1、1专题能力提升练 五 数学文化与核心素养(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为 ( )A. f B. f C. f D. f32【解析】选 D.由已知,单音的频率构成一个首项为 f,公比为 的等比数列,记为b n,共有 13 项.由等比数列通项公式可知,b 8=b1q7=
2、f( )7= f.【加固训练】1.(2018河南省新乡市高考数学二模试卷)我国古代数学名著九章算术里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田 1 亩价值 300 钱;坏田 7 亩价值 500 钱,今合买好、坏田 1顷,价值 10 000 钱.问好、坏田各有多少亩?”已知 1 顷为 100 亩,现有下列四个程序框图,其中 S 的单位为钱,则输出的 x,y 分别为此题中好、坏田的亩数的是 ( )【解析】选 B.1 顷=100 亩,设好田 x 亩,坏田为 y 亩,则由题意可得:坏田 y=100-x,2依题意有:S=
3、300x+ y=10 000,故 C 错误;5007可得:300x+ - x=10 000, x= ,50 0007 5007 20 0007解得:x=12.5,坏田 y=100-12.5=87.5(亩).由于:x 的初值为 0.5,终值为 12.5,设其步长值为 d,则由 12.5=0.5+(n-1)d,可得:n= +1Z,12可得:变量 x 每次增加的步长值 d 为 12 的因数,故 A,D 错误,B 正确.2.(2018豫南九校一模)九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”可用如图所示的程序框图解决此问题.现
4、执行该程序框图,输入的 d 的值为 33,则输出的 i 的值为 ( )A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选 C.方法一:i=0,s=0,x=1,y=1开始执行,然后可得:i=1,s=1+1,x=2,y= 123i=5,s=(1+2+4+8+16)+ 33,x=32,y= ,再执行一行,然后输出 i=6.方法二:本题要解决的问题是数列求和的问题,a1=1+1,a2=2+ ,an=2n-1+ (n2),12 12-1可得:a 1+a2+an33,解得 n 的最小值为 6.2.数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会,如图 1 所示,当时的人类用在绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大小来表示
5、野兽的大小,即“结绳计数”,图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量,在从右向左依次排列的绳子上打结,右边绳子上的结每满 7 个的左边的绳子上打一个结,请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为 ( )A.336 B.510C.1 326 D.3 603【解析】选 B.由题意,所擒获猎物的数量满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为 173+372+271+670=510.3.(2018益阳一模)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是 m
6、,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为 Sn,则 ( )A.Sn无限大 B.Sn3(3+ )m4C.Sn=2(2+ )m D.Sn可以取 100m【解析】选 B.由题意,外围第一个正方形的边长是 m,可得:内层第二个正方形边长为 = m;(13)2+(23)2第三个正方形边长为 = m;59第 n 个正方形边长为 m,(53)-1那么蜘蛛网的长度为Sn=4m 4m(1+53+59+( 53)-1)11- 53=(9+3 )m.4.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用
7、小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数5,9,14,20,为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第 2017 项为 a2 017,则 a2 017-5= ( )A.2 0232 017 B.2 0232 016C.1 0082 023 D.2 0171 008【解析】选 C.观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,5an=2+3+(n+2)= (n+1)(n+4),12由此可得 a2 017= 2 0182 021=1 0092 021.12a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 0082
8、 023.5.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的外接球的表面积为 ( )A.2 B.8C. D.6+4 43【解析】选 B.根据几何体的三视图,得到:该几何体是一个倒放的底面为直角三角形,高为 2 的直三棱柱.故直角三角形的直角边为 .所以:该几何体的外接球直径为 =2 ,2所以:R= ,故 S=4R 2=8.【加固训练】九章算术第三章衰分中有一则问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”;翻译成现代文为“今有一个女子很会织布,每日加倍增长,5 天共织布 5 尺,问每天织布多少?”.今以
9、这则故事中蕴含的数学思想,设计如图所示的程序框图,则运行其中的程序,输出的 n 的值为 ( )6A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选 C.运行该程序,第一次,S= ,a= ,n=1;第二次 ,S= ,a= ,n=2;第三次,23 43 63 83S= ,a= ,n=3;第四次,S= ,a= ,n=4;第五次,S= ,a= ,n=5;第六次,S= ,a= ,n=6;第七次,S= ,a= ,n=7;此时输出的 n 的值为 7.1263 1283 2543 25636.在九章算术中记载着一道关于“持金出关”的题目,大意是:“在古代出关要交关税.一天,某人拿钱若干出关,第 1 关交所拿钱数的 ,第
10、 2 关交所剩钱数的 ,第 3 关交所剩钱12 13数的 ,”14这个人在第 6 关交税的钱数是出第 1 关前钱数的 ;这个人在第 6 关交税的钱数是出第 1 关前钱数的 ;这个人出了第 8 关后剩余的钱数是出第 1 关前钱数的 ;187这个人出了第 8 关后剩余的钱数是出第 1 关前钱数的 .19其中说法正确的是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.设这个人出关前的钱数为 a,第 1 关交税 a,即 a;第 2 关交税12= a,即 a;第 3 关交税 = a,即 a;由13(-12)16 14(-12-16)此可知第 6 关交税 a,故错误,正确;这个人过了第 8 关后剩余的钱数为
11、 a-=(112+ 123+ 134+ 189)a-a(1-12+12-13+13-14+18-19)= a,故错误,正确.197.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,已知该图形中直角三角形的两直角边分别为 5 和 3,若向该图形中随机抛掷一枚飞镖,则该飞镖恰好落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.35 1517【解析】选 C.由条件可知,该图形中大正方形的边长为 = ,小正方形的边长为 5-3=2,故所求概率为 P= = .15178【加固训练】1.我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧
12、,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一种求解方法,则输出的 n 的值为 ( )A.25 B.26 C.27 D.28【解题指南】由题设实际问题,结合程序框图一步一步计算,直到满足判断框中的条件退出循环,并输出结果即可.【解析】选 A.执行程序框图,n=20,m=80,s=60+ ;显然 s100,n=21,m=79,s=321+ ;显然 s100,n=22,m=78,s=322+ ;显然 s100,n=23,m=77,s=323+ ;显然 s100,n=24,m=76,s=324+ ;显然 s100,n=25,m=75,s=325+ =100.退
13、出循环,故输出的 n=25.2.九章算术是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?9”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 AB=1 尺,弓形高 CD=1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为 ( )A.600 立方寸 B.610 立方寸C.620 立方寸 D.633 立方寸【解析】选 D.连接 OA,
14、OB,OD,设O 的半径为 R 寸,则(R-1) 2+52=R2,所以 R=13.sinAOD= = .所以AOD22.5,即AOB45.故AOB .4所以 S 弓形 ACB=S 扇形 OACB-SOAB= 132- 10126.33(平方寸).124 12所以该木材镶嵌在墙中的体积为 V=S 弓形 ACB100633 立方寸.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.如图是某老师讲解欧阳修卖油翁的课件用图,若铜钱的直径为 3 cm,中间有边长为100.25 cm 的正方形孔,则随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴正好落入孔中的概率是_. 【解析】铜钱的面积 S1= = (c
15、m2),中间方孔的面积为 S2= = (cm2),所求94概率 P= = .21答案:9.孙子算经是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子,他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列,问 5 人各得多少橘子.”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是_. 【解析】设等差数列a n,首项 a1,公差为 3,则 S5=5a1+ 3=60,解得 a1=6,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6.答案:610.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国数学家黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用,其定义为 R(x)=若 f(x)是定义在 R 上且最小正周期为 1 的函数,当 x0,1时,f(x)=R(x),则f +f(lg 20)=_. (173)11【解析】由函数的最小正周期为 1 可得 f +f(lg 20)=f +f(lg 2+1) =f(173) (5+23)+f(lg 2)= +0= .13 13答案:13【加固训练】孙子算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,里面记载着一道分配问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,则输出的值是_. 【解析】由题意,输出的值是 100 =75.(1+13)答案:75
