1、1第三章 空间向量与立体几何注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区
2、域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图所示，在平行六面体 1ABCD中， M为 1AC与 1BD的交点若 ABuva， Db， 1uvc，则下列向量中与 Buv相等的向量是（ ）A12abcB12abcC D2已知 5,61a， ,50b，则 a与 b（ ）A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向3已知 2,13
3、a， 4,2xb， 1,2xc，若 abc，则 x等于（ ）A4 B 4C 2D 64若 1,2a， ,12b，且 a， b的夹角的余弦值为89，则 等于（ ）A2 B 2C 2或 5D2 或 55已知空间四边形 ACD每条边和对角线长都等于 a，点 E、 F、 G分别是 AB、D、 的中点，则 2a是下列哪个选项的计算结果（ ）A 2BCuvB uvC 2AuvD 2ECuv6若 ,51x， ,2x，当 B取最小值时， x的值等于（ ）A19 B87C87D1947已知 CD， AEF是边长为 1 的正方形， FA平面 B，则异面直线与 所成的角为（ ）A30 B45 C60 D908如图所
4、示，正方体 ACD中， M是 AB的中点，则 sin,BCMuv的值为（ ）A12B2105C23D159如图， ACD， 面 M， A面 ， BA， 与面M成 30角，则 、 间的距离为（ ）2A1 B2 C 2D 310在以下命题中，不正确的个数为（ ） ab是 a、 b共线的充要条件；若 ，则存在唯一的实数 ，使 ab；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C，若 2OPABOCuvuv，则P、 A、 B、 C 四点共面；若 ,abc为空间的一个基底，则 ,abca构成空间的另一个基底； A2 B3 C4 D511在三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA平面 A
5、BC，且 PA AB，则二面角 A PB C 的平面角的正切值为（ ）A 6B 3C6D6212如图，四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）A AC SBB AB平面 SCDC SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13已知直线 l的方向向量为 1,2v=，平面 的法向量 2,1u=，则 l与的夹角为_14如图所示，在空间四边形 ABCD 中， AC 和 BD 为对角线，
6、 G 为 ABC 的重心， E是 BD 上一点， BE3 ED，以 ,ABCDuv为基底，则 Euv_15如图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC BC，且 BAC90，则 PA 与底面 ABC 所成的角为_16已知点 E、 F 分别在正方体 1ABCD的棱 1B、 C上，且 12BE，12C，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （10 分）已知向量 1,32a， ,1b，点 3,14A， 2,B（1）求 2ab；（2）在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得 Ouvb
7、？( O 为原点)318 （12 分）如图，在直三棱柱 1ABC中，AC3， BC4， AB5， 14，点 D 是 AB 的中点求证：（1） AC；（2） 平面 119（12 分）已知 M 为长方体 1AC的棱 BC 的中点，点 P 在长方体 1AC的面1CD内，且 1PBD ，试探讨点 P 的确切位置20（12 分）在正棱锥 P ABC 中，三条侧棱两两互相垂直， G 是 PAB 的重心，E， F 分别是 BC， PB 上的点，且 BE EC PF FB12求证：（1）平面 GEF平面 PBC；（2） EG PG， EG BC421（12 分）如图，在三棱柱 1ABC中，H 是正方形 1AB
8、的中心，12A， 1CH平面 1，且 5（1）求异面直线 AC 与 所成角的余弦值；（2）求二面角 1AB的正弦值；（3）设 N 为棱 C的中点，点 M 在平面 1AB内，且 MN平面 1ABC，求线段BM 的长22（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB， AD 上，AE EB AF23FD4沿直线 EF 将 AEF 翻折成 AEF ，使平面 AEF 平面BEF（1）求二面角 A FD C 的余弦值；（2）点 M， N 分别在线段 FD， BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C与 A 重合，求线段 FM 的长512018-2019 学年选
9、修 2-1 第三章训练卷空 间 向 量 与 立 体 几 何 （ 一 ） 答 案一、选择题1 【答案】A【解析】平行六面体的性质可得： 112AMCuvab，则1BMAuvuvacbc，故选 A2 【答案】A3 【答案】B【解析】 2,13xab，由 abc， 0abc 20x，得 4故选 B4 【答案】C【解析】286539ab解得 2或 5故选 C5 【答案】C【解析】 22BAauv，A 错； 2DBauv，B 错；1EF，D 错；只有 C 对故选 C6 【答案】C【解析】 1,23,ABxuv，则 222851439147xxx，故当87x时， ABuv取最小值，故选 C7 【答案】B【
10、解析】如图，由于 EFAB 且 45C，所以异面直线 AC与 EF所成的角为 45，故选B8 【答案】B【解析】以 DA， ， 所在的直线分别为 x， y， z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为 1，则 0,， 1,B， 0,1C，1,02M，则 ,DBuv，,2CMuv，5cos,Duv，则10sin,5故选 B9 【答案】C【解析】 22222DABCABDCABDCABuvuvuvuvuvvu101cos0| =2C故选 C10 【答案】C【解析】错，应为充分不必要条件错，应强调 0b错， 21错，由数量积的运算性质判别故选 C11 【答案】A【解析】设 PAAB2，建立空间直角坐
11、标系，平面 PAB 的一个法向量是21,0m，平面 PBC 的一个法向量是 3,1n则37cos,21n正切值 tan,6m故选 A12 【答案】D【解析】四边形 ABCD 是正方形，ACBD又SD底面 ABCD，SDAC其中 SDBDD，AC面 SDB，从而 ACSB故 A 正确；易知 B 正确；设 AC 与 DB 交于 O 点，连结 SO则 SA 与平面 SBD 所成的角为ASO，SC 与平面 SBD 所成的角为CSO，又 OAOC，SASC，ASOCSO故 C 正确；由排除法可知选 D二、填空题13 【答案】30【解析】21cos6v,u， 60v,u l与 的夹角为 3014 【答案】
12、1324ABCD【解析】214GEEAMBuvuvuv1 133224ACDuvuv，故 4ABCDuvuv15 【答案】60【解析】由于 PAPBPC，故 P 在底面 ABC 上的射影为ABC 外心，由于ABC 为直角三角形，不妨设 OBOC，所以 OP面 ABC，PAO 为所求角，不妨设 BC1，则 OA12，cosPAO 12，所以PAO6016 【答案】 3【解析】延长 FE、CB 相交于点 G，连结 AG，设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于 H，连结 EH，则EHB 为所求二面角的平面角2BH，EB1，2tan3EBH三、解答题17 【答案】 （1） 52；（2）
13、存在，此时 E 点坐标为6142,5【解析】 （1） ,642,10,ab，故2205（2） 3,14,23,142OEAtABtttuvuv，若 b，则 0=，3所以 231420ttt，解得95t，因此存在点 E，使得 Ouvb，此时 E 点坐标为6142,18 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）直三棱柱 1ABC底面三边长 AC3，BC4，AB5，且 C垂直底面AC、BC、 两两垂直如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB， 1分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系则 0,C， 3,0A， 1,04C， ,0B， 1,4，3,20D,uv， ,Buv， ACu
14、v， 1ABCuv（2）设 1与 的交点为 E，连接 DE，则 0,2E，3,02DEuv， 13,04ACuv， 1DAuv 1C 平面 B， 平面 1B， 1C 平面 B19 【答案】点 P 在面 1D的 DC 的中垂线 EF 上【解析】以 DA、DC、 为 x、 y、 z轴，如图建立空间直角坐标系，设 DAa， Cb， 1Dc根据题意可设 ,0， ,(0)Ba， 1,()c， ,(0)Pyz，则1,02Mab又 1PMB ，根据空间向量基本定理，必存在实数对 ,mn，使得 1mDnuvuv，即1,2abyzabc，等价于12,mbyybznczncR，则点10,2Pbnc点 P 在面 1
15、DC的 DC 的中垂线 EF 上20 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系令 PAPBPC3，4则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是 3,0PAuv， 1,0FGuv故 3PAFGuv 又 PA平面 PBC，FG平面 PBC又 FG平面 EFG，平面 EFG平面 PBC（2） 1,Euv， 1,0Puv， ,3BCuv 0GP， 3GEGPG，EGBC21 【答案】 （1）2
16、3；（2）57；（3）104【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点依题意得2,0A， ,0B， ,25C， 12,0A， 1,20B，1,5C（1）易得 2,5ACuv， 12,0ABuv，于是114cos, 3B所以异面直线 AC 与 1A所成角的余弦值为2（2）易知 0,2uv， 1,5Cuv设平面 1AC的法向量 ,xyzm，则10ACuv，即2500xyz，不妨令 5x，可得 5,02m，同样地，设平面 1ABC的法向量 ,yzn，则1ACBuvn，即250xyz，不妨令 5，可得 0,52n，于是2cos, 7mn，从而3si,7m所以二面角 1ACB的正弦值为35
17、（3）由 N 为棱 1的中点，得2,N设 ,0Mab，则35,22abuv由 MN平面 1ABC，得10MNABuv，即2032502ab，解得24ab，故2,04M因此,2Buv，所以线段 BM 的长104BMuv522 【答案】 （1）3；（2）14【解析】法一：（1）取线段 EF 的中点 H，连结 AH因为 AEAF 及 H 是 EF 的中点，所以 AHEF又因为平面 AEF平面 BEF，及 AH平面 AEF，所以 AH平面 BEF如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 2,A， 10,8C， 4,0F， 1,0D，故 ,Fuv， 6,Duv设 ,xyzn为平面 AFD 的一个法向量，所以
18、2060，取 2z，则 0,2n又平面 BEF 的一个法向量 0,1m=故3cos,m所以二面角的余弦值为3（2）设 FMx，则 4,0x，因为翻折后，C 与 A重合，所以 CMAM，故 2222680xx，得14x，经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以FM法二：（1）取线段 EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结 AG，AH，GH因为 AEAF 及 H 是 EF 的中点，所以 AHEF，又因为平面 AEF平面 BEF，所以 AH平面 BEF，又 AF平面 BEF，故 AHAF，又因为 G，H 是 AF，EF 的中点，易知 GHAB，所以 GHAF，于是 AF面 AGH，所以AGH 为二面角 ADFC 的平面角，在 RtAGH 中， 2， 2GH， 3A，所以3cosAGH故二面角 ADFC 的余弦值为 （2）设 FMx，因为翻折后，C 与 A重合，所以 CMAM，而 22286Dx，2AHAGH222680xx，得 14，经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以 214FM
