，根据特殊角b2+c2-a2=bc cosA=b2+c2-a22bc =12的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知： ，根据重要不等式和a2=b2+c2-bca=4得到 ，即 ，再由 面积 ，最终得到结162bc-bc=bc bc16 ABC S=12bcsin3=34
9、bc43果.【详解】 （1）根据正弦定理可知： ，(a+b)(a-b)=c(c-b)13整理得 ，b2+c2-a2=bc由余弦定理的推论得 ， cosA=b2+c2-a22bc =12，0b0) 32 C (1, 32)（1）求椭圆 的方程；C（2）若直线与椭圆 交于 两点（点 均在第一象限） ，且直线 的斜率成等比数C P,Q P,Q OP,l,OQ列，证明：直线的斜率为定值.【答案】(1) ;(2)见解析.x24+y2=1【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于 的方程组，解得 后可得椭圆的方a,b,c a,b,c程 （2）由题意设直线的方程为 ，与椭圆方程联立后消元可得
10、二次方程，y=kx+m(m0)根据二次方程根与系数的关系可得直线 的斜率，再根据题意可得 ，根据此式OP,OQ k2=y2x2y1x117可求得 ，为定值k=-12试题解析：（1）由题意可得 ，解得 ca=321a2+34b2=1a2=b2+c2 a=2b=1 故椭圆 的方程为 Cx24+y2=1（2）由题意可知直线的斜率存在且不为 0，设直线的方程为 ，y=kx+m(m0)由 ，消去 整理得 ，y=kx+mx24+y2=1 y (1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0直线与椭圆交于两点， =64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0设点 的坐标分别为 ，
11、P,Q (x1,y1),(x2,y2)则 ，x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2直线 的斜率成等比数列，OP,l,OQ ，k2=y2x2y1x1=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2整理得 ，km(x1+x2)+m2=0 ，8k2m21+4k2+m2=0又 ，所以 ，m0 k2=14结合图象可知 ，故直线的斜率为定值k=-12点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结
12、合思想、分类讨论思想的考查（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值1821.已知函数 ， .f(x)=xalnx （aR）（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a=2 y=f(x) (1，f(1)（2）设 ，若不等式 对任意 恒成立，求的取值范围 .g(x)=a+1x f(x)g(x) x1，e【答案】 （1） ；（2） x+y2=0 (2，e2+1e1)【解析】【分析】(1)把 a=2代入原函数解析式中，求出函数在 x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2) 设 ,即 h(x)0恒成立，对函数求导，分h(x)=f(x
13、)-g(x)= x+1+ax -alnx， ， 三种情况得到函数单调性，进而得到结果.ae-1 a0 00)， h(x)=1-1+ax2-ax= x2-ax-(1+a)x2 =(x+1)x-(1+a)x2不等式 对任意 恒成立，f(x)g(x) x1,e即函数 在 上的最小值大于零.h(x)=x+1+ax -alnx 1,e当 ，即 时， 在 上单调递减，1+ae ae-1 h(x) 1,e的最小值为 ，h(x) h(e)由 可得 ，h(e)=e+1+ae -a0 ae-1. e-1a0 a-2 -22 00，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为f(x)min0 f(x)g(x)（需在同一
14、处取得最值） .f(x)ming(x)max（二）选考题：共 10分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22.在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，以坐标原点为极点，C (2，0) 2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的参数方程为： （ 为参数） x=-ty=1+t （1）求圆 和直线 l的极坐标方程；C（2）点 的极坐标为 ，直线 l与圆 相交于 A，B，求 的值P (1，2) C |PA|+|PB|【答案】 （1）圆 的极坐标方程为 ，的极坐标方程为 ；C 2-4cos+2=0 cos+sin=1（2） 32【解析】【分析】（1） 代入圆
15、 C得圆 C的极坐标方程；直线 l的参数方程转化成普通方程，进而x=cosy=sin 求得直线 l的极坐标方程；（2）将直线 l的参数方程代入圆的方程，求得关于 t的一元二次方程，令 A，B 对应参数分别为 t1，t 2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值【详解】 （1）圆 的直角坐标方程为： ，C (x-2)2+y2=220把 代入圆 得：x=cosy=sin C (cos-2)2+2sin2=2化简得圆 的极坐标方程为：C 2-4cos+2=0由 （ 为参数） ，得 ，l: x=-ty=1+t x+y=1的极坐标方程为： . cos+sin=1（2）由点 的极
16、坐标为 得点 的直角坐标为 ，P (1，2) P P(0，1)直线的参数方程可写成： （ 为参数） x=- 22ty=1+22t 代入圆 得： 化简得： ，C (-22t-2)2+(1+22t)2=2 t2+32t+3=0 ， ，t1+t2=-32 t1t2=3 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=32【点睛】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题一般 t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故， ， 均可用 t来表示，从而转化为韦达定理来解决.|PA|+|PB| |PA|-|PB| |PA|PB|23.已知 f(x)=|xa2|+|x+2a+3|（1）证明： ；（2）若 ，求实数的取值范围【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】(1)根据绝对值三角不等式得到 ;(2) ，则 ，故 ，分情况去掉绝对值解出不等式即可.【详解】 （1）证明： （2）解：若 ，则 ， 故21 或 ，解得： 实数的取值范围为 (-1,0)【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
