1、1第二节 圆的方程（2）【学习导航】 知识网络 圆的一般方程表20xyDEF示圆的条件圆的一般方程的简单运用学习要求 1掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3解题过程中能分析和运用圆的几何性质 【课堂互动】自学评价1以 (,)ab为圆心， r为半径的圆的标准方程： 22()(0)xaybr 2.将 22xy展开得：2 20ab3.形如 DxEF的都表示圆吗？不是 （）当 24时，方程表示以 (,)为圆心，2EF为半径的圆；（2）当 240D时，方程表示一个点 (,)2DE；（3）当 时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；圆的一般
2、方程： 2xyEF(40)注意：对于圆的一般方程（） 2和 的系数相等，且都不为 0（通常都化为 1） ；（）没有 xy这样的二次项；（）表示圆的前提条件： 240DEF，通常情况下先配方配成 22()xaybm，通过观察 与 0的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件 40DEF【精典范例】例：求过三点 12(,)(,4,)OM的圆的方程分析：由于 0不在同一条直线上，因此经过 12,OM三点有唯一的圆听课随笔2【解】：法一：设圆的方程为 20xyDEF， 12,OM三点都在圆上， 三点坐标都满足所设方程，把 12(0,)(,4,)OM代入所设方程，得：0420EF，解得：86D，
3、所以，所求圆的方程为： 280xy法二：也可以求 1OM和 2中垂线的交点即为圆心，圆心到 O的距离就是半径也可以求的圆的方程： 26xy点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解例 2：已知线段 AB的端点 的坐标是(4,3)，端点 在圆 2()4上运动，求线段 AB中点 M的坐标 (,)xy中 ,满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段 的端点 静止， A在圆2(1)4xy上运动，因此我们可以设出 的坐标，从而得到中点 的坐标【解】设点 A的坐标是 0(,)xy，由于点 的坐标是 (4,3)，且 是 的中点，所以003,（）于是，有 24,x因为点
4、 在圆 2(1)y上运动，所以点 A的坐标满足方程 2(1)4xy，即： 00(（） ，将（）式代入（） ，得：224)(3)4x，整理得 1y所以 ,满足的关系为： 223()()1xy，其表示的曲线是以 3,为圆心，为半径的圆点评: 该圆就是 M点的运动的轨迹；所求得的方程就是 M点的轨迹方程：点 的轨迹方程就是指点 的坐标 (,)xy满足的关系式本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结例 3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度 AB是 36米，拱高 OP是 6米，在建造时，每隔 米需用一个支柱支撑，求支柱 2P的长度（精确到 0.1米） 分析：若能够知道该圆拱所在的圆的
5、方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程2PBAOyxA3【解】以线段 AB所在直线为 x轴，线段 AB的中点 O为坐标原点建立直角坐标系，那么点 ,P的坐标分别为(180),(6)；设圆拱所在的圆的方程为 20xyDEF，点 ,AB在所求的圆上，则坐标代入得：21860，解之得 4832D，圆拱所在的圆的方程为： 2483xy；将点 P的横坐标 6x代入圆方程，解得 24165.39y（舍去负值） 答：支柱 2A的长约为 5.9米点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系， 求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题追踪训练一1.下列方程各表示什
6、么图形？ （） 240xy； （） 5； （） 21【解】 （）圆心为 (,)，半径为的圆；（）一个点 ；（）一个圆心为 ,0，半径为 1的一个半 圆（ 12x） （图略） 圆 268xy的圆心为： (0,3)，半径为 7. 求过三点 (4,),3)(,0ABC的圆 的方程【解】设圆的方程为 2DEF， ， ， C三点都在圆上， ， ， 三点坐标都满足所设方程，把 (4,1)6,3)(,0ABC代入所设方程，得：417063459EFD，解得： 12，所以，所求圆的方程为：29120xy.求圆 0xy关于直线 3对称的图形的方程【解】 可化为2()，圆心 (1,)A关于直线 0xy的对称点为,B，所以对称的图形的方程为： 22()1听课随笔4思维点拔：在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想学生质疑教师释疑听课随笔
