1、1第四章 圆与方程注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。
2、 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1圆 240xy的圆心坐标为（ ）A ,B 1,2C 1,2D 1,22圆 O1： x2 y22 x0 与圆 O2： x2 y24 y0 的位置关系是（ ）A外离 B相交 C外切 D内切3圆 x22 x y24 y30 上到直线 x y10 的距离为 的点共有（ ）2A4 个 B3 个 C2 个 D1
3、 个4设直线过点( a,0)，其斜率为1，且与圆 x2 y22 相切，则 a 的值为（ ）A B2 C2 D42 25已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4)，且| AB|2 ，则实数 x 的值是（ ）6A3 或 4 B6 或 2 C3 或4 D6 或26当 a 为任意实数时，直线( a1) x y a10 恒过定点 C，则以 C 为圆心，为半径的圆的方程为（ ）5A x2 y22 x4 y0 B x2 y22 x4 y0C x2 y22 x4 y0 D x2 y22 x4 y07直线 l1： y x a 和 l2： y x b 将单位圆 C： x2 y21 分成长度相等的四段弧，则 a
4、2 b2（ ）A B2 C1 D328若直线 y kx1 与圆 x2 y21 相交于 P， Q 两点，且 POQ120(其中 O为原点)，则 k 的值为（ ）A 或 B C 或 D3 3 3 2 2 29设 P 是圆( x3) 2( y1) 24 上的动点， Q 是直线 x3 上的动点，则| PQ|的最小值为（ ）A6 B4 C3 D210已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接圆的圆心到原点的3 3距离为（ ）A B C D53 213 2 53 4311过点(3,1)作圆( x1) 2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 AB 的方程为（ ）A
5、2 x y30 B2 x y30C4 x y30 D4 x y3012若圆 C： x2 y24 x4 y100 上至少有三个不同的点到直线l： x y c0 的距离为 2 ，则 c 的取值范围是（ ）2A2 ，2 B(2 ，2 )2 2 2 2C2,2 D(2,2)二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13已知点 A(1,2,3)， B(2，1,4)，点 P 在 y 轴上，且| PA| PB|，则点 P 的坐标是_.14已知圆 C1： x2 y26 x70 与圆 C2： x2 y26 y270 相交于 A、 B 两点，则线段 AB 的中垂线方
6、程为_.15过点 A(1， )的直线 l 将圆( x2) 2 y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心2角最小时，直线 l 的斜率 k_.16在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为2_.三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(10 分)求经过两点 A(1,4)， B(3,2)且圆心 C 在 y 轴上的圆的方程18(12 分)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a， M 为 BD1的中点， N 在 A1C1上，且| A1N|3| NC1|，试求
7、MN 的长319(12 分)已知过点 A(1,0)的动直线 l 与圆 C： x2( y3) 24 相交于 P， Q两点， M 是 PQ 的中点， l 与直线 m： x3 y60 相交于 N.（1）求证：当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C；（2）当| PQ|2 时，求直线 l 的方程320(12 分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东 300km 处，以 40km/h的速度向北偏西 60方向移动据测定，距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间421已知点(0,1)，(32 ，0)，(32 ，0)在圆 C 上2 2（1）求圆 C 的方
8、程；（2）若圆 C 与直线 x y a0 交于 A， B 两点，且 OA OB，求 a 的值22(12 分)如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上（1）若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使 MA2 MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围12018-2019 学 年 必 修 二 第 四 章 训 练 卷圆 与 方 程 （ 二 ） 答 案一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
9、目要求的）1 【答案】B【解析】将圆方程化为标准方程得 221()5xy，圆心坐标为 1,2故选 B2 【答案】B【解析】圆 O1(1,0)， r11，圆 O2(0,2)， r22，| O1O2| 22012，且 21，故两圆相交故选 B5 53 【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为( x1) 2( y2) 2(2 )2，圆心(1，2)到2直线 x y10 的距离 d ，则到直线 x y10 的距离为| 1 2 1|2 2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求由于圆的半径为 2 ，所以到2 2直线 x y10 的距离为 的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条2直线与圆有 3 个交点
10、故选 B4 【答案】B【解析】切线的方程是 y( x a)，即 x y a0， ， a2|a|2 2故选 B5 【答案】D【解析】由空间两点间的距离公式得 222134x2 ，6解得 x6 或 x2，故选 D6 【答案】C【解析】由( a1) x y a10 得 a(x1)( x y1)0，所以直线恒过定点(1,2)，所以圆的方程为( x1) 2( y2) 25，即 x2 y22 x4 y0，故选 C7 【答案】B【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即 ， 1cos45 ，所以 a2 b21，故 a2 b22，故选14 |a|2 |b|2 |a|2 2
11、2B8 【答案】A【解析】方法 1：| PQ|21sin60 ，圆心到直线的距离 d3231 ，12 ，解得 k 1k2 1 12 3方法 2：利用数形结合如图所示，直线 y kx1 过定点(0,1)，而点(0,1)在圆 x2 y21 上，故不妨设 P(0,1)，在等腰三角形 POQ 中， POQ120， QPO30，故 PAO60， k ，即直线 PA 的斜率为 .同理可求得3 3直线 PB 的斜率为 ，故选 A39 【答案】B【解析】| PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为 2，所以| PQ|的最小值 d3(3)24，故选 B10 【答案】B【解析】 A
12、BC 外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 x1 上，设圆心D(1， b)，由 DA DB 得| b| 213b ，所以圆心到原点的距离2 23d2213 ，故选 B21311 【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为 ，故直线 AB 的斜率一定是2，只有选项 A 中直线的斜率为2，122故选 A12 【答案】C【解析】圆 C： x2 y24 x4 y100 整理为( x2) 2( y2) 2(3 )2，圆2心坐标为 C(2,2)，半径长为 3 ，要使圆上至少有三个不同的点到直线2l： x y c0 的距离为 3 ，如右
13、图可知圆心到直线 l 的距离应小于等于 ，2 2 d ，解得| c|2，即2 c2，故选 C|2 2 c|1 1 |c|2 2二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】(0， ， 0)76【解析】设点 P(0， b,0)，则 2221030b 222140b，解得 b 7614 【答案】 x y30【解析】 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2的连心线 C1C1.又 C1(3,0)， C2(0,3)，所以 C1C2所在直线的方程为 x y3015 【答案】22【解析】点 A(1， )在圆( x2) 2 y24 内，当劣弧所对的圆心角
14、最小时， l 垂2直于过点 A(1， )和圆心 M(2,0)的直线 k 21kAM 2 10 2 2216 【答案】( x1) 2 y22.【解析】由题意得：半径等于 21m 21 ，|m 1|m2 1 2所以所求圆为( x1) 2 y22三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【答案】 x2( y1) 210【解析】 AB 的中点是(1,3)， kAB ，4 2 1 3 12 AB 的垂直平分线方程为 y32( x1)，即 2x y10.令 x0，得 y1，即圆心 C(0,1)所求圆的半径为| AC| 2214 .10所求圆的方程为 x2
15、( y1) 21018 【答案】 a64【解析】以 D 为原点建立如图所示坐标系，则 B(a， a,0)， A1(a,0， a)， C1(0， a， a)， D1(0,0， a)由于 M 为 BD1的中点，所以 M( ， )，取 A1C1中点 O1，则 O1( ， a)，a2a2 a2 a2a2因为| A1N|3| NC1|，所以 N 为 O1C1的中点，故 N( ， a， a)a4 34由两点间的距离公式可得：| MN|222 a.6419 【答案】 （1）见解析；（2） x1 或 4x3 y40【解析】 （1）证明：因为 l 与 m 垂直，且 km ，所以 kl3，13故直线 l 的方程为
16、 y3( x1)，即 3x y30.因为圆心坐标为(0,3)满足直线 l 方程，所以当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C（2）解：当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x1)，即 kx y k0，3因为| PQ|2 ，所以| CM| 1，则由| CM| 1，得 k ，3 4 3| k 3|k2 1 43所以直线 l：4 x3 y40，故直线 l 的方程为 x1 或 4x3 y4020 【答案】见解析【解析】以该市所在位置 A 为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向建立直角坐标系开始时台风中心
17、在 B(300,0)处，台风中心沿倾斜角为150方向直线移动，其轨迹方程为 y (x300)( x300)该市受台风影33响时，台风中心在圆 x2 y2250 2内，设直线与圆交于 C， D 两点，则|CA| AD|250，所以台风中心到达 C 时，开始受影响该市，中心移至点 D 时，影响结束，作 AH CD 于点 H，则|AH| 150，| CD|2 400， t 10(h)即台风100 313 1 |AC|2 |AH|2 4004对该市的影响持续时间为 10 小时21 【答案】 （1）( x3) 2( y1) 29；（2）1【解析】 （1）由题意可设圆 C 的圆心为(3， t)，则有 32
18、( t1) 2(2 )2 t2，2解得 t1，则圆 C 的圆心为(3,1)，半径长为 013.所以圆 C 的方程为( x3) 2( y1) 29.（2）由 220319ya，消去 y，得 2x2(2 a8) x a22 a10，此时判别式 5616 a4 a2.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有Error! ，由于 OA OB，可得 x1x2 y1y20，又 y1 x1 a， y2 x2 a，所以 2x1x2 a(x1 x2) a20 由得 a1，满足 0，故 a1.22 【答案】 （1） y3 或 3x4 y120；（2）0， 125【解析】 （1）由题设，圆心 C 是直线
19、y2 x4 和 y x1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y kx3，由题意，得 1，解得 k0 或 k ，|3k 1|k2 1 34故所求切线方程为 y3 或 3x4 y120.（2）因为圆心在直线 y2 x4 上，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2( a2)21.设点 M(x， y)，因为 MA2 MO，所以 223y2 ，x2 y2化简得 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21| CD21，即 1 223a3.由 5a212 a80，得 aR；由 5a212 a0，得 0 a ，125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0， 125
