1、- 1 -宁大附中 20162017 学年第一学期第六月考高三数学（理）试卷一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填在试卷答题卡上）（1）已知集合 M1,2， zi，i 为虚数单位， N3,4， M N4，则复数 z ( ) A2i B2i C4i D4i（2）已知下列四个命题： 设 R，则“ 0”是“ f(x)cos ( x )(xR)为偶函数”的充要条件 命题“ xR，| x| x20”的否定是: x0 R，| x0| x 0 20若一个球的半径缩小到原来的 ， 则其体积缩小到原来的 ；12 18设 aR，
2、则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线 l2： x( a1) y40 平行”的充分不必要条件； 其中真命题的序号为 ( )A B C D（3）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石（4）已知等比数列 中， 等差数列 中， ，则数列 的na2854,anb465anb前 9 项和 等于（ ）9sA. 9 B. 18 C. 36 D. 72（5）已知实数 满足 （ ） ，则下列关系式恒成立的是（ ）,x
3、yxya01aA、. B、 . C、 . D、 .22122ln()l()ysinxy3yx（6）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC、 ED，则 sin CED( ) A. B. 31010 1010- 2 -C. D.510 515（7）已知 a、b 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，下列说法中： a ， a ； a ，a bb ；a ，a bb . a ，a .其中正确说法的个数是（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个（8）下列命题正确的是 （ ）A若 = ，则 = B若 与 是单位向量，则 =1abcbcabaC若
4、 / ， / ，则 / D若 ，则 =0 a|b（9）已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与ab1C21xyb2C21xyaC的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ）2322A、 B、 C、 D、0xy0xy20xy20xy（10）设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为 ( ) A. B. C. D. 3493863294（11）已知函数230()sin),(),fxfxd且则函数 ()fx的图象的一条对称轴是 ( ) A 56 B 712 C 3 D 6（12）对二次函数 （ 为非零
5、常数） ，四位同学分别给出下列结论，其中()fxabca有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A 是 的零点 B1 是 的极值点1()f ()fxC3 是 的极值 D. 点 在曲线 上x2,8()yfx二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分- 3 -（13）若直线 过点 ，则 的最小值等于 1(0,)xyab(1,)ab（14）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形若94 3P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为 （15）已知圆 ，设平面区域 ，若圆心 ,22:xayb70,xyC且圆 C 与 x 轴
6、相切，则 的最大值为 2（16）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10，第n 个三角形数为 n2 n. 记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3)，以下列出n n 12 12 12了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3) n2 n，正方形数 N(n,4)12 12 n2，五边形数 N(n,5) n2 n，六边形数 N(n,6)2 n2 n，可以推测32 12N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分为 12 分）设向量 a( sin x，si
7、n x)， b(cos x，sin x)， x3.0， 2（）若| a| b|，求 x 的值； （）设函数 f(x) ab，求 f(x)的最大值和最小值(18) （本小题满分 12 分）已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F(1，0)，抛物线E： x22 py 的焦点为 M.（）若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程；（）过 F 的直线 L 与 C 相交于 A、 B 两点，求 的值OBA（19） （本小题满分为 12 分）- 4 -如图 ，在直角梯形 中，1CDA， ， ， ， 是 的中点， 是 与 的D/CA212DAC交点将 沿 折起到 的位
8、置，如图 （）证明： CD平面 A1OC；（）若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值（20） （本小题满分 12 分）已知动点 P 到定点 F(1，0)和到直线 x2 的距离之比为 ，设22动点 P 的轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A， B 两点，直线l： y mx n 与曲线 E 交于 C， D 两点，与线段 AB 相交于一点(与 A， B 不重合)（）求曲线 E 的方程；（）当直线 l 与圆 x2 y21 相切时，四边形 ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理
9、由（21） （本小题满分 12 分）设函数 ， 2lnxfk0（）求 的单调区间和极值；fx（）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点fx1,e（22） （本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的极坐标方程为 22 cos210；以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直( 4)角坐标系。（）求圆 C 的直角坐标方程并写出圆心坐标和半径；（）若 ，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数 )，点 P 的直角坐标为(2,2)，直0， 3- 5 -线 l 交圆 C 于 A， B 两点，求 的最小值PAPBPA PB- 6 -宁大附中 20162017
10、 学年高三年级月考数学（理）试卷答案一、选择题（5 分12 分=60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B B D B C D A D A A二、填空题（5 分4=20 分）13、4 14、 15、37 16、10003三、解答题（17-21 题每题 12 分，22 题 10 分，共计 70 分）17 解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由| a|2( sin x)2(sin x)24sin 2x，| b|2(cos x)2(sin x)21，及3|a| b|，得 4sin2x1.又 x ，从而 sin x ，所以 x .
11、0， 2 12 6(2) f(x) ab sin xcos xsin 2x sin 2x cos 2x sin ， 332 12 12 (2x 6) 12x ，0， 2f(x)的最大值为 ， f(x)的最小值为 0218 解：(1)证明：在题图中，因为 AB BC1， AD2， E 是 AD 的中点， BAD ，所以 BE AC.即在题图中， BE OA1， BE OC，从而 BE平面 A1OC.又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知， BE OA1， BE OC，所以 A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，所以 A1OC .-
12、7 -设平面 A1BC 的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 A1CD 的法向量 n2( x2， y2， z2)，平面 A1BC 与平面 A1CD 的夹角为 ，19【解析】：(1)由题意得抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F(1，0)，抛物线 E： x22 py的焦点为 M，所以 p2， M(0，1)，当直线 l 的斜率不存在时， x0，满足题意；当直线 l 的斜率存在时，设方程为y kx1，代入 y24 x，得 k2x2(2 k4) x10，当 k0 时， x ，满足题意，直线 l 的方程14为 y1；当 k0 时， (2 k4) 24 k20，所以 k1，方程为 y x
13、1，综上可得，直线 l 的方程为 x0或 y1 或 y x1.来(2) -420【解析】：(1)设点 P(x， y)，由题意可得， ，整理可得 y21.（ x 1） 2 y2|x 2| 22 x22- 8 -曲线 E 的方程是 y21.x2221.由 解得 .2()kxfx()0fxk与 在区间 上的情况如下：ff,- 9 -所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；()fx(0,)k(,)k在 处取得极小值 .k(1ln)2f（）由（）知， 在区间 上的最小值为 .()fx,(1ln)()2kfk因为 存在零点，所以 ，从而 .()fxl)0ke当 时， 在区间 上单调递减，且 ，kef(1,e()0f所以 是 在区间 上的唯一零点.x)x当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ，ke(f(0,)e1()2f()02ekf所以 在区间 上仅有一个零点.)fx1,22【解析】(1): 122y
