1、- 1 -鹤岗一中 2018-2019 学年度上学期期中考试高一数学理科试题一、单选题（本题共 12 小题，每题 5 分共 60 分）1.已知集合 A=0，2，B=-2，-1，0，1，2,则 AB=（ ）A. 0,2 B. 1,2 C. 0 D. -2,-1,0,1,2【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【详解】集合 A=0，2，B=2，1，0，1，2，则 AB=0，2故选：A【点睛】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基础题2.已知函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. R【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集
2、即可【详解】依题意得： x0故选：A【点睛】本题考查了求具体函数定义域的问题，是基础题3.若函数 为偶函数，则 等于( )A. 2 B. 1 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知中函数 y=（x+1） （xa）为偶函数，根据函数的定义 f（x）=f（x）恒成立，可构- 2 -造关于 a 的方程，解方程可得 a 值【详解】函数 y=f（x）=（x+1） （xa）为偶函数，f（x）=f（x）即（x+1） （xa）=（x+1） （xa）解得 a=1故选：B【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中熟练掌握偶函数的性质 f（x）=f（x）是解答本题的关键4.奇函数 f(x)在(0，
3、+)上为增函数，且 f(1)=0，则不等式 的解集为（ ）A. (1，0)(1，+) B. (，1)(0，1)C. (1，0)(0，1) D. (，1)(1，+)【答案】D【解析】【分析】由函数 f（x）是奇函数，将原等式转化为 f（x）x0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解【详解】函数 f（x）是奇函数f（x）=f（x）不等式 可转化为：f（x）x0根据条件可作一函数图象：不等式 的解集是(，1)(1，+)- 3 -故选： D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性性质转化为不等式，再利用数形结合法解不等式问题5.将根式 化为分数指数幂是（ ）A. B
4、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根指数幂和分数指数的转化即可求出.【详解】根式 化为分数指数幂是 ，故选：A【点睛】本题考查了根指数幂和分数指数的转化，属于基础题.6.函数 f(x)(a 23a3)a x是指数函数，则有（ ）A. a1 或 a2 B. a1 C. a2 D. a0 且 a1【答案】C【解析】略7.若函数 有一个零点是 2，那么函数 的零点是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数 f（x）的一个零点为 2，得出 b=2a，然后利用一元二次函数的性质即可得到结论【详解】函数 f（x）=ax+b 有一个零点是 2，f（2）=2a+b=0，即 b=
5、2a，则 g（x）=bx 2ax=2ax 2ax=ax（2x+1） ，- 4 -由 g（x）=0 得 x=0 或 x= ，故函数 g（x）=bx 2ax 的零点是 0， ，故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现8.有以下四个结论：lg(lg 10)0；ln(ln e)0；若 10lg x ， 则 x100；若 eln x ， 则 xe 2.其中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过底数与真数相同得对数是 1，真数为 1 的对数为 0 判断出对；通过对数式与指数式间的
6、转化判断出错【详解】对于lg（lg10）=lg1=0，故对对于ln（lne）=ln1=0对对于，10=lgxx=10 10错对于，e=lnxx=e e错故选：C【点睛】本题考查两个特殊的对数值：底数与真数相同得对数是 1，1 的对数为 0、考查对数式与指数式间的互化，属于基础题.9.下列结论中，正确的是( )A. 幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B. 当幂指数 取 1,3， 时，幂函数 y x 是增函数C. 幂函数的图象可以出现在第四象限D. 当幂指数 1 时，幂函数 y x 在定义域上是减函数【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的图象和性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论- 5
7、-【详解】幂函数的图象都通过点（1，1） ，但 a0 时不经过（0，0）点，故 A 错误；当幂指数 取 1，3， 时，幂函数 y=xa在定义域上是增函数，故 B 正确；幂函数的图象不会出现在第四象限，故 C 错误；当幂指数 =1 时，幂函数 y=xa在（，0）和（0，+）上均为减函数，但在定义域上不是减函数，故 D 错误；故选：B【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质，是解答的关键10.当 时，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A. (1,2) B. (4,3) C. (2,1) D. (3,4)【答案】A【解析】【分析】由题
8、意可得 m2m = 在 x（，1时恒成立，则只要 m2m 的最小值，然后解不等式可 m 的范围【详解】（m 2m）4 x2 x0 在 x（，1时恒成立，m 2m = 在 x（，1时恒成立，由于 f（x）= 在 x（，1时单调递减，x1，f（x）2，m 2m2，1m2，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题 mf（x）恒成立mf（x）得最小值（mf（x）恒成立mf（x）的最大值） ，体现出函数恒成立与最值的相互转化11.如果 ,那么( )A. B. C. D. 【答案】D- 6 -【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出【详解】a=2 1.22， 1， =log23（1，2）
9、acb故选：D【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12.若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件：P 和 Q 都在函数 y=f（x）的图象上；P和 Q 关于原点对称，则称点对P，Q是函数 y=f（x）的一对“友好点对” （P，Q与Q，P看作同一对“友好点对” ） 已知函数 ，则此函数的 “友好点对”有（ ）A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对【答案】C【解析】【分析】根据题意：“友好点对” ，可知，欲求 f（x）的“友好点对” ，只须作出函数y=x 24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数 f（x）=log 2x（x0
10、）交点个数即可【详解】根据题意：当 x0 时，x0，则 f（x）=（x） 24（x）=x 2+4x，可知，若函数为奇函数，可有 f（x）=x 24x，则函数 y=x 24x（x0）的图象关于原点对称的函数是 y=x24x由题意知，作出函数 y=x24x（x0）的图象，看它与函数 f（x）=log 2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，- 7 -观察图象可得：它们的交点个数是：2即 f（x）的“友好点对”有：2 个故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二、填空题（本题共 4 道小题，每题 5
11、分共 20 分）13.已知函数 y f(x)是 R 上的增函数，且 f(m3) f(5)，则实数 m 的取值范围是_【答案】 m2【解析】函数 y f(x)是 R 上的增函数，且 f(m3) f(5)， m35， m2故答案为： m214.若函数 ，且 的图像恒过点 P，则点 P 为_【答案】【解析】- 8 -【分析】令 x-1=0,得 x=1,再把 x=1 代入函数解析式即得定点 P 的坐标.【详解】令 x-1=0,得 x=1,再把 x=1 代入 得y=1-2=-1,所以图像恒过定点（1，-1）.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查指数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理
12、能力.(2)指数函数 的图像过定点（0,1）.15.已知幂函数 的图象过点 ，则 _【答案】27【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数 y=f（x）的解析式，再计算 f（9）的值【详解】设幂函数 y=f（x）=x a，aR，且图象过点（2,2 ） ，2 a=2 ，解得 a= ，f（x）= ；f（9）= =27故答案为：27【点睛】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目16.已知实数 满足等式 ，给出下列五个关系式： ； ； ； ； 其中可能关系式是_【答案】【解析】【分析】在同一坐标系中做出 y=log2x 和 y=log3x 两个函数的图象，结合图象求解即可【详解】实数
13、a，b 满足等式 log2a=log3b，即 y=log2x 在 x=a 处的函数值和 y=log3x 在 x=b处的函数值相等，当 a=b=1 时，log 2a=log3b=0，此时成立做出直线 y=1，由图象知，此时 log2a=log3b=1，可得 a=2，b=3，由此知成立，不成立- 9 -作出直线 y=1，由图象知，此时 log2a=log3b=1，可得 a= ，b= ，由此知成立，不成立综上知故答案为：【点睛】本题考查对数函数图象的应用，考查数形结合思想的应用三、解答题（本题共 6 道题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14、17.设全集 ，集合 ， ， . （1）求 ， ， （2）求 .【答案】 （1） ， ;（2）【解析】【分析】根据交集、并集和补集的定义，计算即可【详解】解：（1） ， .（2）【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题18.已知函数 的定义域为集合 A， .（1）求集合 A； （2）若 ，求实数 的取值范围- 10 -【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于零，分式的分母不等于零，联立不等式组求解 的取值范围，可得到集合 ；（2）由子集的概念，根据包含关系结合数轴，直接利用两个集合端点之间的关系列不等式求解即可.【详解】 （1）由 ，得 ，解得 或 ，
15、所以 （2） ， .因为 ，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法以及集合的子集，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.19.已知函数 f（x）a x（x0）的图象经过点（2， ） ，其中 a0 且 a1.（1）求 a 的值；（2）求函数 yf（x） （x0）的值域【答案】 （1） ；（2）值域为 .【解析】试题分析：（1）将点 代入函数 的解析式，
16、 ，由于 ，所以 ；（2）根据第（1）问求得 值，可知 ，此时可以画出函数图象，观察图象可以求出函数的定义域为 ，注意结果必须写出集合或区间.试题解析：（1）函数 f（x）a x（x0）的图象经过点（2， ） ， a 2，a .（2）由（1）知 f（x）（ ） x，- 11 -x0，0（ ） x（ ） 01，即 0f（x）1， 函数 yf（x） （x0）的值域为（0, 1考点：指数函数的图象及性质.20.定义在1，1上的奇函数 f（x）是减函数，且 f（1a）+f（1a 2）0，求实数 a 的取值范围【答案】1a【解析】试题分析：根据奇函数的关系式将不等式转化为 f(1-a) f(a 2-1)
17、，关于两个函数值大小关系的不等式，再由定义域和单调性列出不等式组求解试题解析：f(1-a)+f(1-a 2)0,得：f(1-a) f(a 2-1)解得考点：奇偶性与单调性的综合21.已知函数 （1）若 f（1）=3，求 a（2）若 f（x）的定义域为 R，求 a 的取值范围； （3）是否存在实数 a，使 f（x）在（，2）上为增函数？若存在，求出 a 的范围？若不存在，说明理由【答案】 （1）a=2;(2) ;（3）见解析.【解析】【分析】（1）直接代入得 a=2.（2）由对数的真数大于零得：x 22ax+30 对任意 xR 都成立，则0，再求出实数 a 的取值范围（3）内层函数 n（x）=x
18、 22ax+3 在区间（，a）上为减函数，在（a，+）上为增函数，因为外层函数 f（x）在（，2）上为增函数，a2 且 44a+30，a2 且 a ，不可能成立，舍.【详解】 （1）解：a=2 .- 12 -(2)函数 f（x）= （x 22ax+3）的定义域为 R， x 22ax+30 恒成立，0，4a 2120即 a 的取值范围（3）解：函数 f（x）= （x 22ax+3） 设 n（x）=x 22ax+3，可知在（，a）上为减函数，在（a，+）上为增函数f（x）在（，2）上为增函数 a2 且 44a+30，a2 且 a ，不可能成立不存在实数 a，使 f（x）在（，2）上为增函数【点睛】
19、本题考查对数函数的性质，掌握对数函数的性质及一元二次函数的性质是解决本题的关键也考查了复合函数的单调性的判断，对数函数的定义域的应用，二次函数的单调性.22.已知指数函数 y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为 R 的函数 f（x）= 是奇函数 （1）确定 y=g（x） ，y=f（x）的解析式； （2）若 h（x）=f（x）+a 在（1，1）上有零点，求 a 的取值范围； （3）若对任意的 t（4，4） ，不等式 f（6t3）+f（t 2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） ;（2） （ ， ）;（3） （，12） 【解析】【分析】（）设 g（x）=a x（a0 且 a1）
20、 ，由 a3=8 解得 a=2故 g（x）=2 x再根据函数是奇函数，求出 m、n 的值，得到 f（x）的解析式；（）根据零点存在定理得到 h（1）h（1）0，解得即可；（）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切 t（-4，4） ，有t2+6t3k 恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可【详解】 （1）解：设 g（x）=a x（a0 且 a1） ，g（3）=8，a 3=8，解得 a=2 g（x）=2 x - 13 - ，函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f（0）=0， ，n=1， 又 f（1）=f（1） ， ，解得 m=2（2）解：由（1）知 ， 易知 f（x）在 R 上为减函数
21、，又 h（x）=f（x）+a 在（1，1）上有零点，从而 h（1）h（1）0，即 ， （a+ ） （a ）0， a ，a 的取值范围为（ ， ）（3）解：由（1）知 ， 又 f（x）是奇函数，f（6t3）+f（t 2k）0，f（6t3）f（t 2k）=f（kt 2） ，f（x）在 R 上为减函数，由上式得 6t3kt 2 ， 即对一切 t（4，4） ，有 t2+6t3k 恒成立，令 m（t）=t 2+6t3，t（4，4） ，易知 m（t）12，k12，即实数 k 的取值范围是（，12） 【点睛】本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化，函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法和最值法的结合属于中档题
