1、1专题 05 带电粒子在交变电场中的运动1常用的思维分析方法（1）带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化（如方波）且不计粒子重力的情形。在两个相互平行的金属板间加交变电压时，在 两板中间便可获得交变电场。此类电场从空间看是匀强的，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间而变化。 当粒子平行于电场方向 射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，粒子可以做周期性的运动。 当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。（2）研究带电粒子
2、在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。由于不同时间内场强不同，使得带电粒子所受的电场力不同，造成带电粒子的运动情况发生变化。解决这类问题，要分段进行分析，根据题意找 出满足题目要求的条件，从而分析求解。（3）对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中 运动时电场为恒定电场” ，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。（4）注重全面分析（分析受力特点和运动规律）：抓住粒 子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移
3、、做功或确定与物理过程相关的边界条件。（5）从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。（6）注意对称性和周期性变化关系的应用。2处理带电粒子在交变电场中的运动问题的两个应用带电粒子在交变电场中的运动涉及力学和电学知识的综合应用，由于不同时段受力不同，处理起来较为复杂，实际仍可按力学角度解 答。该类问题仍需受力分析和分析其运动状态，应用力学和电学的基本规律定性、定量分析讨论和求解。（2）利用图象带电粒子在交变电场中运动时，受电场力作用，其加速度、速度等均做周期性变化，借助图象描述它在电场中的运动 情况，可直观展示其物理过程，从而快捷地分析求解。画图象时应
4、注意在 v t 图中，加速度相同的运动一定是平行的直线，图象与 v t 轴所夹面积表示位2移，图象与 t 轴的交点表示此时速度方向。（2）利用运动的独立性对一个复杂的合运动，可以看成是几个分运动合成的。某一方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响。应用这一原理可以分析带电粒子在交变电场中的运动。根据各分运动的情况，再按运动的合成与分解规律分析合运动的情况。【题 1】一电荷量为 q（ q0） 、质量为 m 的带电粒子在匀强电场的作用下，在 t0 时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示，不计重力。求在 t0 到 t T 的时间间隔内，（1）粒子位移的大小和方向；（2）粒子沿初始电场反方
5、向运动的时间。【答案】 （1） T2 沿初始电场正方向 （2）qE016m T4a1 qE0ma22 qE0ma32 qE0ma4 qE0m由此得带电粒子在 0 T 时间间隔内运动的加速度时间图象如图甲所示，对应的速度时间图象如图乙所示，3其中 v1 a1 T4 qE0T4m由图乙可知，带电粒子在 t0 到 t T 时的位移为 s v1 T4由式得 s T2，其方向沿初始电场正方向。qE016m（2）由图乙可知，粒子在 t T 到 t T 内沿初始电场的反方向运动，总的运动时间 t 为38 58t T T 。 58 38 T4【题 3】如图所示， O、 A、 B、 C 为一粗糙绝缘水平面上的四
6、点，不计空气阻力，一电 荷量为 Q 的点电荷固定在 O 点，现有一质量为 m、电荷量为 q 的小金属块（可视为质点） ，从 A 点由静止沿它们的连线向右运动，到 B 点时速度最大，其大小为 vm。小金属块最后停止在 C 点。已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为 、 AB 间距离为 L、静电力常量为 k，则A在点电荷 Q 形成的电场中， A、 B 两点间的电势差为2 mgL mvm22qB在小金属块由 A 向 C 运动的过程中，电势能先增大后减小C OB 间的距离为 kQq mgD从 B 到 C 的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能【答案】C ，故 A 错误。小金属块由 A 点向 C 点运动
7、的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减2 mgL mvm22q小，故 B 错误。由题意知， A 到 B 过程，金属块做加速运动， B 到 C 过程做减速运动，在 B 点金属块所受4的滑动摩擦力与库仑力平衡，则有 mg k ，得 r ，故 C 正确。从 B 到 C 的过程中，小金属块的Qqr2 kQq mg动能和电势能全部转化为内能，故 D 错误。 （2）粒子做往返运动（一般分段研 究） ；【题 4】如图 a，两平行正对的金属板 A、 B 间加有如图 b 的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间 P 处。若在 t0时刻释放该粒子，粒子会时而向 A 板运动，时而向 B 板运动
8、，并最终打在 A 板上。则 t0可能属于的时间段是A0 t0 4T B 2 t 0 43T C 3 t 0 T D T t 0 89【答案】B【题 5】如图甲所示， A 和 B 是真空中正对面积很大的平行金属板， O 是一个可以连续 产生粒子的粒子源， O 到 A、 B 的距离都是 l。现在 A、 B 之间加上电压，电压 UAB随时间变化的规律如图乙所示。已知粒子源在交变电压的一个周期内可以均匀产生 300 个粒子，粒子质量为 m、电荷量为 q。这种粒子产生后，在电场力作用下从静止开始运动。设粒子一旦碰到金属板，它就附在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响 A、 B 板电势。不计粒子的重
9、力，不考虑粒子之间的相互作用力。已知上述物理量 l0.6 m， U01.210 3 V， T1.210 2 s， m510 10 kg， q1.010 7 C。5（1）在 t0 时刻产生的粒子，会在什么时刻到达哪个极板？（2）在 t0 到 t 这段时间内哪个时刻产生的粒子刚好不能到达 A 板？T2（3）在 t0 到 t 这段时间内产生的粒子有多少个可到达 A 板？T2【答案】 （1） 103 s（2）0 时间里 4103 s 时刻产生的粒子刚好不能到达 A 板（3）100（个）6T2设粒子到达 A 板的时间为 t，则 l t212qU02lm解得 t 103 s。6（2）在 0 时间内，粒子的
10、加速度大小为 a1 210 5m/s2T2 qU02lm在 T 时间内，粒子的加速度大小为 a2 410 5m/s2T2 2qU02lm可知 a22 a1，若粒子在 0 时间内加速 t，再在 T 时间内减速 刚好不能到达 A 板，则T2 T2 t2l a1 t t12 32解得 t210 3 s因为 610 3 s，T2所以在 0 时间里 4103 s 时刻产生的粒子刚好不能到达 A 板。T2（3）因为粒子源在一个周期内可以产生 300 个粒子，而在 0 时间内的前 时间内产生的粒子可以到T2 23达 A 板，所以到达 A 板的粒子数 n300 100（个） 。12 23【题 6】如图所示为匀
11、强电场的电场强度 E 随时间 t 变化的图象。当 t0 时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是6A带电粒子将始终向同一个方向运动B2 s 末带电粒子回到原出发点C3 s 末带电粒子的速度不为零D03 s 内，电场力做的总功为零【答案】D根据图象可知选项 A 错误；由图象可知 2 s 内的位移为负，故选项 B 错误；由图象可知第 3 s 末的速度为零，故选项 C 错误；由动能定理可知 03 s 内，电场力做的总功为零，故选项 D 正确。（3）粒子做偏转运动（一般根据交变电场特点分段研究） 。由水平射入电场的速度计算粒子在电场中运动时间，分析该时
12、间和 偏转电压变化周期关系。找出正向偏转位移最大和反向偏转位移最大的粒子，确定它们进入电场的时刻，计算出光带总长度。【题 7】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为 U0，电容器板长和板间距离均为 L10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是 L10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如图乙所示。 （每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的）求：7（1）在 t0.06 s 时刻，电子打在荧光屏上的何处；（2）荧光屏上有电子打到的区间有多长？【答案】 （1）距 O 点 13.5cm 处 （2）30cm（2）电子
13、的最大侧移是 0.5L，由两式可得偏转电压最大为 Umax2.0 U0所以荧光屏上电子的最大侧移为 Y（ L）tan L L2 L2能打到的区间长为 2Y3 L30cm。【题 8】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为 U0，偏转电场板间距离 L8 cm，极板长为 2L，下极板接地，偏转电场极板右端到荧光屏的距离也是 2L，在两极板间接有一交变电压，电压变化周期 T4 s，上极板的电势随时间变化的图象如图乙所示，大量电子从偏转电场中央持续射入，穿过平行板的时间都极短，可以认为电子穿过平行板的过程中电压是不变的。 （1）求电子进入偏转电场时的速度 v0（用电子比
14、荷 、加em速电压 U0表示） ；（2）在电势变化的每个周期内荧光屏会出现“黑屏”现象，即无电子击中屏幕，求每个周期内的“黑屏”时间有多长；（3）求荧光屏上有电子打到的区间的长度。【答案】 （1） （2）1 s （3）21.6 cm2eU0m8解得电子进入偏转电场时的速度为 v0 。 2eU0m（2）电子射出偏转电场后做匀速直线运动至荧光屏，由图甲可知，只要电子能射出偏转电场，即可打到荧光屏上，因此当电子在偏转电场中偏移量大于 L/2 时，电子将打在偏转电场的极板上，致使出现“黑屏”现象，设电子刚好能射出电场时的偏转电压为 Um，则有 （ 02vL） 2，L2 12 eUmmL解得 Um0.5
15、 U0。结合图乙可知，在偏转电压为 0.8U00.5 U0之间变化时，进入偏转电场的电子无法射出偏转电场打到荧光屏上，因此每个周期时间内荧光屏出现“黑屏”的时间为 t T1 s。0.8 0.50.8 0.4（3）设电子射出偏转电场时的偏移量为 y，打在荧光屏上的位置到 O 点的距离为 Y，如图所示，由图中几何关系有 3。Yy L 2LL当电子向上偏转时，打到 荧光屏上的位置到 O 点的最大距离为 Y13 12 cm，L2当电子向下偏转时，打到荧光屏上的位置到 O 点的最大距离为 Y23 9.6 cm.0.40.5 L2所以荧光屏上有电子打到的区间的长度为 l Y1 Y221.6 cm。【题 9
16、】制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为 d 的两平行极板，如图甲所示。加在极板 A、 B 间的电压 UAB做周期性变化，其正向电压为 U0，反向电压为 kU0（ k1） ，电压变化的周期为2 ，如图乙所示。在 t0 时，极板 B 附近的一个电子，质量为 m、电荷量为 e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板 A，且不考虑重力作用。若 k ，电子在 02 时间内不能54到达极板 A，求 d 应满足的条件。9【答案】 d9eU0 210m【题 10】两块水平平行放置的导体板如图 4 甲所示，大量电子（质量为 m、电荷量为 e）由静止开始，经电压为 U0的电场加速后，
17、连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入两板之间。当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为 3t0；当在两板间加如图乙所示的周期为 2t0、最大值恒为 U0的周期性电压时，恰好能使所有电子均从两板间通过（不计电子重力） 。问：（1）这些电子通过两板之间后，侧向位移（垂直于入射速度方向上的位移）的最大值和最小值分别是多少；（2）侧向位移分别为最大值和最小值的情况下，电子在刚穿出两板之间时的动能之比为多少。【答案】 （1） （2）t04 6eU0m 1613【解析】以电场力的方向为 y 轴正方向，画出电子在 t 0 时和 t t0时进入电场后沿电场力方向的速度 vy随时间 t 变化的 vy t 图像分别如图 a 和图 b 所示，设两平行板之间的距离为 d。（1）图中， v1y t0， v2y 2t0，由图 a 可得电子的最大侧向位移为 xymax2（ 1v1yt0+v1yt0）eU0md eU0md103 v1yt0
