1、- 1 -上石桥高中高二 12月份数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）已知过点 的直线 l倾斜角为 ，则直线 l的方程为（ ）A B C D2 （5 分）以 C（2，3）为圆心，且过点 B（5，1）的圆的方程为（ ）A （ x2） 2+（ y+3） 225 B （ x+2） 2+（ y3） 265C （ x+2） 2+（ y3） 253 D （ x2） 2+（ y+3） 2133 （5 分）点（3，4）关于直线 x y+60 的对称点的坐标为（ ）A （4，3） B （2，9） C （4，3）
2、D （2，9）4 （5 分） “直线（ a3） x+（ a+5） y+2a20 与直线 x+ay+40 平行”是“ a1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B16 C8 D246 （5 分）设 a， b为两条不同的直线， 为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）A若 a， b，则 a b B若 a， a b， b，则 C若 a， a，则 D若 a， a b， b，则 7 （5 分）给定命题 p：若 x20（ xR） ，则 x0；命题 q： xR，2 x1 0下列命题中，假命题是（ ）
3、- 2 -A p q B （ p） q C （ p） q D （ p）（ q）8 （5 分）直线 与圆 x2+y24 x+4y0 的位置关系为（ ）A相离 B相切C相交且经过圆心 D相交但不经过圆心9 （5 分）已知点 P是双曲线 1（ a0， b0）右支上一点， F1、 F2分别是双曲线的左、右焦点， M为 PF1F2的内心，若 S S + S 成立，则双曲线的离心率为（ ）A4 B C2 D10 （5 分）已知点（ a， b）在直线 xcos ysin2（R）上，则 a2+b2的最小值为（ ）A4 B2 C8 D11 （5 分）如图，在边长为 2的正方体 ABCD ABCD中， P为平面
4、ABCD内的一动点，PH BC于 H，若| PA|2| PH|24，则点 P的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆12 （5 分）如图，平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， ，将其沿对角线BD折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，若四面体 A BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B3 C D2二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13 （5 分）在空间直角坐标系中，设 A（3，2，1） ， B（1，0，5） ， C（0，2，1） ， AB的中点- 3 -为 M，则| CM| 14 （5 分）离心率为 的双曲线 （ a， b0）
5、的渐近线方程为 15 （5 分）点 P为直线 L：4 x+3y+120 上的一点，点 Q为圆（ x2） 2+（ y3） 21 上的一点，则| PQ|的最小值为 16 （5 分）关于 x的方程 有两个不等的实数根，则实数 k的取值范围为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分） （1）求经过点（1，1）且在 x轴上截距等于 y轴上截距的直线方程；（2）求过直线 x2 y+20 与 2x y20 的交点，且与直线 3x+4y+10 垂直的直线方程18 （12 分）设命题 p：实数 m使曲线 x2+y24 x2 y m2+6m+120 表示一个圆；命题 q：实数 m使
6、曲线 表示双曲线若 p是 q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围19 （12 分）如图，四棱锥 P ABCD底面是矩形， PA平面 ABCD， PA AB2， BC4， E是PD的中点（1）求证：平面 PDC平面 PAD；（2）求点 B到平面 EAC的距离20 （12 分）已知圆 C经过点 A（2，1） ，和直线 x+y10 相切，且圆心在直线 y2 x上（1）求圆 C的方程；（2）已知直线 l经过原点，并且被圆 C截得的弦长为 2，求直线 l的方程21 （12 分）已知 M为抛物线 C： y24 x上的一动点，直线 l： x+y+80求 M到 l的距离最- 4 -小值，并求出此时点 M的
7、坐标22 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ a b0）的右焦点为 F2（2，0） ，点P（1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C的标准方程；（）是否存在斜率为1 直线 l与椭圆 C相交于 M， N两点，使得| F1M| F1N|（ F1为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由- 5 -上石桥高中高二 12月份参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）已知过点 的直线 l倾斜角为 ，则直线 l的方程为（ ）A B C D【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即求出直线方程【解
8、答】解：过点 的直线 l倾斜角为 ，则斜率为 tan ，则这直线方程为 y2 （ x ） ，即 x y10，故选： B【点评】本题考查了直线和斜率和点斜式方程，属于基础题2 （5 分）以 C（2，3）为圆心，且过点 B（5，1）的圆的方程为（ ）A （ x2） 2+（ y+3） 225 B （ x+2） 2+（ y3） 265C （ x+2） 2+（ y3） 253 D （ x2） 2+（ y+3） 213【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程的定义进行求解即可【解答】解：半径 r ，则以 C（2，3）为圆心的圆心方程为（ x2） 2+（ y+3） 213，故选： D【点评
9、】本题主要考查圆的标准方程的求解，求出圆的半径是解决本题的关键比较基础3 （5 分）点（3，4）关于直线 x y+60 的对称点的坐标为（ ）A （4，3） B （2，9） C （4，3） D （2，9）【分析】设出对称点的坐标，利用斜率乘积为1，对称的两个点的中点在对称轴上，列出方程组，求出对称点的坐标即可【解答】解：设对称点的坐标为（ a， b） ，由题意可知 ，解得a2， b9，点（3，4）关于直线 x y+60 的对称点的坐标是（2，9） - 6 -故选： D【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求法、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题4 （5 分） “直线（ a3
10、） x+（ a+5） y+2a20 与直线 x+ay+40 平行”是“ a1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可【解答】解：直线（ a3） x+（ a+5） y+2a20 与直线 x+ay+40 平行，则 a（ a3）（ a+5）0，解得 a1 或 a5，当 a5 时，两直线重合，故舍去，故 a1，则“直线 ax+y10 与直线 x+ay+20 平行”是“ a1”的充要条件，故选： C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件建立方程关系是解决本题的关键5
11、（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B16 C8 D24【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 4，2 ，2 的长方体的一部分，画出直观图，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥 D ABC，如图所示，- 7 -C分别是长方体的底面棱长的中点，三棱锥为棱长为 4，2 ，2 的长方体的一部分，所以几何体的体积 V 8故选： C【点评】本题考查由三视图求几何体的条件，在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力6 （5 分）设 a， b为两条不同的直线， 为
12、两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）A若 a， b，则 a b B若 a， a b， b，则 C若 a， a，则 D若 a， a b， b，则 【分析】在 A中， a与 b相交、平行或异面；在 B中， 与 相交或平行；在 C中，由面面垂直的判定定理得 ；在 D中， 与 平行或相交【解答】解：由 a， b为两条不同的直线， 为两个不同的平面，得：在 A中，若 a， b，则 a与 b相交、平行或异面，故 A错误；在 B中，若 a， a b， b，则 与 相交或平行，故 B错误；在 C中，若 a， a，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C正确；在 D中，若 a， a b， b，则 与 平行或相交，
13、故 D错误故选： C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题7 （5 分）给定命题 p：若 x20（ xR） ，则 x0；命题 q： xR，2 x1 0下列命题中，假命题是（ ）A p q B （ p） q C （ p） q D （ p）（ q）- 8 -【分析】先判定命题 p， q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题 p：若 x20（ xR） ，则 xR，因此是假命题；命题 q： xR，2 x1 0，是真命题下列命题中，假命题是（ p）（ q） 故选： D【点评】本题考查了复合命题真假的判定
14、方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）直线 与圆 x2+y24 x+4y0 的位置关系为（ ）A相离 B相切C相交且经过圆心 D相交但不经过圆心【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离得答案【解答】解：化圆 x2+y24 x+4y0 为（ x2） 2+（ y+2） 28，可得圆心坐标为（2，2） ，半径为 r 圆心到直线 的距离 d r直线 与圆 x2+y24 x+4y0 的位置关系为相切故选： B【点评】本题考查直线与圆位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题9 （5 分）已知点 P是双曲线 1（ a0， b0）右支上一点， F
15、1、 F2分别是双曲线的左、右焦点， M为 PF1F2的内心，若 S S + S 成立，则双曲线的离心率为（ ）A4 B C2 D【分析】设圆 M与 PF1F2的三边 F1F2、 PF1、 PF2分别相切于点 E、 F、 G，连接 ME、 MF、 MG，可得 MF1F2， MPF1， MPF2可看作三个高相等且均为圆 I半径 r的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得| PF1| PF2| |F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率【解答】解：如图，设圆 M与 PF1F2的三边 F1F2、 PF1、 PF2分别相切于点 E、 F、 G，连接ME、 MF、 M
16、G，- 9 -则 ME F1F2， MF PF1， MG PF2，它们分别是 MF1F2， MPF1， MPF2的高， |PF1|MF| |PF1|，S |PF2|MG| |PF2|S |F1F2|ME| |F1F2|，其中 r是 PF1F2的内切圆的半径 S S + S |PF1| |PF2|+ |F1F2|两边约去 得：| PF1| PF2|+ |F1F2| PF1| PF2| |F1F2|根据双曲线定义，得| PF1| PF2|2 a，| F1F2|2 c2 a c离心率为 e 2故选： C【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三
17、角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题10 （5 分）已知点（ a， b）在直线 xcos ysin2（R）上，则 a2+b2的最小值为（ ）A4 B2 C8 D【分析】 a2+b2表示直线上的点（ a， b）与原点之间距离的平方，故 a2+b2的最小值为原点到直线 xcossin2 的距离的平方，由点到直线的距离公式求解即可【解答】解：点（ a， b）在直线 xcos ysin2（R）上，- 10 -则 a2+b2的几何意义表示原点（0，0）与直线 xcos ysin2 上的点（ a， b）的距离的平方，a2+b2的最小值为原点（0，0）到 xcos ysin2 的距离的平方，故
18、 a2+b2的最小值为到 4故选： A【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，关键是要明确 m2+n2所代表的意义，直线上的点（ m， n）与原点之间距离最小值就是原点到直线的距离11 （5 分）如图，在边长为 2的正方体 ABCD ABCD中， P为平面 ABCD内的一动点，PH BC于 H，若| PA|2| PH|24，则点 P的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆【分析】由图可得| PA|24+| PA|2，把| PA|2| PH|24 转化为| PA| PH|，再由抛物线定义得答案【解答】解：如图，在正方体 ABCD ABCD中，有| PA|24+| PA|2，由| PA|2
19、| PH|24，得 4+|PA|2| PH|24，| PA|2| PH|2，即| PA| PH|，在平面 ABCD中， P点满足到定点 A的距离等于到定直线 BC得距离，则点 P的轨迹为抛物线故选： C【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题- 11 -12 （5 分）如图，平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， ，将其沿对角线BD折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，若四面体 A BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B3 C D2【分析】说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积【解答】解：由题意平面四边形
20、ABCD中， AB AD CD1， ，将其沿对角线 BD折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，若四面体 A BCD顶点在同一个球面上，可知 A B A C，所以 BC 是外接球的直径，所以 BC ，球的半径为：；所以球的体积为： 故选： A【点评】本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13 （5 分）在空间直角坐标系中，设 A（3，2，1） ， B（1，0，5） ， C（0，2，1） ， AB的中点为 M，则| CM| 3 【分析】先利用中点坐标公式求出 M
21、点坐标，再由两点间距离公式能求出| CM|【解答】解： A（3，2，1） ， B（1，0，5） ， C（0，2，1） ， AB的中点为 M， M（2，1，3） ，| CM| 3故答案为：3【点评】本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题14 （5 分）离心率为 的双曲线 （ a， b0）的渐近线方程为 3 x4y0 【分析】利用双曲线的离心率推出 a， b关系，即可点的双曲线的渐近线方程- 12 -【解答】解：离心率为 的双曲线 （ a， b0） ，可得 ，解得 16b29 a2，即4b3 a；双曲线 （ a， b0）
22、的渐近线方程为：3 x4y0，故答案为：3 x4y0【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查15 （5 分）点 P为直线 L：4 x+3y+120 上的一点，点 Q为圆（ x2） 2+（ y3） 21 上的一点，则| PQ|的最小值为 【分析】求出圆心到直线的距离，减去半径得答案【解答】解：如图，圆（ x2） 2+（ y3） 21 的圆心坐标为（2，3） ，半径为 1圆心（2，3）到直线 L：4 x+3y+120 的距离 d ，| PQ|的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题16 （5 分）关于 x的方程 有两个不等
23、的实数根，则实数 k的取值范围为 （ ，1 【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况，即可得到所求范围- 13 -【解答】解：将 x的方程 转化为：半圆 y 与直线 y kx+44 k有两个不同交点，直线恒过定点 P（4，4） ，如图所示：当直线与半圆相切时，有 2，解得 k ，由图象知直线过（0，0）时直线的斜率 k取最大值为 1，故 k（ ，1，故答案为：（ ，1【点评】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况，关键是能够转化为一些特定的曲线用数形结合求解三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17
24、 （10 分） （1）求经过点（1，1）且在 x轴上截距等于 y轴上截距的直线方程；（2）求过直线 x2 y+20 与 2x y20 的交点，且与直线 3x+4y+10 垂直的直线方程【分析】 （1）当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y a，把点 A（1，1）代入求得 a的值，即可求得直线方程当直线过原点时，直线的方程为 y x综合可得答案（2）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出【解答】解：（1）：当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y a，把点 A（1，1）代入可得 1+1 a， a2，此时，直线方程为 x+y2当直线过原点时，直线的方程为 y
25、x，即 x y0，综上可得，满足条件的直线方程为 x+y2，或 x y0，- 14 -（2）由 得 x2， y2，交点为（2，2） 又因为所求直线与 3x+4y+10 垂直，所以所求直线斜率 k故所求直线方程为 y2 （ x2） ，即 4x3 y20【点评】本题考查了直线的截距式、直线的交点、直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18 （12 分）设命题 p：实数 m使曲线 x2+y24 x2 y m2+6m+120 表示一个圆；命题 q：实数 m使曲线 表示双曲线若 p是 q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围【分析】对于命题
26、 p：实数 m使曲线 x2+y24 x2 y m2+6m+120，化为：（ x2）2+（ y1） 2 m26 m7 表示一个圆，可得 m26 m70，即可得出 m的取值范围对于命题 q：实数 m使曲线 表示双曲线，可得 m（ m a）0，根据 p是 q的充分不必要条件，即可得出【解答】解：对于命题 p：实数 m使曲线 x2+y24 x2 y m2+6m+120，化为：（ x2） 2+（ y1） 2 m26 m7 表示一个圆， m26 m70，解得： m7 或 m1对于命题 q：实数 m使曲线 表示双曲线， m（ m a）0，即 m a，或 m0 p是 q的充分不必要条件， a0 a7，0 a7
27、故实数 a的取值范围（0，7【点评】本题考查了直线圆的标准方程、双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19 （12 分）如图，四棱锥 P ABCD底面是矩形， PA平面 ABCD， PA AB2， BC4， E是- 15 -PD的中点（1）求证：平面 PDC平面 PAD；（2）求点 B到平面 EAC的距离【分析】 （1）推导出 PA CD， AD CD，从而 CD平面 PAD，由此能证明平面 PDC平面PAD（2）取 AD中点 F，连结 EF、 FC，推导出 EF平面 ABCD，设点 B到平面 EAC的距离为 d，由VE ABC VB ACE，能求出点 B到
28、平面 EAC的距离【解答】证明：（1）因为 PA平面 ABCD， PA CD，（2 分）在矩形 ABCD中， AD CD，（3 分）又 PA AD A，所以 CD平面 PAD，（4 分）而 CD面 PCD，所以平面 PDC平面 PAD （6 分）解：（2）取 AD中点 F，连结 EF、 FC，在 PAD中， EF PA，而 PA平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD，所以 VE ABC ，（8 分）在 AEC中， AE ， AC2 ， CE3，则 cosA ，所以 sinA ，所以 3，设点 B到平面 EAC的距离为 d，所以 VB AEC d，（10 分）VE ABC VB ACE，得 d
29、 （12 分）- 16 -【点评】本题考查面面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题20 （12 分）已知圆 C经过点 A（2，1） ，和直线 x+y10 相切，且圆心在直线 y2 x上（1）求圆 C的方程；（2）已知直线 l经过原点，并且被圆 C截得的弦长为 2，求直线 l的方程【分析】 （1）设出圆心坐标和半径，根据题目条件列方程组可解得；（2）根据点到直线的距离及勾股定理可得直线斜率 k【解答】解：（1）由题可设圆心（ a，2 a） ，半径为 r（ r0） ，则圆的方程为：（ x a） 2+（
30、 y+2a） 2 r2所以 解得 ，所以圆 C的方程为（ x1） 2+（ y+2） 22；（2）当直线 l斜率不存在时，满足条件，此时直线方程为 x0，当直线 l斜率存在时，设直线方程为： kx y0，则 1+（ ） 22 解得 k ，此时直线方程：3 x+4y0，- 17 -故所求直线方程为 x0 或 3 x+4y0【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题21 （12 分）已知 M为抛物线 C： y24 x上的一动点，直线 l： x+y+80求 M到 l的距离最小值，并求出此时点 M的坐标【分析】设 M（ ， a） ，则 M到 l的距离 d ，即可求出最小值及此时点 M的坐标【解答】解
31、：设 M（ ， a） ，则 M到 l的距离 d ，所以 dmin ，此时 a2点 M（1，2） 【点评】本题考查了抛物线的方程和点到直线的距离公式，属于基础题22 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ a b0）的右焦点为 F2（2，0） ，点P（1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C的标准方程；（）是否存在斜率为1 直线 l与椭圆 C相交于 M， N两点，使得| F1M| F1N|（ F1为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由【分析】 （）由椭圆的右焦点为 F2（2，0） ，点 P（1， ）在椭圆 C上，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 C的标准方程（）假设存
32、在斜率为1 直线 l： y x+m与椭圆 C相交于 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2）两点，使得| F1M| F1N|，联立 ，得：4 x26 mx+3m260，由此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式，结合已知条件推导出不存在斜率为1 直线l与椭圆 C相交于 M， N两点，使得| F1M| F1N|- 18 -【解答】解：（）椭圆 C： + 1（ a b0）的右焦点为 F2（2，0） ，点 P（1，）在椭圆 C上， ，解得 a ， b ，椭圆 C的标准方程为 （）不存在斜率为1 直线 l与椭圆 C相交于 M， N两点，使得| F1M| F1N|理由如下：假设存在
33、斜率为1 直线 l： y x+m与椭圆 C相交于 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2）两点，使得|F1M| F1N|，联立 ，消除 y，得：4 x26 mx+3m260，36 m216（3 m26）0，解得2 ， （*）， ， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ， F1（2，0） ，| F1M| F1N|， ，整理，得（ x1+x2+4） （ x1 x2）+（ y1+y2） （ y1 y2）0， ，直线 l： y x+m的斜率：1 ，解得 m4，不满足（*）式，不存在斜率为1 直线 l与椭圆 C相交于 M， N两点，使得| F1M| F1N|【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式的合理运用
