1、- 1 -20172018学年第二学期高二期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合 A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合 A= ,所以 ,AB=0,故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知 ( 为虚数单位) ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得 ，再利用复数的除法计算得解.【详解】由题得 ，故答案为：B【点睛】本题主要考查复数的运
2、算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.3.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 2 -利用奇函数的性质求出 的值.【详解】由题得 ，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数 f(-x)=-f(x).4.下列命题中，真命题是A. 若 ，且 ，则 中至少有一个大于 1B. C. 的充要条件是D. 【答案】A【解析】【分析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项 A,假设 x1，y1，所以 x+y2，与已知矛盾，所以原命题正确.当 x=2时，2
3、x=x2，故 B错误当 a=b=0时，满足 a+b=0，但 =1 不成立，故 a+b=0的充要条件是 =1 错误，xR，e x0，故x 0R， 错误，故正确的命题是 A，故答案为：A【点睛】 （1）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.5.因为对数函数 是增函数，而 是对数函数，所以 是增函数，上面的推理错误的是A. 大前提 B. 小前提 C. 推理形式 D. 以上都是【答案】A【解析】- 3 -【分析】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”
4、是错误的，所以选 A.【详解】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”是错误的，只有当a1时，对数函数 才是增函数，故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.6.已知向量 ， ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 得到 ，解方程即得 x的值.【详解】根据 得到 .故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果 = , = ，则 | 的充要条件是 .7.若二项式 的展开式
5、中二项式系数的和是 64，则展开式中的常数项为A. B. C. 160 D. 240【答案】D【解析】【分析】由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为 ，由此得到 ，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【详解】由已知得到 ，所以 ，所以展开式的通项为 ，- 4 -令 ，得到 ，所以展开式的常数项为 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.把边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(
6、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】取 BD的中点 E，连结 CE， AE，平面 ABD平面 CBD， CE AE，三角形直角 CEA是三棱锥的侧视图， BD= , CE=AE= ， CEA的面积 S= = ，故选：C.9.某班级有 6名同学去报名参加校学生会的 4项社团活动。若甲，乙两位同学不参加同一社- 5 -团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为A. 2160 B. 1320 C. 2400 D. 4320【答案】B【解析】【分析】依题意，分 和 两组，先分组，后排列，最后求和即可.【详解】依题意，6 名同学可分为两组，第一组为 ，利用间接法，有种，
7、第二组为 ，利用间接法，有 ,所以分类计数原理，可得 种，故选 B.【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及推理与运算能力，其中解答中合理分类，做到先分组后排列的方式是解答的关键.10.已知双曲线 C： 的离心率 e=2,圆 A的圆心是抛物线 的焦点，且截双曲线 C的渐近线所得的弦长为 2，则圆 A的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用离心率公式和基本量 的关系可得 的关系，即可得到双曲线的渐近线的方程，求得抛物线的焦点坐标，可得 点的坐标，求得 到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径为 ，进而得到所求圆的方程.【详
8、解】由题意 ，即 ，可得双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，- 6 -圆 的圆心是抛物线 的焦点，可得 ，圆 截双曲线 C的渐近线所得的弦长为 2，由圆心到直线 的距离为 ，可得 ，解得 ，可圆的方程为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求法，圆的标准方程的求法，以及运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.11.设随机变量 若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则 , 。12.已知函数 的图像为曲线 C，若曲线 C存在与直线 垂直的切线，则实数 m的取值范围是A. B
9、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为 有解，即可得到结论.【详解】由题意，函数 的导数 ，若曲线 C存在与直线 垂直的切线，则切线的斜率为 ，满足 ，即 有解，因为 有解，又因为 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A.- 7 -【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线存在与直线 垂直的切线，转化为 有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分。13. 等于_.【答案】 .【解析】试题分析：考点：定积分14.下表提供了某
10、学生做题数量 x（道）与做题时间 y（分钟）的几组对应数据：x（道） 3 4 5 6y（分钟） 2.5 t 4 4.5根据上表提供的数据，得 y关于 x的线性回归方程为 则表中 t的值为_【答案】3【解析】【分析】现求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得 的值.【详解】由题意可得 ，因为 对 的回归直线方程是 ，所以 ，解得 .【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.- 8 -15.某班有 50名同学，一次数学考试的成绩 服从正态分布 ，已知，估计该班学生数学成绩在 120分以上有 人.
11、【答案】【解析】试题分析：由题设 ,所以,故 ,故应填 .考点：正态分布的性质及运用【易错点晴】正态分布是随机变量的概率分布中最有意义最有研究价值的概率分布之一.本题这个分布的是最优秀的分布的原因是从正态分布的图象来看服从这一分布的数据较为集中的分分布在对称轴 的两边,而且整个图象关于 对称.所以解答这类问题时一定要借助图象的对称性及所有概率（面积）之和为 这一性质,否则解题就没了思路,这一点务必要学会并加以应用.16.已知函数 的图像关于直线 对称，则 _.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，结合题意可得 ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数 ，因为函数的图象关于直线 对称，所
12、以 ，两边平方得 ，解得 .- 9 -【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中根据辅助角公式把函数化简为三角函数的形式 是研究三角函数性质的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）1【解析】【分析】(1)利用二倍角公式化简 即得 A的值.(2)先利用正弦定理化简 得，再利用余弦定理求 a的值.【详解】 , 又因为 为锐角三角形， ， ， . ， ， .【点睛】本题主要考查三角恒等
13、变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的 1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以 5%的比例对这 1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆 40个无意义音节（如 xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在 8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8 小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8 小时后叫醒测验。两组同学识记停止
14、- 10 -8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点） 。（1）估计 1000名被调查的学生中识记停止 8小时后 40个音节的保持率大于或等于 60%的人数；（2）从乙组准确回忆个数在 范围内的学生中随机选 3人，记：能准确回忆20个以上（含 20）的人数为随机变量 X，求 X的分布列及数学期望；（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由。【答案】 （1）180；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图能求出 1000名被调查的学生中识记停止 8小时后 40个音节保持率大于等于 60%的人数；（2
15、）由题意知 的可能取值为 ，分别求出相应的概率，由此得到随机变量的分布列，求解数学期望；（3）分别求出甲组学生的平均保持率和乙组学生的平均保持率，由此得到临睡前背英语单词的效果更好.【详解】 （1）因为 10005%=50，由图可知，甲组有 4+10+8+4+2+1+1=30（人）所以乙组有 20,人，又因为 4060%=24，所以识记停止 8小时后，40 个音节的保持率大于或等于 60%的甲组有 1人，乙组有（0.0625+0.0375）420=8（人）所以（1+8）5%=180（人） ，估计 1000名被调查的学生中约有 180人.（2）由图可知，乙组在 范围内的学生有(0.025+0.0
16、25+0.075 ）420=10（人）在 范围内的有 0.075420=6（人） ，X 的可能取值为 0,1,2,3，- 11 -X 0 1 2 3P，所以 X的分布列为（3）24+610+108+144+182+221+261=288甲组学生的平均保持率为（60.0125+100.0125+140.025+180.025+220.075+260.0625+300.0375）420=432，乙组学生的平均保持率为 ，所以临睡前背英语单词记忆效果更好.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答认真审题，合理分析，正确求解随机变量 的取值及对应的
17、概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.19.如图,平面 平面 为等边三角形 , ,过 作平面交 分别于点 ,设 .（1）求证： 平面 ；（2）求 的值,使得平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 .【答案】 （1）详见解析（2）- 12 -【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形相似，本题可根据 得,而 ，因此 （2）利用空间向量研究二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量
18、夹角与二面角之间关系得等量关系，求 的值试题解析：（1）证明：如图, 以点 为原点建立空间直角坐标系 ,不妨设,则 ,由 ,得 ,则 .易知 是平面的一个法向量, 且 ,故 ,又因为 平面 , 平面 .（2） ,设平面 法向量为 ,则,故可取 ,又 是平面 的一个法向量, 由为平面 与平面 所成锐二面角的度数), 以及 得, . 解得 或 (舍去 ), 故 .考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量
19、；第四，破“应用公式关”.20.设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆的上顶点，且 .- 13 -（1）若椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的方程；（2）设 为椭圆 上一点，且在第一象限内，直线 与 轴相交于点 ，若以 为直径的圆经过点 ，证明：点 在直线 上.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据题意得到关于 a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆 E的方程.(2) 设 ，根据以为直径的圆经过点 得到 ，再根据 为椭圆 上一点得，解方程组得 ，即证点 在直线 上.【详解】 （1） 点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆 的上顶点，又 ， ，椭圆 的方程为： .
20、（2）证明：由题意知 ，从而椭圆 的方程为： ，则：， ，设 ，由题意知 ，则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，当 时， ，即点 ， 直线 的斜率 ， 以 为直径的圆经过点 ，化简得 ，- 14 -又 为椭圆 上一点，且在第一象限内， ，由解得 ， ，即点 在直线 上.【点睛】 （1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是根据以 为直径的圆经过点 得到 .21.已知函数 ， ， ，令 .（1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）若关于 的不
21、等式 恒成立，求整数 的最小值；【答案】 （1）递增区间为 ；（2）最小值为 2.【解析】试题分析：（1）当 时,对 求导求其单调增区间；（2）先化简 为,恒成立问题,转化为求 的最大值来求解 .试题解析：（1） ， ， ， （ ）.由 得 又 ，所以 ，所以 的单增区间为 .（2）令 .所以当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，又因为 .所以关于 的不等于 不能恒成立.当 时， .令 得 ，所以当 时， ；当 时， ，- 15 -因此函数 在 是增函数，在 是减函数.故函数 的最大值为 .令 ，因为 ， .又因为 在 上是减函数，所以当 时， ，所以整数 的最小值为 2.考点：1.导
22、数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题,只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题,我们一般都需要对已知条件进行化简,如本题我们就化简为 ,化简后右边为零,我们就可以转化为求 的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解.22.已知直线 的参数方程是 ，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)
23、直接利用极坐标公式化曲线 C为直角坐标方程.（2）由题意知 ,利用两点间的距离公式求出|MN|,再利用三角函数知识求其最大值.【详解】由题得 .由题意知 ,，当 时， .【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查距离最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用- 16 -参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.23.设函数 .（1）解不等式 ；（2）求函数 的最大值.【答案】 （1） ；（2）3【解析】【分析】（1）利用零点分类讨论法解不等式 .(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.【详解】当 x-1 时， ；当-1x2 时， ， ；当 时， ， ；综上，不等式 的解集为 ； ，由其图知， .【点睛】(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.
