1、1专题能力提升练 十八 圆锥曲线方程性质及与弦有关的问题(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.已知双曲线 C: - =-1,则其离心率为 ( )2423A. B. C. D.213 142【解析】选 C.双曲线 C: - =-1 化为标准方程得 - =1,所以双曲线 C 的焦点在 y24 2324轴上,a= ,b=2,c= ,其离心率 e= = = . 732.点 P 为直线 y= x 上任一点,F 1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是 ( )A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|0,b0)的一个焦
2、点,点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 2a,2222则双曲线 C 的离心率为 ( )A.2 B. C. D.2【解析】选 C.由题意不妨设 F(c,0),渐近线方程为 y= x,根据点到直线的距离可得 d=2a,|2+2又 a2+b2=c2,则 b=2a2所以 c= = a,即离心率 e= = .4.已知椭圆: + =1(a,b0)和圆 O:x2+y2=b2,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线,切点分2222别为 A,B.若椭圆上存在点 P,使得 =0,则椭圆离心率 e 的取值范围是 ( )A. B.12,1)C. D.【解析】选 C.由 =0,可得APB=90,利用圆的性质,可得|O
3、P|= b,2所以|OP| 2=2b2a 2,所以 a22c 2所以 e2 ,因为 00,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1,F2为直径的圆与双曲线2222渐近线的一个交点为(3,4),则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =121629 2324C. - =1 D. - =12423 29216【解析】选 D.因为点(3,4)在以 F1F2为直径的圆上,所以 c= =5,可得a2+b2=25,又点(3,4)在双曲线的渐近线 y= x 上,所以 = ,43由,得 a=3,b=4,3可得双曲线的标准方程为 - =1.292166.已知抛物线 y2=2px(p0)与圆 F:
4、x2+y2-px=0,过点 F 作直线 l,自上而下顺次与上述两曲线交于点 A,B,C,D,则下列关于|AB|CD|的值的说法中,正确的是 ( )A.等于 B.等于 4p224C.最小值为 p2 D.最大值为 p2【解析】选 A.|AB|CD|= (|-2)= =xAxD.(+2-2) (+2-2)由 k2x2-(2p+pk2)x+k2 =0,所以 xAxD= .24 24二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)7.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为_. 【解析】设双曲线方程
5、: - =1(a0,b0),2222由题意可知,将 x=c 代入,解得:y= ,2则|AB|= ,由|AB|=22a,则 b2=2a2,所以双曲线离心率 e= = = , 3答案:48.已知直线 l:y=k(x+1)- 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=4 ,则|CD|=_. 【解析】由圆的方程 x2+y2=12 可知:圆心为(0,0),半径 r=2 ,因为弦长为|AB|=4 =2r,所以可以得知直线 l 经过圆心 O.所以 0=k(0+1)- ,解得 k= ,所以直线 AB 的方程为:y= x,设直线 AB 的
6、倾斜角为 ,则 tan = ,所以 =60,所以在 RtAOC 中:|CO|= = =4 ,|60那么:|CD|=2|OC|=8 .答案:8三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)9.已知圆 C 过点(0,1),( ,4),且圆心 C 在 y 轴上.(1)求圆 C 的标准方程.(2)若过原点的直线 l 与圆 C 无交点,求直线 l 斜率的取值范围.【解析】(1)因为圆心 C 在 y 轴上,所以可设C 的标准方程为 x2+(y-b)2=r2,因为C 过点(0,1)和点( ,4),所以 ,解得 (1-)2=23+(4-)2=2 =3,=25所以C 的标准方程为 x2+(y-3)2=4.(2)设
7、过原点的直线 l 的方程为 y=kx,即 kx-y=0,因为 l 与圆 C 无交点,所以圆心(0,3)到直线 l 的距离大于 ,所以 2,解得- 0)的焦点为 F,点 A (a0)在 C 上,|AF|=3.(4,)(1)求 C 的方程.(2)若直线 AF 与 C 交于另一点 B,求 的值.|【解析】(1)由抛物线的定义,得|AF|= + =3,解得 p=4,所以 C 的方程为 y2=8x.(2)由(1)得 A(1,a),因为 A(1,a)(a0)在 C 上,所以 a2=8,解得 a=2 或 a=-2 (舍去),故直线 AF 的方程为 y=-2 (x-2),由 =-22(-2),2=8, 消去
8、y,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4,由抛物线的定义,得|BF|=4+2=6,所以 = .|1211.(2018宿州一模)如图,椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为 F,右顶点、上顶点分别为22226A,B,且|AB|= |BF|.(1)求椭圆 C 的离心率.(2)若斜率为 2 的直线 l 过点(0,2),且 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,OPOQ,求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.【解析】(1)由已知|AB|= |BF|,即 = a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以 e= = .(2)由(1)知 a2=4b2,所以椭圆 C: + =1
9、.242设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 l 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.由 消去 y,得 x2+4(2x+2)2-4b2=0,2-+2=0,242+22=1即 17x2+32x+16-4b2=0,=32 2+1617(b2-4)0,解得 b .x1+x2=- ,x1x2= .3217 16-4217因为 OPOQ,所以 =0,即 x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而 - +4=0,5(16-42)17解得 b=1,满足 b .所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24712.(201
10、8丰台一模)已知点 P 在椭圆 C: + =1(ab0)上,F(1,0)是椭圆的一个(1,32) 22焦点.(1)求椭圆 C 的方程.(2)椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D, E 关于原点 O 对称,直线 PD,PE 分别交 y 轴于 M,N 两点,求证:以 MN 为直径的圆被直线 y= 截得的弦长是定值.32【解析】(1)依题意,椭圆的另一个焦点为 F(-1,0),且 c=1.因为 2a= + =4.22+(32)2 02+(32)2所以 a=2,b= = ,所以椭圆 C 的方程为 + =1.2-2 2423(2)证明:由题意可知 D,E 两点与点 P 不重合.因为 D,E 两点关于原
11、点对称,所以设 D(m,n),E(-m,-n),(m1).设以 MN 为直径的圆与直线 y= 交于 G ,32H (t0)两点,(-,32)所以 GMGN.直线 PD:y- = (x-1).32-32-1当 x=0 时,y=- + ,-32-1328所以 M 0,- + .-32-132直线 PE:y- = (x-1).32当 x=0 时,y=- + ,32所以 N 0,- + .32所以 = -t,- , = -t,- ,因为 GMGN, 所以 =0,-32-1所以 =t2+ =0.42-94(2-1)因为 + =1,即 3m2+4n2=12,4n2-9=3-3m2,所以 t2- =0,所以
12、 t= .2423 34所以 G ,H ,(- 32,32)所以|GH|= .所以以 MN 为直径的圆被直线 y= 截得的弦长是定值 .32(建议用时:50 分钟)91.已知双曲线 C: - =1 的离心率为 2,则其两条渐近线的夹角为 ( )2222A. B. C. D.6 3 2 23【解析】选 B.根据题意,双曲线 C: - =1 的离心率为 2,22则有 e= =2,即 c=2a,则 b= = a,即 = ,又双曲线的方程 - =1,其渐 2-2 2222近线方程为 y= x,则该双曲线的渐近线方程为 y= x,则其两条渐近线的夹角为 .32.(2018遂宁一模)若双曲线 C: - =
13、1(a0,b0)的一条渐近线被圆 x2+y2-4x=0 所截得2222的弦长为 2,则双曲线 C 的离心率为 ( )A.2 B. C. D.【解析】选 A.由题意知,双曲线渐近线方程为 y= x,因为渐近线被圆(x-2) 2+y2=4 所截得的弦长为 2,则圆心(2,0)到 y= x 的距离为 = ,利用勾股定理得 12+ 22+22=r2=4,所以 4b2=3c2,因为 b2=c2-a2,所以 4(c2-a2)=3c2,解得 e= =2.103.设点 F1,F2分别是双曲线 C: - =1(a0)的左、右焦点 ,过点 F1且与 x 轴垂直的直线 l2222与双曲线 C 交于 A,B 两点.若
14、ABF 2的面积为 2 ,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y= x B.y= xC.y= x D.y= x【解析】选 D.设 F1(-c,0),A(-c,y0),则 - =1,22202则 = ,2042又 =2 ,6所以 2c =2 ,12所以 = ,所以 = = , 22-1故该双曲线的渐近线方程为 y= x.4.(2018太原一模)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足AFB=60.设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 ( )A.|AB|2|MN| B.2|AB|3|MN|C.|AB|3|MN| D.|AB|MN
15、|【解析】选 D.由抛物线定义得|AF|+|BF|=2|MN|,在三角形 AFB 中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos 60=|AF|2+|BF|2-|AF|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|BF|11(|AF|+|BF|) 2-3= =|MN|2,(|+|)24所以|AB|MN|.5.已知抛物线 C:x2=2py(p0),圆 O:x2+y2=1.(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆上,且 A 为 C 和圆 O 的一个交点,求|AF|.(2)若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M,N,求|MN|的最小值及相应 p 的值.【解析】(1)由题意得
16、F(1,0),从而有 C:x2=4y.解方程组 得 yA= -2,所以|AF|= -1.(2)设 M(x0,y0),则切线 l:y= (x-x0)+y0,0整理得 x0x-py-py0=0.由|ON|=1 得|py 0|= = ,20+2 20+2所以 p= 且 -10,2020-120所以|MN| 2=|OM|2-1= + -1=2py0+ -12020 20= + -1=4+ +( -1)8,当且仅当 y0= 时等号成立,20 20所以|MN|的最小值为 2 ,此时 p= .6.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦点 F2到直线 x+y+5=0 的距离为 3 .2222 1
17、2(1)求椭圆 C 的方程.(2)若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F2,且与抛物线 y2=4x 交于 A1,A2两点,与椭圆 C 交于12B1,B2两点,当以 B1B2为直径的圆经过椭圆 C 的左焦点 F1时,求以 A1A2为直径的圆的标准方程.【解析】(1)由题意可得 e= = ,12右焦点 F2(c,0)到直线 x+y+5=0 的距离为 3 ,可得 =3 ,解得 c=1,所以 a=2,b= = ,2-2所以椭圆 C 的方程为 + =1.2423(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,B 1 ,B2 ,(1,32)又 F1(-1,0),此时 0,所以以 B1B2为直径的圆不经过 F1,不满足
18、条件;当直线 l 不与 x 轴垂直时,设 l:y=k(x-1),由 即(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点.设 B1(x1,y1),B2(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= ,823+42 42-123+42因为以 B1B2为直径的圆经过 F1,所以 =0,又 F1(-1,0),所以(-1-x 1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k 2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0,13根据根与系数的关系,解得 k2= ,97由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,因为直线 l 与抛物线有两个交点,所以 k0,设 A1(x3,y3),A2(x4,y4),则 x3+x4= =2+ ,x3x4=1,42所以|A 1A2|=x3+x4+p=2+ +2= ,42即有 |A1A2|= ,12A1A2的中点为 ,即为 ,可得以 A1A2为直径的圆的标准方程为+ =(-239)2 1 02481或 + = .(-239)2(-273)21 02481
