1、第2课时 圆锥曲线方程性质及与弦有关的问题,热点考向一 圆锥曲线的定义、标准方程和性质 考向剖析:本考向常在选择题、填空题以及解答题的第一问中出现.主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、离心率以及双曲线的渐近线和抛物线的准线等常见性质,2019年高考本考向仍是考查热点,以小题形式呈现.,【典例1】(1)已知点(2,1)在双曲线E: (a0,b0)的渐近线上,则E的离心率等于 ( ),(2)过双曲线 (a0,b0)的右焦点F作圆 x2 + y2=a2的切线,切点为M,切线交y轴于点P,且 , 则双曲线的离心率为 ( ),(3)已知椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆交于A
2、,B两点,若F1AB是以A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ),【解析】(1)选B.由题意得,点(2,1)在直线y= x上, 则 = ,所以 (2)选B.设P(0,3y),则M 则因为OMPF,所以 得y2= 将M的坐标代入圆x2+y2=a2,得圆 所以e= .,(3)选D.设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m. 由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a, 所以4a=2m+ m,m=2(2- )a. 所以|AF2|=2a-m=(2 -2)a.,因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|
3、2, 所以4(2- )2a2+4( -1)2a2=4c2, 所以e2=9-6 ,e= - .,【名师点睛】 1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据 已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用 a,c代换,求 的值.,2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来.,【考向精练】 1.如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A,B),线段CDAB,且满足CD2=ADBD(是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为 ( ),A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的
4、一部分 D.抛物线的一部分,【解析】选B.以线段AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系, 设C(x,y)是运动轨迹上任一点,且|AB|=2a, 则A(-a,0),B(a,0), 所以CD2=y2,ADBD=(x+a)(a-x)=-x2+a2,所以y2=-x2+a2,即x2+y2=a2,即 且 xa, 所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分.,2.已知ab0,椭圆C1的方程为 ,双曲线C2的 方程为 C1与C2的离心率之积为 ,则C2的渐 近线方程为 ( ) A.x y=0 B. xy=0 C.x2y=0 D.2xy=0,【解析】选A.ab0,椭圆C1的方程为 ,C1的离
5、心率为: 双曲线C2的方程为 C2的离心率为: 因为C1与C2的离心率之积为 ,所以 = , 所以 C2的渐近线方程为:y= x, 即x y=0.,【加练备选】 1.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为 ( ),【解析】选A.设M(x0,y0),由题意x0+ =2p, 则x0= ,从而 =3p2, 则M 又F ,则kMF= .,2.已知双曲线 (b0),以原点为圆心,双曲线的 实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方 程为( ),【解析】选D.根据对称性,不妨设A在第一象限,A(x
6、,y),所以 所以xy= b2=12,故双曲线的方程为,3.(2018亳州模拟)椭圆E: (ab0)的两个焦 点为F1,F2,椭圆上两动点P,Q总使PF1QF2为平行四边形, 若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2 , 则椭圆的标准方程可能为 ( ),【解析】选C.由周长为8,可知a=2, 由最大面积为2 ,可知bc= , 所以椭圆方程可以是 .,热点考向二 直线、圆、圆锥曲线的简单综合 考向剖析:本考向常以选择题、填空题为主,在解答题以椭圆为主,主要考查直线和圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线相结合问题.2019年高考本考向仍是考查热点,题型仍以小题呈现.,【
7、典例2】(1)已知直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于 不同的两点A、B,O是坐标原点,且有 那么k的取值范围是( ) A.( ,+) B. ,+) C. ,2 ) D. ,2 ),(2)已知点A是抛物线y= x2的对称轴与准线的交点, 点F为该抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PF|= m|PA|,当m取得最小值时,点P恰好在以A,F为焦点的双 曲线上,则该双曲线的离心率为世纪金榜导学号( ),【解析】(1)选C.设AB中点为D,则ODAB,因为直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点 A,B,所以| |20,所以 k2 .,(2)选C.抛物线的标准方程为x
8、2=4y, 则抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 过P作准线的垂线,垂足为N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|, 因为|PF|=m|PA|,所以|PN|=m|PA|,则 =m,设PA的倾斜角为,则sin =m, 当m取得最小值时,sin 最小,此时直线PA与抛物线相切, 设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y, 可得x2=4(kx-1), 即x2-4kx+4=0,所以=16k2-16=0,所以k=1, 所以P(2,1), 所以双曲线的实轴长为|PA|-|PF|=2( -1), 所以双曲线的离心率为,【名师点睛】处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 1.注意圆心、半径
9、和平面几何知识的应用,如直径所对的圆周角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等.,2.注意圆与特殊线的位置关系,如圆的直径与椭圆长轴(短轴),与双曲线的实轴(虚轴)的关系;圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等.,【考向精练】 1.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为_.,【解析】抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- . 因为抛物线y2=2px(p0)的准线方程与圆(x-3)2+y2=16 相切, 所以3+ =4,p=2. 答案:2,2.若双曲线x2- =1(b0)的一条渐近线与圆x2+(y- 2
10、)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2 B.2,+) C.(1, D. ,+),【解析】选A.圆x2+(y-2)2=1的圆心(0,2),半径r=1. 因为双曲线x2- =1(b0)的一条渐近线与圆x2+(y- 2)2=1至多有一个交点, 所以 化为b23. 所以e2=1+b24,因为e1, 所以1e2, 所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,2.,3.已知双曲线C: (a0,b0)的右支与抛物线 x2=4y交于A,B两点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,且 |AF|+|BF|=4|OF|,则双曲线的离心率为( ) 世纪金榜导学号,【解析】选A.把x2=4y代入
11、双曲线 (a0,b0), 可得:a2y2-4b2y+a2b2=0,所以yA+yB= ,因为|AF|+ |BF|=4|OF|,所以yA+yB+2 =4 =4,所以yA+yB=2, 所以 =2,所以2b2=a2,热点考向三 圆锥曲线中与弦有关的问题 高频考向,类型一 圆锥曲线中与弦有关问题 【典例3】(2016天津高考)设椭圆 (a ) 的右焦点为F,右顶点为A.已知 ,其中O 为原点,e为椭圆的离心率.,(1)求椭圆的方程. (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.,【大题小做】,【
12、解析】(1)由题意,如图所示:已知,所以 解得a=2, 所以椭圆方程为:,(2)由已知,设l斜率为k(k0),方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2), x01 (MOAMAO),H(0,yH),与椭圆的方程联立可得 整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,0成立 由根与系数的关系得2xB= 所以xB= yB=k(xB-2)=,lHM:y-k(x0-2)=- (x-x0), 令x=0,得yH= x0-2k, 因为HFFB,所以 =(-1,yH)(xB-1,yB)=0, 即1-xB+yHyB=,所以x0= 1,所以8k23, 所以k 或k- . 所
13、以直线l的斜率的取值范围为(-, ,+).,类型二 圆锥曲线中的求值、证明问题 【典例4】(2016全国卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.,(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ. (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,【审题导引】(1)要证明ARFQ,只要由P,Q,R三点的坐 标证明_即可. (2)要求AB中点的轨迹方程,只要由面积关系求出直线 AB与x轴交点D的坐标,再利用kAB=kDE即可.,kAR=kFQ,【解析】(1)由题意可知F 设l1:y=a,l2:y=b
14、且 ab0, 记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为 2x-(a+b)y+ab=0, 因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2, 所以 又因为ab+1=0, 所以 所以k1=k2,即ARFQ.,(2)设直线AB与x轴的交点为D , 所以SABF= 又SPQF= 所以由题意可得SPQF=2SABF即: 解得x1=0（舍）或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y).,当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得 (x1). 而 所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.,【名师点
15、睛】与弦有关常见问题的思路 (1)求弦长:联立方程组,消去一个变量,利用弦长公式 |AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1-y2|. (2)与弦中点相关的问题: 通常用“点差法”(设而不求),找到弦的中点坐标与弦 所在直线的斜率之间的关系,进而解决相关问题.,【考向精练】 1.已知椭圆C: (ab0),离心率为 ,两焦点 分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于M,N两点,且F2MN 的周长为8.,(1)求椭圆C的方程. (2)过点P(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A,B两点,求弦长|AB|的最大值.,【解析】(1)由题得: ,4a=8,所以a=2,c= . 又b2=a2-
16、c2,所以b=1,即椭圆C的方程为,(2)由题意知,|m|1. 当m=1时,切线l的方程x=1,点A,B的坐标分别为 此时|AB|= ; 当m=-1时,同理可得|AB|= , 当|m|1时,设切线l的方程为y=k(x-m),(k0),由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0, 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则=64k4m2-4(1+4k2)(4k2m2-4)=16(-k2m2+4k2+1), x1+x2=,又由l与圆x2+y2=1相切,得 即m2k2=k2+1,此时 0,得k2= 所以|AB|=,因为|m|1,所以|AB|= 2, 当且仅当m= 时,
17、|AB|=2, 由于当m=1时,|AB|= , 所以|AB|的最大值为2.,2.(2018南通二模)如图,在平面直角坐标系xOy中, B1,B2是椭圆 (ab0)的短轴端点,P是椭圆上 异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时,线 段PB1的长为4 . 世纪金榜导学号,(1)求椭圆的标准方程. (2)设点Q满足:QB1PB1,QB2PB2.求证:PB1B2与QB1B2的面积之比为定值.,【解析】设P(x0,y0),Q(x1,y1). (1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3. 由 得 所以x0=- 因为PB1=,所以 解得a2=18. 所以椭圆的标准方程为,(2)
18、方法一: 直线PB1的斜率为 由QB1PB1,所以直线QB1的斜率为 于是直线QB1的方程为: 同理,QB2的方程为:y=,联立两直线方程,消去y,得x1= 因为P(x0,y0)在椭圆 上,所以 ,从 而 所以x1= 所以,方法二: 设直线PB1,PB2的斜率为k,k,则直线PB1的方程为 y=kx+3. 由QB1PB1,直线QB1的方程为y=- x+3. 将y=kx+3代入 得(2k2+1)x2+12kx=0,因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x00,从而x0=,因为P(x0,y0)在椭圆 上,所以 从而 所以kk= 得k=- . 由QB2PB2,所以直线QB2的方程为y=2kx-3.,联立 得x= ,即x1= . 所以,
