1、- 1 -山西大学附中 2018-2019 学年高二第一学期 10月(总第二次)模块诊断数学试题一.选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.一个几何体有 6个顶点，则这个几何体不可能是（ ）A. 三棱柱 B. 三棱台 C. 五棱锥 D. 四面体【答案】D【解析】【分析】根据棱柱、棱台、棱锥及四面体的图形，即可得答案.【详解】对于 A，三棱柱是上下两个三角形，有 6个顶点，满足题意；对于 B，三棱台是上下两个三角形，有 6个顶点，满足题意；对于 C，五棱锥是底面为五边形及一个顶点，有 6个顶点，满足题意；对于 D，四面体的顶
2、点个数为 4个，不满足题意.故选 D.【点睛】本题考查了认识立体图形，根据顶点及面的特点是解题关键2.下列说法正确的个数（ ）空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；梯形可以确定一个平面；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； 且 ，则 在 上.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据平面的基本性质，空间直线与平面位置关系逐一分析四个命题的真假，可得答案【详解】对于，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故不正确；对于，梯形由于有上下两底平行，则梯形是平面图形，故正确；对于，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互
3、补，故不正确；- 2 -对于，由公理 3得：若 ， ，则 ，故正确.故选 B.【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握空间点、线、面的位置关系是解答的关键3.已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若 则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ，则【答案】B【解析】对于 项、若 ， ，则 ， 相交、平行、异面都有可能，故 错误；对于 项、若， ，则由线面垂直的定义可知 ，故 正确；对于 项、若 ， ，则或 ，故 错误；对于 项、若 ， ，则 或 与平面 相交，故 错误，故选【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质
4、，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体） 、现实实物判断法（如墙角、桌面等） 、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4.下列关于简单几何体的说法中正确的是（ ）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；在斜二测画法中，与坐标轴不平行的线段的长度在直观图中有可能保持不变；有两个底面平行且相似其余各面都是梯形的多面体是棱台；空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面.A. B. C. D. 【答案】B
5、【解析】【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来以及对概念的理解进行否定，即可得出答案.【详解】对于，不符合棱柱的结构特征，若下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱- 3 -上底面为底面的斜三棱柱，如图： ，故不正确；对于，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故不正确；对于，长宽分别为 3和 的矩形的对角线，在直观图中长度不变，而正方形的对角线长度改变，故正确；对于，不符合棱台的结构特征，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点，故不正确；对于，在平面内满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为圆，在空间中，
6、满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为球面，故正确.故选 B.【点睛】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握几何体结构特征是解答的关键，属于基础题5.如图,正方形 的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于 轴的线段，在直观图中画成平行于 轴，长度保持- 4 -不变，已知图形平行于 轴的线段，在直观图中画成平行于 轴，且长度为原来一半由于轴上的线段长度为 ，故在平面图中，其长度为 ，且其在平面图中的 轴上，由此可以求得原图形的周长【详
7、解】由斜二测画法的规则知与 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在 轴上，可求得其长度为 ，故在平面图中其在 轴上，且其长度变为原来的 2倍，长度为 ，其原来的图形如图所示：原图形的周长是 8.故选 A【点睛】本题考查了平面图形的直观图,考查了数形结合思想,解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法,能正确的画出直观图的原图形.6.已知正方体 , 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量 与 的向量坐标，利用数量积求出异面直线 与 所成角的余弦值.【详解】以 D为坐标原点，建立空间
8、直角坐标系，如图所示：- 5 -设正方体的棱长为 1，则 ， ， ， ， 为 的中点 ， ； ， .异面直线 与 所成角的余弦值为故选 A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角AEM（或其补角） ，是解题的关键如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解7.如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为 2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】- 6 -由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2的正方体 中的三棱锥 ，其中 是 中点，由此
9、能求出该四面体的体积【详解】由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2的正方体 中的三棱锥，其中 是 中点，如图所示： ，三棱锥 的高该四面体的体积为故选 A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.在 中， 若 绕直线 旋转一周，则所形成的
10、几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图象，所形成的几何体一个大圆锥去掉一个小圆锥，几何体的表面积是两个圆锥表面积的和【详解】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示：- 7 - ， .所形成的几何体的表面积是故选 C.【点睛】本题考查旋转体的表面积，确定旋转体的形状是关键9.如图，在空间四边形 中，点 分别是边 的中点， 分别是边 上的点，则（ ）A. 与 互相平行B. 与 异面C. 与 的交点 可能在直线 上，也可能不在直线 上D. 与 的交点 一定在直线 上【答案】D【解析】试题分析：由 得 , ,由点 E、H 分别是边 AB、
11、AD 的中点得一定相交， 在平面 ACB中，GH 在平面 ACD中，两面交线为AC直线，所以 EF与 GH的交点 M一定在直线 AC上考点：公理三两面交线问题点评：公理三还可用来证明三点共线10.在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则 与侧面- 8 -所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在正三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ， ，证明 面 ，则是 与侧面 所成的角，解直角三角形 即可【详解】在正三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ， ，则易证 面 . 是 与侧面 所成的角 ， ，即 .故选 A.【点睛】考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键
12、是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题11.在正三棱锥 中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为 1，则点 到平面 的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求点 P到平面 ABC的距离，可根据等体积求解，即 VA-PBC=VP-ABC，根据正三棱锥 P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 1，即可求得【详解】设点 到平面 的距离为 .三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 1- 9 - ，即点 到平面 的距离为 .故选 C.【点睛】本题以正三棱锥为载体，考查点面距离，解题的关键根据等体积求解，即12.已知矩形 将 沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中
13、（ ）A. 存在某个位置，使得直线 与直线 垂直B. 存在某个位置，使得直线 与直线 垂直C. 存在某个位置，使得直线 与直线 垂直D. 对任意位置，三对直线“ 与 ”， “ 与 ”， “ 与 ”均不垂直【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 B是正确的视频二填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分.）13.已知长方体的长宽高分别为 1,2,3，则其外接球的表面积为_【答案】【解析】长方体外接球的直径是长方体的对角线长， ，外接球的表面积为 ，故答案为 .14.已知半径为 1的球与正三棱柱的六个面都相切，则三棱柱的体积为_.【答案】
14、【解析】【分析】- 10 -通过题意求出棱柱的高，底面边长，底面面积，求出棱柱的体积【详解】球与正三棱柱各个面都相切，所以三棱柱的高 ，底面边长 ，底面面积为 .三棱柱的体积为故答案为 .【点睛】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，解答本题的关键是通过内切球与正三棱柱的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题15.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3，则 _. 【答案】1【解析】【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可【详解】由已知可知此几何体是三棱柱，其高为 3，底面是底边长为 2，底边上的高为 的等腰三角形，所以有 ，所以 故答案为 1.【点睛】
15、由三视图画出直观图的步骤和思考方法：首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；画出整体，然后再根据三视图进行调整.16.如图，在正方体 中，点 是棱 上的一个动点，平面 交棱 于点 下列命题正确的为_. 存在点 ，使得 /平面 ；- 11 -对于任意的点 ，平面 平面 ；存在点 ，使得 平面 ；对于任意的点 ，四棱锥 的体积均不变【答案】【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】当 为棱 上的一中点时，此时 也为棱 上的一个中点，此时 / ，满足 /平面 ，故正确；连结 ，则 平
16、面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，故正确； 平面 ，不可能存在点 ，使得 平面 ，故错误；四棱锥 的体积等于 ，设正方体的棱长为 1.无论 、 在何点，三角形 的面积为 为定值，三棱锥 的高 ，保持不变，三角形 的面积为 为定值，三棱锥 的高为 ，保持不变.四棱锥 的体积为定值，故 正确.故答案为.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大三.解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图,直三棱柱 中， , 分别是 的中点，若,求异面直线 所成角的余弦
17、值- 12 -【答案】所成角余弦值为【解析】【分析】根据直三棱柱 中， ，以及 ，将此三棱柱扩展为正方体，再取 中点 ，连接 ， ，结合 ，可得 所成角为或其补角，然后根据勾股定理及余弦定理即可解答.【详解】因为直三棱柱 ， ，且 ，所以可以把此三棱柱扩展为正方体 ，,取 的中点 ,连接 ,因为 ,所以异面直线 所成角为 或其补角。设 ，所以，由余弦定理得因为异面直线所成角范围 ，所以异面直线 所成角余弦值为【点睛】对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角），再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出是钝角时，其补角才
18、是异面直线所成的角.18.如图，已知正方体 的棱长为 3， 分别为 和 上的点，.- 13 -（1）求证： 面 ；（2）求 的长【答案】(1)见解析；（2） .【解析】【分析】（1）作 ，交 于点 ，连接 .通过相似比可得 ，从而可证 面；（2）通过相似求出 ， ，结合勾股定理即可求得 .【详解】 （1）作 ,交 于点 ,连接 ,因为正方体的棱长为 3，所以 ，所以 ,因为 ,所以, ,又因为 ,所以 ,面 ； （2）由（） ， .可得同理 , , , , -【点睛】本题考查线面平行的判定以及线段长度，解答本题的关键是构造相似三角形，通过相似比推出线线平行，从而推出线面平行.- 14 -19.
19、如图， 是 所在平面外一点， 分别是 的重心. （1）求证：平面 平面 ；（2）求 与 的面积比 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用重心的性质，以及面面平行的判定定理进行证明；（2）根据平面的相交，以及相似三角形的面积之比等于对应边的平方比，转化为对应的边之比即可【详解】 （1）连接 、 ，并延长分别交 BC、AB 于点 M，N，连接 MN. 、 分别是PBC、PAB 的重心， ， ， . 平面 ABC， 平面 ABC， 平面 ABC.同理， 平面 ABC. ，且 、 平面 ，- 15 -平面 平面 ABC. （2）由（1）知 ， . ， ， ， .同理可得：
20、， ， ， ，则 .故 与ABC 的面积之比为 .【点睛】本题主要考查面面平行的判定，要证“面面平行” ，只需要证明“线面平行” ，即证“线线平行” ，故问题最终转化为证线与线的平行20.如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， 分别是 的中点（1）求证： ；（2）求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：()由题意可证得 ， ，则 平面 ，由线面垂直的性质有 ，由三角形中位线的性质可得 ，则()（方法一） 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，计算可得平面 的一个法向量 ，则 直线 与平面 所成角- 16 -的正弦值为 .（方法二）
21、由等体积法可得点 到平面 的距离 ，据此可得 与平面 所成角的正弦值为 .试题解析：（）因为 底面 ， 平面 ，所以又因为正方形 中， ，所以 平面又因为 平面 ，所以因为 分别是 、 的中点，所以所以（） （方法一）由（）可知， ， ， 两两垂直，以 为 轴，以 为 轴，以 为轴，设 ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量 ，解得设直线 与平面 所成角为 ，则（方法二）设点 到平面 的距离为等体积法求出设直线 与平面 所成角为 ，21.如图，在四棱锥 中， ,底面为梯形， 且平面 - 17 -（1）证明：平面 平面 ；（2）当异面直线 与 所成角为 时，求四棱锥 的体积【答案】 （1）见解析
22、；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)很明显 ，由线面垂直的定义可知 ，则 平面 ，结合面面垂直的判定定理可得平面 平面 .(2)取 的中点 ，连接 ，由题意可得四边形 为平行四边形， ，则，结合 (1)的结论有 ，由几何关系可证得 平面 .据此由体积公式计算可得 .试题解析：（1） ，所以 ，因为 平面 平面 ,所以 ,因为 ，所以 .因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（2）如图，取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形， ，则 为异面直线 所成的角，即 ，由（1）知， 平面 ,所以 ，又 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，如图，取 的中点 ，连接 为等腰直角
23、三角形，则 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 .- 18 -所以 .22.如图，四边形 中， ， ， ， ， 分别在 上，现将四边形 沿 折起，使 （1）若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析；（2）点 F到平面 ADC的距离为 .【解析】试题分析：本题考查空间线面关系的判定与证明、体积公式的应用.(1)把 平面 转化为线线平行,再利用线线平行的性质即可得出结论,也可以先分析出结论,再进行证明;(2)先根据题意得到 = = ， 时，体积有最大值，此时可
24、得到= ，再利用三棱锥体积公式,利用等体积的方法借助转换顶点的方法求出三棱锥的高即可.解析：(1) 上存在一点 ,使得 平面 ,此时 .理由如下:当 时, ,过点 作 交 于点 ,连结 ,则有 = = ,- 19 - ,可得 ,故 ,又 ,故有 ,故四边形 为平行四边形, ,又 平面 平面 ,故有 平面 成立.(2)设 , = = ,故 = = ,当 时, 有最大值,且最大值为 3,此时 = ,在 中,由余弦定理得= = = , = ,= = ,设点 到平面 的距离为 ,由于 ,即 = , = ,即点 到平面 的距离为 .点睛：这个题目考查了线面平行的证明和判定性质，棱锥体积的求法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。求棱锥体积时当原椎体的底面积或者高不好求时，可以考虑等体积转化，求点面距时，也经常考虑等体积转化。- 20 -
