1、1高考大题专项五 直线与圆锥曲线 压轴大题突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆 M: =1(ab0)的离心率为,点 P 1, 在椭圆 M上 .22+22(1)求椭圆 M的方程;(2)经过椭圆 M的右焦点 F的直线 l与椭圆 M交于 C,D两点, A,B分别为椭圆 M的左、右顶点,记ABD与 ABC的面积分别为 S1和 S2,求 |S1-S2|的取值范围 .2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M在椭22+22圆上,有 |MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为 e=.(1)求椭圆
2、C的标准方程;(2)已知 N(4,0),过点 N作斜率为 k(k0)的直线 l与椭圆交于 A,B不同两点,线段 AB的中垂线为 l,记l的纵截距为 m,求 m的取值范围 .3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆 C:x2+2y2=1的左右顶点分别为 A1,A2.(1)求椭圆 C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于 x轴的直线 l与椭圆 C相交于 P,Q两点,直线 A1P与 A2Q交于点 M,直线 A1Q与 A2P交于点 N.求证:直线 MN垂直于 x轴 .4.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线 C1:y2=2px(p0),圆 C2:x2+y2=4,直线 l:y=kx+b与抛物线 C1
3、相切于点 M,与圆 C2相切于点 N.(1)若直线 l的斜率 k=1,求直线 l和抛物线 C1的方程;(2)设 F为抛物线 C1的焦点,设 FMN, FON的面积分别为 S1,S2,若 S1=S 2,求 的取值范围 .25.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆 =1(ab0)与直线 y= x-2 相切,设22+22 222椭圆的上顶点为 M,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且 MF1F2为等腰直角三角形 .(1)求椭圆的标准方程;(2)直线 l过点 N 0,- 交椭圆于 A,B两点,直线 MA、 MB 分别与椭圆的短轴为直径的圆交于 S,T两点,求证: O,S,T三点共线 .6
4、.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆 =1(ab0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,且22+22 33F2与抛物线 y2=4x的焦点重合 .(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1的直线交椭圆于 B,D两点,过 F2的直线交椭圆于 A,C两点,且 AC BD,求 |AC|+|BD|的最小值 .突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018福建厦门质检一,20)设 O为坐标原点,椭圆 C: =1(ab0)的左焦点为 F,离心率为22+22.直线 l:y=kx+m(m0)与 C交于 A,B两点, AF的中点为 M,|OM|+|MF|=5.255(1)求椭圆 C的方程
5、;(2)设点 P(0,1), =-4,求证:直线 l过定点,并求出定点的坐标 .2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率为 ,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 C的左、右焦点, M为椭圆 C上的任意一22+22 223点, MF1F2的面积的最大值为 1,A、 B为椭圆 C上任意两个关于 x轴对称的点,直线 x= 与 x轴的2交点为 P,直线 PB交椭圆 C于另一点 E.(1)求椭圆 C的标准方程;(2)求证:直线 AE过定点 .3.(2018广东一模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,且 C过
6、点 1, .22+22 32 32(1)求椭圆 C的方程;(2)若直线 l与椭圆 C交于 P,Q两点(点 P,Q均在第一象限),且直线 OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线 l的斜率为定值 .4.已知定直线 l:y=x+3,定点 A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆 C过点 A且与 l相切 .(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦 AP,AQ的中点分别为 M,N,若 MN平行于 l,则 OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由 .5.(2018江西六校联考,20)已知 F1,F2分别是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点,其中右焦点22+22为抛物线
7、 y2=4x的焦点,点 M -1, 在椭圆 C上 .22(1)求椭圆 C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线 l过 F2与椭圆 C交于 A,B两点,过点 M -1, 且平行直线 l的直线22交椭圆 C于另一点 N,若四边形 MNBA为平行四边形,试问直线 l是否存在?若存在,请求出 l的斜率;若不存在,请说明理由 .46.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知 M 是椭圆 C: =1(ab0)上的一点,3,12 22+22F1,F2是该椭圆的左右焦点,且 |F1F2|=2 .3(1)求椭圆 C的方程;(2)设点 A,B是椭圆 C上与坐标原点 O不共线的两点,直线 OA,OB,A
8、B的斜率分别为 k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究 |OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由 .5高考大题专项五 直线与圆锥曲线 压轴大题突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为 e= ,椭圆 M过点 P 1, ,所以 c=1,a=2.=12所以椭圆 M方程为 =1.24+23(2)当直线 l无斜率时,直线方程为 x=1,此时 C 1,- ,D 1, , ABD, ABC面积相等, |S1-S2|=0;32 32当直线 l斜率存在(显然 k0)时,设直线方程为 y=k(x-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2).由24+23=1,=(
9、-1),消去 y得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然 0,方程有根,且 x1+x2= ,x1x2= ,823+42 42-123+42此时 |S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|= ,12|3+42因为 k0,上式 = k= 时等号成立 ,123|+4| 122 3|4|=12212=3 32所以 |S1-S2|的最大值为 ,3所以 0 |S1-S2| .32.解 (1)因为 |MF1|+|MF2|=4,所以 2a=4,所以 a=2.因为 e= ,所以 c=1,12所以 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C的标准方程为 =1.24+23(2)由题意可知直线 l
10、的斜率存在,设 l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y得=(-4),24+23=1,(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2= ,x1x2= ,32242+3 642-1242+3又 = -4(4k2+3)(64k2-12)0,解得 - 0恒成立,所以 m= 在 k 0, 上为增函数,所以-162+12(42+3)2 12 442+3 1200,由 l与 C2相切知, C2(0,0)到 l的距离 d= =2,得 b=2 ,所以2 2l:x-y+2 =0.将 l与 C1的方程联立消 x得 y2-2py+4p =0,2 2其 = 4p2-16
11、p=0得 p=4 ,C 1:y2=8 x.2 2 2综上所述, l:x-y+2 =0,C1:y2=8 x.2 27(2)不妨设 k0,根据对称性, k0得到的结论与 k0,又知 p0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 =+,2=2,消去 y得 k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由 = 4(kb-p)2-4k2b2=0,得 p=2kb,M ,22,由 l与 C2切于点 N知 C2(0,0)到 l:kx-y+b=0的距离 d= =2,得 b=2 ,则 p=4k1+21+2,1+2故 M ,4 .21+2 1+2由 得 N - ,=+,2+2=4, 21+2, 21+2故 |MN|=
12、|xM-xN|= = .1+21+221+2 + 21+2 42+2F ,0 到 l:kx-y+b=0的距离 d0= =2k2+2,22+1+2所以 S1=S FMN= |MN|d0= ,12 2(22+1)(2+1)又因为 S2=S FON= |OF|yN|=2k,12所以 = = +2 (k2+1)=2k2+ +32 +3,当且仅当 2k2= 即 k= 时12=(22+1)(2+1)2 12 12 2 12 142取等号,与上同理可得, k0.(83)2 649 649设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,831+22-6491+22又 M(0,2),
13、 =x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+ kx1- kx2-83 83=(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+83 649=-6491+21+22649 21+22+649= - +1 =0.649 1+2+21+22MA MB, SMT= .2 圆的直径为椭圆的短轴, 圆心为原点 O, 点 O,S,T三点共线 .6.解 (1)抛物线 y2=4x的焦点为(1,0),所以 c=1,又因为 e= ,所以 a= ,=1=33 3所以 b2=2,所以椭圆的标准方程为 =1.23+22(2) 当直线 BD的斜率 k存在且 k0 时,直线 BD的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程 =1,
14、23+22化简得(3 k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,6232+2 32-632+2|BD|= |x1-x2|= .1+(1+2)(1+2)2-412=43(2+1)32+2易知直线 AC的斜率为 - ,19所以 |AC|= ,43(12+1)312+2=43(2+1)22+3|AC|+|BD|=4 (k2+1) =3132+2+ 122+3203(2+1)2(32+2)(2k2+3)203(2+1)2(32+2)+(22+3)2 2= ,203(2+1)225(2+1)24=1635当 k2=1,即 k=1
15、时,上式取等号,故 |AC|+|BD|的最小值为 .1635 当直线 BD的斜率不存在或等于零时,易得 |AC|+|BD|= .1033 1635综上所述, |AC|+|BD|的最小值为 .1635突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为 F1,则 OM为 AFF1的中位线 .OM= AF1,MF= AF,12 12|OM|+|MF|= =a=5,|+|1|2e= ,=255c= 2 ,5b= ,5 椭圆 C的方程为 =1.225+25(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立=+,225+25=1,消去 y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2
16、-25=0. 0,x1+x2=- ,x1x2= ,101+52 52-251+52y 1+y2=k(x1+x2)+2m= ,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=21+52,522-252-1022+2+5221+52 =-252+21+52P (0,1), =-4, (x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,10 +5=0,整理得 3m2-m-10=0,52-251+52+-252+21+52 21+52解得 m=2或 m=- (舍去) .53 直线 l过定点(0,2) .2.(1)解 当 M为椭圆 C的短轴
17、端点时, MF1F2的面积的最大值为 1, 2cb=1,bc= 1,e= ,a2=b2+c2,a= ,b=1, 椭圆 C的标准方程为 +y2=1.12 =22 2 22(2)证明 设 B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且 x1 x2,x= =2,P (2,0),由题意知 BP的斜率必存在,设 BP:y=k(x-2),代入 +y2=1得(2 k2+1)x2-2 228k2x+8k2-2=0,由 0得 k20.设点 P,Q的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,-81+42 4(2-1)1+42y 1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
18、k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 直线 OP,l,OQ的斜率成等比数列,11k 2= =2211,212+(1+2)+212整理得 km(x1+x2)+m2=0, +m2=0,-8221+42又 m0,所以 k2= ,14结合图像(图略)可知 k=- ,故直线 l的斜率为定值 .124.解 (1)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,m n),椭圆 C过点 A,所以 4m+n=1. 将 y=x+3代入椭圆方程化简得( m+n)x2+6nx+9n-1=0.因为直线 l与椭圆 C相切,所以 = (6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,解 可得 m= ,n= .16 13所以椭圆
19、的标准方程为 =1.26+23(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 M ,N .1+22 ,1+12 2+22 ,2+12由题意可知 PQ MN,所以 kPQ=kMN=1.设直线 PQ的方程为 y=x+t(-30,所以 1+2=-43,12=22-63 ,kOM+kON= ,1+11+2+2+12+2=1+11+2 +2+12+2通分后可变形得到 kOM+kON= ,212+(+3)(1+2)+4+412+2(1+2)+4将 式代入得 kOM+kON= =0.2(22-6)+(+3)(-4)+12+12-4+2(22-6)+12 = 042-4当 t=0时,直线 PQ的方程为
20、y=x,易得 P( ),Q(- ,- ),则 M ,N2, 2 2 22+22 ,1+22,所以 kOM+kON= =0.2- 22 ,1- 22 1+22+2+1- 22- 2所以 OM,ON斜率之和为定值 0.5.解 (1)由 y2=4x的焦点为(1,0)可知椭圆 C的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),12又点 M -1, 在椭圆上,所以22 12+122=1,2=2+2,=1, 解得 2=2,2=1,所以椭圆 C的标准方程为 +y2=1.22(2)由题意可设直线 l的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由22+2=1,=(-1),消去 y,得(1 +2k
21、2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2= ,x1x2= .421+22 22-21+22所以 |AB|= .1+2(1+2)2-412=22(1+2)1+22设直线 MN的方程为 y- =k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),22由22+2=1,- 22=(+1),消去 y,得(1 +2k2)x2+(4k2+2 k)x+(2k2+2 k-1)=0,因为 x3=-1,所以 x4=-2 2,|MN|= |x3-x4|=22+22-11+22 1+2.1+2|22-2|1+22因为四边形 MNBA为平行四边形,所以 |AB|=|MN|,即 ,k=- ,22(1+2)1+22
22、 =1+2|22-2|1+22 24但是,直线 l的方程 y=- (x-1),即 x+2 y-1=0过点 M -1, ,即直线 AB与直线 MN重合,不24 2 22符合题意,所以直线 l不存在 .6.解 (1)由题意,知 F1(- ,0),F2( ,0),根据椭圆定义得 |MF1|+|MF2|=2a,3 3所以 2a=+(3+3)2+(12-0)2=4,(3- 3)2+(12-0)2所以 a2=4,b2=a2-c2=1,所以椭圆 C的方程为 +y2=1.24(2)|OA|2+|OB|2为定值 .设直线 AB:y=kx+m(km0), A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y得=+,24+2=1,(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,13则 = (8km)2-16(m2-1)(4k2+1)0,x1+x2=- ,x1x2= ,81+42 42-41+42因为 k1k2=k2,所以 =k2,1+1 2+2即 km(x1+x2)+m2=0(m0),解得 k2= ,14所以 |OA|2+|OB|2= -2x1x2+2=5,21+22+21+22=34(1+2)2所以 |OA|2+|OB|2=5.
