1、1专题能力提升练 一 集合、复数与平面向量(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.若集合 A=-1,2,B=0,1,则集合z|z=x+y,xA,yB的子集共有( )A.2 个 B.4 个 C.8 个 D.16 个【解析】选 D.当 x=-1,y=0 时,z=-1;当 x=-1,y=1 时,z=0;当 x=2,y=0 时,z=2;当 x=2,y=1 时,z=3.故 z 的值为-1,0,2,3,即求集合-1,0,2,3的子集个数,根据规律得子集共有 24=16 个.2.已知复数 z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,-1),(3,1),则 等于 ( )A.1-2i
2、B.1+2iC. - i D. - i1525 3212【解析】选 B.因为 z1=1-i,z2=3+i,所以 = =1+2i.213+1-3.已知复数 z 为纯虚数,且 =1,则 z= ( )| 1-|A.2i B. i C. i D.i【解析】选 B.因为 z 是纯虚数,所以可设 z=ai(aR), = =1,可得 =2,a= ,所以 z= i.4.已知集合 A=xZ|log 2k-3 B.x|x-3,B=x|x2,所以 AB=x|x-3,所以 R(AB)=x|x-3.8.图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 所表示的复数 z 满足(z 1-i)z=1,则复数 z1= ( )3
3、A.- + i B. + i2545 2545C. - i D.- - i2545 2545【解析】选 B.由图得 z=2+i,则(z 1-i)(2+i)=1,所以 z1=i+ = + i.25459.(2018北京高考)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 D.复数 z= = = = + i,1+1-2 1212所以 z 的共轭复数 = - i, 对应的点为 ,位于第四象限.1212 (12,-12)10.若集合 M=x|(x+4)(x+1)=0,N=x|(x-4)(x-1)=0,则 MN= ( )A. B.-1,-4
4、C.0 D.1,4【解析】选 A.因为 M=x|(x+4)(x+1)=0=-4,-1,N=x|(x-4)(x-1)=0=1,4,所以MN=.11.已知复数 z= -2i (其中 i 为虚数单位),则|z|= ( )103+A.3 B.34C.2 D.2【解析】选 B.z= -2i= -2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3 .103+ 10(3-)(3+)(3-)12.(2018天津高考)如图,在平面四边形 ABCD 中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为 ( )A. B. C. D.32116 32 2516【解析】选 A.
5、由已知 DB= 且BCD 为等边三角形,因为 = + + ,所以 =( + + ) = ,32设 = (01),则 = ( - )=( - )( - - )=( - )2-( - ) =3 2- + .32 32所以,当 = 时, 有最小值 .14 2116二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.在ABC 中, = = ,则 sin Asin Bsin C=_. 【解题指南】由条件利用两个向量的数量积的定义可得 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2 =6b2+6c2-6a2=k,由此求得 a、b、c 的值,利用正弦定理可得 sin Asin Bsin C 的值.【解析】在AB
6、C 中,因为 = = ,所以=5即 = = ,1即 = 2+2-22 2+2-22=bc ,即 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-2+2-223c2=6b2+6c2-6a2=k,求得 a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以 a= , b= ,c= =2 ,所以由正弦定理可得 abc=sin Asin Bsin C= 2.5答案: 214.若 z1=3-2i,z2=1+ai(aR),z 1z2为实数,则 a 等于_. 【解析】由 z1=3-2i,z2=1+ai(aR),则 z1z2=(3-2i)(1+ai)=3+
7、3ai-2i-2ai2=(3+2a)+(3a-2)i.因为 z1z2为实数,所以 3a-2=0,解得:a= .23答案:2315.已知 tR,i 为虚数单位,复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1z2是实数,则 t 等于_. 【解析】tR,i 为虚数单位,复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1z2是实数,可得(3+4i)(t+i)=3t-4+(4t+3)i,4t+3=0,则 t=- .34答案:-3416.已知抛物线 C:y2=x,过点 P(a,0)的直线与 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 0,则 a 的取值范围是_. 6【解析】设 AB:x=my+a,代入 y2=x 得 y2-my-a=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-a, =x1x2+y1y2= +y1y2=a2-a0,解得 0a1.答案:(0,1)
