1、12019 届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1复数 的共轭复数 在复平面中对应的点位于=1+2i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2抛物线 的焦点坐标为=42A B C D(0 ， 14) (0 ， 116) (14 ， 0) (116 ， 0)3过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 两点，若2=4 1(1 ， 1) ， 2(2 ， 2)，则1+2=6 | 12 |=A5 B6 C8
3、 D104抛物线 的焦点到双曲线 其中一条渐近线的距离为2=8223=1A B1 C D232 35若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 ， +10+2201 =2+A3 B7 C5 D16在等差数列 中， ，则 1+58=1 ， 92=5 5=A4 B5 C6 D77偶函数 在 上是增函数，且 ，则满足 的实数 的取值范()( ， 0 (1)=1 (23)1 围是A B C D(1 ， 2) (1 ， 0) (0 ， 1) (1 ， 1)8若 ，则 的取值范围为2+4=1 +2A B C D(0 ， 2 0 ， 2 2 ， +) ( ， 29已知函数 ( ，e 是自然对数的底数)在 处取得
4、极小值，()=(2)e+2 =0则 的极大值是()A B C D4e2 4e2 e2 e210如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， ， 为 的=2=2 =3 中点，则 =A B13 23 23 +13 C D13 +23 23 13 11过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交2222=1 ( ， 0) 2+2=2 双曲线右支于点 若线段 的中点为 ， 为坐标原点，则 与 的大小关系是 | | | A B| | |= | | |12已知函数 ，函数 零点的个数为()=(+1) ， 0 e ， 0) (1 ， 0) 22 ，设 中点分别为 ， ， ， (1)求椭圆的标准方程；(
5、2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标21已知函数 ；()=122+(1)当 时， ，使 成立，求 的取值范围；0 ()0 (2)令 ，证明：对 ，恒有()=()(+1) ， (1 ， e 1 ， 21 ， | (1)(2) |1=(1)等价于 ，(|23|)(1)，|23| ，无解 . e1 1e（2）当 时，f（t）= ,即 -1,(1) 1(1) 0-1.故答案为 .（ 1,）【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题17（1） （2）=3 6【解析】【分析】（）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出 cosA 的值
6、，可得 A 的值（）利用余弦定理及基本不等式求得 a 的最小值【详解】解：(1) 中， ，=2由正弦定理知， ， ，=12 += ，=(+)=+ ，+=12 ，=12 ， =12 =3(2) 由 (1)及 得 ， =3 =6所以 2=2+22=2+2626=6当且仅当 时取等号，所以 的最小值为= 6【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题18（1） x2 或 3x4 y60（2）2x4y30，3510【解析】【分析】（1）C：x 2+y2+2x4y+3=0，化为标准方程，求出圆心 C，半径 r分类讨论，利用 C 到 l 的距离为 1，即可求直线
7、l 的方程；（2）设 P（x，y）由切线的性质可得：CMPM，利用|PM|=|PO|，可得 3x+4y12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点 O 到直线 2x4y+3=0 的距离【详解】解：(1) (1) x2 y22 x4 y30 可化为( x1) 2( y2) 22，当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x2，易求直线 l 与圆 C 的交点为 A(2，1)， B(2，3)，| AB|2，符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y k(x2)，即 kx y2 k0，则圆心 C 到直线 l 的距离 ，=| 2+2 |2+1 =1解得 ，=34所以直线 l 的方程为
8、 3x4 y60综上，直线 l 的方程为 x2 或 3x4 y60(2) 如图， PM 为圆 C 的切线，连接 MC， PC，则 CM PM，所以 PMC 为直角三角形，所以| PM|2| PC|2| MC|2设 P(x， y)，由(1)知 C(1，2)，| MC| ，2因为| PM| PO|，所以( x1) 2( y2) 22 x2 y2，化简得点 P 的轨迹方程为 2x4 y30求| PM|的最小值，即求| PO|的最小值，也即求原点 O 到直线 2x4 y30 的距离，代入点到直线的距离公式可求得| PM|的最小值为 .3510【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的
9、切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19(1) ；(2)2.=21【解析】试题分析：(1)由题意有 ，分类讨论可得：当 时， ，当 时，1+=2 =1 1=1 2，整理可得 ，据此可得 成等比数列， .1=221 =21 =121=21(2)结合(1)中的结论有 ，结合等比数列前 n 项和公式可得1+1=13(12)1，即 ，据此可得关于 n 的方程 ，解方程131(12)1112 =()22()=23(222) (21)(2+3)=0可得 .=2试题解析：(1)因为 成等差数列，所以 ，1, 1+=2当 时， ，=1 1+1=211=1当 时， ，2
10、 1+1=21则 ，则 ，即 ，1=221 =221 =21又 ， ，所以 成等比数列，所以 .101=2 =121=21（2）因为 ，1+1= 12+2+1=13(12)1又 ，所以 ，11+2+ 12+3+ 1+1=()2+1131(12)1112 =()22所以 ，()=23(222)又 ，所以 ，()=23(222)=8 (21)(2+3)=0所以 ，所以 .2=4 =220（1） （2）22+2=1 (23 ， 0)【解析】【分析】（1）根据题意确定出 c 与 e 的值，利用离心率公式求出 a 的值，进而求出 b 的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线 AB 与 CD 向量存在，设为
11、 k，表示出 AB 方程，设出 A 与 B 坐标，进而表示出 M 坐标，联立直线 AB 与椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出 N，根据 M 与 N 横坐标相同求出 k 的值，得到此时 MN 斜率不存在，直线 MN 恒过定点；若直线 MN 斜率存在，表示出直线 MN 斜率，进而表示出直线 MN，令 y=0，求出 x 的值，得到直线 MN 恒过定点，综上，得到直线 MN 恒过定点，求出定点坐标即可；【详解】解：(1) 由题意： ，=1 ， =22 ，=2 ， =1则椭圆的方程为22+2=1(2) 斜率均存在 ， 设直线 方程为： ， =(1)再
12、设 ，则有 ，(1 ， 1) ， (2 ， 2)(1+22 ， (1+22 1)联立得： ，=(1)2+222=0 消去 得： ， (1+22)242+222=0 ，即 ，1+2= 421+2212=2221+22 (221+22 ， 1+22)将上式中的 换成 ，同理可得： ，1 (22+2 ， 2+2)若 ，解得： ，直线 斜率不存在，221+22= 22+2 =1 此时直线 过点 ；(23 ， 0)下证动直线 过定点 ，(23 ， 0)若直线 斜率存在，则 ，=1+22 2+2221+22 22+2=(32+3)242 =32 21直线 为 ， 2+2=32 21( 22+2)令 ，得
13、，=0= 22+2+23212+2=233+212+2 =23综上，直线 过定点 ；(23 ， 0)【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键21（1） ； （2）见解析.(,【解析】【分析】(1)先将存在性问题转化为求 最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函()数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得 的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证 .构造差函数 ，利用导数可得 单(1)()0 ()02+0 的范围为 . (,（2）因为对 ， ，所以 在 内单调递减，1,()=
14、(1)(1) 0 ()1,所以 .|(1)(2)|(1)()=12212要证明 ，只需证明 ，即证明 .|(1)(2)|0所以 在 是单调递增函数，()=1232(1,所以 ，故命题成立.()()=2132=(3)(+1)2 ()() 4 解得 1+3+33 2 3须 +32+33 2 解得 13综上， 的范围是 (1 ， 3)【点睛】（1）本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式： ,使用这个不等|+|式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.
