1、1江苏省海安高级中学 2019 届高三数学 12 月月考试题一.填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ）1设全集 ，若集合 ，则 . UR1234|23ABx， ， ， ， BCAU2已知复数 满足 ，则 . z30z|z3执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 . 4我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的3072数，其和等于 30 的概率是 . 5双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方21(0)xyabb， 3
2、程为 . 6在 中， ， ， ，则 ABC 456csin2AC7方程 的解为 1122log9log3xx8若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为 ，则其母线与轴2的夹角的大小为 . 9若 ，则 = . 1cosinssin2i3xyxyxy， sinxy10已知数列 和 ，其中 ， 的项是互不相等的正整数，若对于任意nab()naNnb，数列 中的第 项等于 中的第 项，则 .nNnnnn149623lg()b11设函数 ，若 无最大值，则实数 的取值范围是 32xaf， ， fxa12在锐角 中， ， 为 边上的一点， 与 面积分别为 2 和 4，过ABC1tnDBCABD C作 于 ，
3、 于 ，则 DEFAEF13 已知圆 O： ，定点 ，过点 A 的直线 l 与圆 O 相较于 B， C 两点，两点 B， C21xy30，均在 x 轴上方，若 OC 平分 ，则直线 l 的斜率为 . B14已知正实数 a， b 满足 ，则 的最小值是 2221ab二.解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、2证明过程或演算步骤 ）15如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，平面 PAD平面 ABCD， PA=PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点.（1）求证： PE BC；（2）求证： EF平面 PCD.16已知
4、函数 f(x)= . 4tansicos32x（1）求 f(x)的定义域与最小正周期；（2）讨论 f(x)在区间 上的单调性 . 4，17在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A（看做一点）的东偏南角方向 ，300 km 的海面 P 处，并以 20km / h 的速度向西偏北 45方向移动台风2cos10侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10km / h 的速度不断增大（1） 问 10 小时后，该台风是否开始侵袭城市 A，并说明理由；（2） 城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？318已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆
5、M2:1(0)xyMab632有两个不同的交点 A， B.（1）求椭圆 M 的方程；（2）若 ，求 的最大值；k（3）设 ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.(0)P，若 C， D 和点 共线，求 k.714Q，19已知数列 与 满足： ， ，且nab123(1)02nnnnaba， *N124，（1）求 的值；345a， ，（2）设 ，证明： 是等比数列；*21nncN， nc（3）设 证明： *242kkSaa， ，4*17()6kSnaN20已知函数 ， ln()xf2()gx（1）求 在点 P(1， )处的切线方程；f1f4（2）若
6、关于 x 的不等式 有且仅有三个整数解，求实数 t 的取值范围；2()0fxtf（3）若 存在两个正实数 ， 满足 ，求证：()4hgf1x2 211()0hxx12x5高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ）1. 4，2 33 564 15 2yx6 17 28 3910 211 1a126513 714135二.解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15【解析】 （1） ，且 为 的中点， .PADEAPEAD平面 平面 ，平面 平面
7、，BCIBC 平面 .E 面 ， PE BC.BCA（2）如图，取 中点 ，连接 .PG,FD6 分别为 和 的中点， ，且 .,FGPBCFGBC 12B四边形 为平行四边形，且 为 的中点，ADEAD ，1,2E ，且 ，四边形 为平行四边形，F F .G又 平面 ， 平面 ，PCDPC 平面 .E16 【解析】 （1） 的定义域为 .fx,2xkZ4tancos34sinco3f x213=sii2isi2xxx.in-cossin3co=in3所以, 的最小正周期fx2.T（2）由 ,得23kxk5,.1212kxkZ设 ，易知 .5, ,412ABxZ,124AB所以, 当 时, 在
8、区间 上单调递增, 在区间 上单调xf124，递减.717 【解析】 （1）如图建立直角坐标系， 则城市 ，当前台风中心 ，0A， 3021P，设 t 小时后台风中心 P 的坐标为 ，则 ，,xy3021xt此时台风的半径为 ，601t10 小时后， km，台风的半径为 160km，84.Ar因为 ，故 10 小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A. rP（2）因此， t 小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心， 为半径的圆，3012012t， 601t若城市 A 受到台风侵袭，则 2 2t tt ，即 ， 21086403t 23680t解得 答：该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时. 18【
9、解析】 （1）由题意得 ，所以 ，2c2c又 ，所以 ，所以 ，63cea3a221ba所以椭圆 的标准方程为 M21xy（2）设直线 的方程为 ，ABm由 消去 可得 ，213yxmy224630x则 ，即 ，26(3)81m24设 ， ，则 ， ，1(,)Axy2(,)B12x123x8则 ，2222121164|()4mABkxkxx易得当 时， ，故 的最大值为 20mmax|6|AB（3）设 ， ， ， ，1(,)xy2(,)3(,)Cy4(,)Dxy则 ， ，21又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ，(,0)P112PAykxPA1(2)ykx由 消去 可得 ，123ykxy2221
10、11(3)30kxk则 ，即 ，2113kx312又 ，代入式可得 ，所以 ，12yk1374x1347yx所以 ，同理可得 117(,)4xC22(,)Dx故 ， ，3(,)Qy471(,)Qy因为 三点共线，所以 ，,CD34431()()0xxy将点 的坐标代入化简可得 ，即 ., 12y1k19 【解析】 （1）解：由 ， ，可得3(1)2nnb*N12nb， 为 奇 数， 为 偶 数又 120nnbaa，31232443550.ana当 时 ， ， 由 ， ， 可 得 ；当 时 ， ， 可 得 ；当 时 ， ， 可 得9（2）证明：对任意 *,nN1210naa2,n213n，得 2
11、3.na将代入，可得 即121()na*1()ncN又 因此 是等比数列.13,0,nca故 c,nnc所 以（3）证明：由（2）可得 ，21()kka于是，对任意 ，有*kN且 1357231()(1).kkaa， ，将以上各式相加，得 21()(),ka即 ，121()kk此式当 k=1 时也成立.由式得 12()3).kk从而 246842()(),k kkSaaa13.k所以，对任意 ，*2nN， 443441112( )nkmmSSSaaa12( )3nm10123( )(2)nmm253(1)()nn213()(2)nm5113( )357(2)nn 1362(2)7.n对于 n=
12、1，不等式显然成立.所以，对任意 *,N2112nSSaa321124()()()nSa2211()()()4(4(n221()()()4nnn1.43n20 【解析】 （1） l()xf， (1)0f，所以 P点坐标为 (1,0)； 又 2ln()fx， f，则切线方程为 yx，所以函数 f在点 (1,)Pf处的切线方程为 10 （2） 2ln()0x(0,)ee(,)e11()fx+ 0 单调增 极大值 单调减由 2()0fxtf， 得 ()0fxt； t时， ()f或 ft，满足条件的整数解有无数个，舍； 0t时， 0fx，得 x且 1，满足条件的整数解有无数个，舍； t时， ()f或
13、()ft，当 ()0fx时，无整数解；当 ()fxt时，不等式有且仅有三个整数解，又 ln3()f， ln2(2)4f， ln5()f因为 f在 0,)e递增，在 (,)e递减；所以 54ftf， 即 ll2t，即ln2l5t；所以实数 t的取值范围为 ln2lt （3） 2()4lnhxx，因为 211()0，所以 2 221l4ln0x，即 11211()()xx，令 2t， l(0)ttt， 则 ()4()tt，当 0,1t时， 0，所以函数 2()4ln(0)ttt在 (,1上单调递减；当 ()时， ()t，所以函数 在 )上单调递增所以函数 24ln()tt在 1t时，取得最小值，最
14、小值为 3 因为存在两个正实数 12,x，满足 21()0hxx，所以 2112()()3xx ，即 21()()30x ，所以 13 或 2 因为 ,为正实数，所以 12 （附加题）21 （B）【解析】由题知， = =-1 = 1 3 1-1 1-3- 1-1 -11 1-=-1，3-=1，12所以 a=2， b=2， M= .1 23 2det(M)= =12-23=-4，|1 23 2|所以 M-1= .-12 1234 -1421 （C）【解析】 （1）曲线 C 的直角坐标方程为 2146xy当 时， l 的直角坐标方程为 ，cos0tan2tanx当 时， l 的直角坐标方程为 1（
15、2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 的方程t2(13cos)4(cosin)80tt因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 在 C 内，所以有两个解，设为 ， ，则 (12， 1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 l 的斜率 122(csi)3otcosin0tank22【解析】(1) 因为直线 y=n 与 x=1 垂直，所以 MP 为点 P 到直线 x=1 的距离 .连接 PF，因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 y=n 的交点，所以 MP=PF.所以点 P 的轨迹是抛物线，焦点为 F(1，0)，准线为 x=1.所以轨迹 E 的方程为 y2=4x.(2) 由题
16、意，过点 M(1， n)的切线斜率存在，设切线方程为 yn=k(x+1)，联立 得 ky2-4y+4k+4n=0，=+，2=4， 所以 1=16-4k(4k+4n)=0，即 k2+nk1=0，( *)因为 2=n2+40，所以方程( *)存在两个不相等的实数根，设为 k1， k2，因为 k1k2=1，所以 AMB=90，为定值 .2313【解析】(1) 由题意知 P2= =，即 P2的值为 .22233(2) 先排第 n 行，则最大数在第 n 行的概率为 = ;(+1)2 2+1去掉第 n 行已经排好的 n 个数，则余下的 n= 个数中最大数在第 n1 行的概率为 =;(+1)2 (-1)2 -1(-1)2故 Pn= = = .2+1 23 2-1(+1)3 2(+1)!由于 2n=(1+1)n= + + + + + + = ，012 012122+1所以 ，即 Pn .2(+1)! 2+1(+1)! 2+1(+1)!
