1、1西安中学 2017-2018 学年度第一学期期末考试高二数学（理科平行班）试题（时间：120 分钟 满分：150 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数， ，中至少有一个偶数”正确的反设为（ ）A.， ，都是奇数 B.， ，都是偶数C.， ，中至少有两个偶数 D.， ，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】结论：“自然数 中恰有一个偶数”的反面为 恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选 D.2.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和运算法则，逐一检验即可.【详解】由求导公
2、式知 故 A 错误， ，故 C 错误， ，故 D 错(sinx)=cosx (3x)=3xln3 (1x)=-1x2误，B 选项正确，故选 B.【点睛】本题主要考查了常见函数的求导公式，属于容易题.3.用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2 (nN*) n=1左边应取的项是（ ）A. B. C. D. 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4【答案】D【解析】【分析】2根据所给式子可知左边为 ，可知正确选项.1+2+(1+3)【详解】当 时，左边应为 ，即 ，故选 D.n=1 1+2+(1+3) 1+2+3+4【点睛】本题主要考查了数学归纳法及归
3、纳推理的能力，属于容易题.4.向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度 随时间变化的大致图像是（ ）hA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选 C.【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选 C.【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.5.若双曲线 的一条渐近线方程为 则此双曲线的离心率为（ ）x2a2y2b2=1 x3+y=0A. B. C. D. 103 31010 1
4、0 22【答案】A【解析】试题分析：由条件知， ，所以 ，所以选 C.ba=3 e= 1+(ba)2= 1+19=1033考点：双曲线的几何性质.6.若平面 与 的法向量分别是 ， ，则平面 与 的位置关系是（ a=(2,4,3) b=(1,2,2) ）A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直.【详解】因为 ，所以 ，所以两平面垂直.ab=（2,4,3)(1,2,2)=0 ab【点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.7.已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点
5、是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个ABC B Cx216+y29=1 A焦点在边 上，则 的周长是（ ）BC ABCA. 8 B. 12 C. D. 1683【答案】D【解析】ABC 的顶点 B，C 在椭圆 上，x216+y29=1顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 BC 上，由椭圆的定义可得：ABC 的周长是 4a=44=16故答案为：C。8.下列选叙述错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”x1 x23x+20 x23x+2=0 x=1B. 若“ 或 ”为真命题，则 ， 均为真命题p q p qC. “若 ，则 ”的否命题为假命题am22 x23x+20
6、【答案】B【解析】4【分析】根据四种命题的关系及且或命题的真假逐一判断各选项即可.【详解】由逆否命题概念知 A 选项正确，根据或命题真假可知 p,q 至少一个命题为真，故 ，p均为真命题错误，C 选项中，原命题的否命题为“若 ”，当 时，q am2bm2,则 ab m=0成立，推不出 ，命题不成立，是假命题，D 选项中 能推出am2bm2 ab x2成立， 推不出 ，所以“ ”是“ ”的充分x2-3x+20 x2-3x+20 x2 x2 x2-3x+20不必要条件，所以选 B.【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，含且或命题的真假，及充分必要条件，属于中档题.9.如图，空间四面体 的每条边都等
7、于 1，点 ， 分别是 ， 的中点，则DABC E F AB AD等于（ ）FEDCA. B. C. D. 14 14 34 34【答案】A【解析】试题分析：空间四面体 D 一 ABC 的每条边都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点FE=12DB,|DB|=|DC|=1,BDC=3FEDC=12DBDC=1211cos3=14考点：平面向量数量积的运算10.设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30的直线交 于 、 两点，则F C y2=8x F C A B（ ）|AB|=A. B. 16 C. 32 D. 323 435【答案】C【解析】【分析】写出直线方程，联立抛物线方程消
8、元，可根据弦长公式求出弦长.【详解】由题意知 ，AB 所在直线方程为 ，联立 消元F（2,0） y=tan30(x2)=33(x2) y2=8x得 ，设 ，则 ，所以y283y16=0 A(x1,y1),B(x2,y2) y1+y2=83,y1y2=16，故选 C.|AB|= 1+3643+416=32【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.11.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” 。经过调查核实，四人
9、中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲【答案】C【解析】甲 乙 丙 丁甲 乙 丙 丁 由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B.12.如图，在 中， ， 、 边上的高分别为 、 ，则以 、ABC CAB=CBA=30 AC BC BD AE A为焦点，且过 、 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）B D E6A. B. 1 C. D. 23 23【答案】A【解析】若是椭圆，则 ， ， ，
10、 ，而椭圆的离心率|DA|+|DB|=2a |AC|=2c |DA|= 3|DB| |AB|=2|DB|，若是双曲线，则 ，e1=ca= |AB|DA|+|DB|= 2|DB|3|DB|+|DB|= 31 |DA|DB|=2a，所以 ，故选 A.e2=ca= |AB|DA|DB|= 2|DB|3|DB|DB|= 3+1 1e1+1e2= 131+ 13+1=3+12 +312 = 3二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量 ， ，且 ，那么 等于_a=(1,x,3) b=(2,4,y) ab x+y【答案】-4【解析】【分析】根据向量平行，可求出 ,即可求解.x,y【详解】 a
11、/b,即 ，解得 ， . a=b 1=2x=43=y x=2y=6 x+y=4【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.14.平面内动点 到点 的距离和到直线： 的距离相等，则动点 的轨迹方程为是P F(0,2) y=2 P_【答案】 x2=8y【解析】【分析】根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点 F,准线为 ， ，即可写出抛物线方y=2 p=4程.7【详解】由题意知，该点轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其中 ，所以F（0,2） y=2 p=4方程为 .x2=8y【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.15.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔
12、、猫分别坐在编号为 1，2，3，4 的 4 个位子上（如图） ，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第 2018 次互换座位后，小兔的座位对应的编号为_【答案】2【解析】【分析】根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是 4,由此规律即可求解.【详解】由图，经过 4 次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为 4，因为 ，所以经过 2018 次互换座位后，小兔对应的是编号 2 的位2018=4504+2置.【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为 4 的规律，归纳推理的
13、特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.16.已知椭圆 ： ， ， 是椭圆 的两个焦点， 是该椭圆上的一个动点，则Cx24+y2=1 F1 F2 C P的范围为_PF1PF2【答案】 2,1【解析】【详解】由题意，得 的左、右焦点分别为 ，设 ，则x24+y2=1 F1(- 3,0),F2( 3,0) P(2cos,sin)，PF1=(- 3-2cos,-sin)PF2=( 3-2cos,-sin)8；又因为 0PF1PF2=(- 3-2cos)( 3-2cos)+sin2=sin2+4cos2-3=3cos2-21，所以 -2 1，即 范围为-2,1.cos2 3cos2-2 PF1
14、PF2【点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算.三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17.设命题 ：方程 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；px2a+6+y2a7=1命题 ：存在 ，使得q xR x24x+a0 a3+b3a2b+ab2（2）用分析法证明： .6+ 722+ 5【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目可采用作差法求证（2）用分析法，采用平方的方法可证明【详解】 （1） a3+b3(a2b+ab2)=a2(ab)+b2(ba)=(ab)(a2b2)=(ab)2(a+b)9而 (ab)20 ，a+b0 a3+b3(a2b+ab2)0
15、 a3+b3a2b+ab2（2）要证 ，只需证 ，6+ 722+ 5 ( 6+ 7)2(22+ 5)2即证 ，只需证 ，即 ，而 显然成立，故原不等式得证.42210 ( 42)2(210)2 4240 4240【点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件.19.如图， 面 ， 面 ， ， ， 是 的中EA ABC BD ABC ACBC AC=BC=BD=2AE=2 MAB点，（1）求直线 与 所成角的大小；EMCD（2）求直线 与平面 所成角的余弦值。EM BCD【答案】 （1）90（2）63【解析】【分析
16、】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角计算即可（2）利用直线上的向量与平面的法向量的夹角即可得出.【详解】如图，以点 为坐标原点，以 、 所在的直线分别为 轴、 轴，过点 与平面C CA CB x y C垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，ABC10则 ， ， ， ， ，C(0,0,0) A(2,0,0) B(0,2,0) E(2,0,1) D(0,2,2) M(1,1,0)（1） ， EM=(-1,1,-1) CD=(0,2,2)所以 cos=|cos|=0所以直线 与 所成角的大小为 90；EMCD（2） ，平面 的法向量可取EM=(-1,1,-1) BCD n=(1,0,0)所以 ,
17、sin=|cos|=13=33 cos= 1sin2=63【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角公式，属于中档题题.求线面角时，取斜线上任意一向量，求其与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值，即为线面角的正弦值.20.（1）已知曲线 ，求曲线在 处的切线方程；y=x3 x=1（2）已知直线 与曲线 相切，求 的值。y=kx1 y=lnx k【答案】 （1） （2）13xy2=0【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为 ，根据两函数在该点导数相等及(x0,y0)该点为公共点列方程组即可求解.【详解】 （1）切点为 又 所以(1,1) y=3x2 k切
18、=3所以切线方程为： 3x-y-2=0（2）设切点为 ，又(x0,y0) y=1x11所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0 x0=1y0=0k=1 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.21.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的菱形， ， 面PABCD ABCD ABC=60 PA， ， 是棱 上一点，且 ， 为 的一个靠近 点的三等分点。ABCD PA=4 F PA AF=1 E PD D（1）求证： 面CE BDF（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。BDF PAD【答案】 （1）见解析；（2）1510【解析】【分析】（1）以 ， 所在的直
19、线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，AD AP y求平面 BDF 的法向量，可证明与 CE 垂直，从而得证（2）求出两个平面的法向量，求其夹角余弦值即可得出二面角的余弦值.【详解】以点 为坐标原点，以 ， 所在的直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系A AD AP y如图。12则 ， ， ， ， ，A(0,0,0) D(0,4,0) P(0,0,4) F(0,0,1) B(23,-2,0) C(23,2,0)（1） CE=CD+13DP=(-23,23,43)设面 的法向量为 ，又 ，BFD n=(x,y,z) BD=(-23,6,0) DF=(0,-4,1)所以 取 得-
20、23x+6y=0-4y+z=0 y=1 n=( 3,1,4)所以 即CEn=-6+23+163=0 CEn又 面 所以 面CE BDF CE BDF（2）由（1）面 的法向量为BFD n=( 3,1,4)又面 的法向量可取PAD n1=(1,0,0)所以 cos=|cos|=33+1+161=1510【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与平面平行，利用空间向量求两个平面的二面角，属于中档题.利用向量法求二面角时，注意法向量的夹角余弦与二面角余弦的关系，可能相等，也可能互为相反数.22.已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率C F1(1,0) F2(1,0) e=22（1）求椭圆 的方程；C（
21、2）过 点斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同交点 、 ，求 的范围；M(0, 2) k l1 C P Q k（3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）C x y A B l1中的条件且使得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明OP+OQ AB l1理由。13【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.x22+y2=1 (-,- 22)(22,+)【解析】【分析】（1）由题意可得 c,根据离心率可求出,即可写出方程（2）写出直线方程，联立方程组消元，通过判别式大于 0 求得 k 的取值范围（3）利用向量的坐标，可计算 与 的OP+O
22、Q AB数量积为 0 时，k 不满足 ,故不存在.0【详解】 （1）设椭圆 的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、 、C b由题设知： c=1由 ，得 ，e=ca=1a=12 a= 2则 b=1椭圆 的方程为Cx22+y2=1（2）过 点斜率为 的直线 ：M(0, 2) k l1 y- 2=kx即 ：l1 y=kx+ 2与椭圆 方程联立消 得 “*”C y (2k2+1)x2+42x+2=0由 与椭圆 有两个不同交点知l1 C其 得 或=32k2-8(2k2+1)0 k22 的范围是k (-,-22)(22,+)（3）设 、 ，则 、 是“*”的二根P(x1,y1) Q(x2,y2) x1 x2则 ，则则由题设知 、 ，若 ，须14得不存在满足题设条件的 .【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、离心率，直线与椭圆的位置关系，属于难题.设直线方程时，要考虑斜率存不存在两种情况，最后还要考虑计算出的 k 是否符合条件.
