1、7.3 归纳与类比,-2-,知识梳理,考点自诊,1.合情推理 (1)归纳推理:根据一类事物中 具有某种属性,推断该类事物中 都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是由 到 ,由 到 的推理. 归纳推理的基本模式:a,b,cM且a,b,c具有某属性,结论:任意dM,d也具有某属性. (2)类比推理:由于两类不同对象具有 ,在此基础上,根据 的其他特征,推断 也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由 的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a,b,c;结论:B具有属性d.(a,b,c,d与a,b,c,d相似或
2、相同),部分事物,每一个,部分 整体,个别 一般,某些类似的特征,一类对象,另一类对象,特殊到特殊,-3-,知识梳理,考点自诊,(3)合情推理:根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. 2.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.,特殊,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正
3、确. ( ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理. ( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. ( ) (5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(nN+). ( ) (6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.在数列an中,a1=1, (n2),由此归纳数列an的通项公式 B.由平面三角形的性质,推测空
4、间四面体性质 C.两直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角,则A+B=180 D.某校高二共10个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人,C,解析:A、D是归纳推理,B是类比推理,C符合三段论模式,故选C.,-7-,知识梳理,考点自诊,3. 如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是( ) 1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5 A.12 B.48 C.60 D.144,D,解析:由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积. 所以a=1212=144.,-8-,知识梳理,
5、考点自诊,4.(2018四川南充高中考前模拟,5)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同.现了解到以下情况:(1)甲不是最高的;(2)最高的没报铅球;(3)最矮的参加了跳远;(4)乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是( ) A.跑步比赛 B.跳远比赛 C.铅球比赛 D.无法判断,A,解析:由(1),(3),(4)可知,乙参加了铅球,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛.故选A.,-9-,知识梳理,考点自诊,D,解析:设四面体的内切球的
6、球心为O,则球心O到四个面的距离都是r,根据三角形的面积的求解方法分割法,将O与四个顶点连起来,可得四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,V=(S1+S2+S3+S4)r,故选D.,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,归纳推理(多考向) 考向1 数的归纳 例1(2018河北名校联考,16)有一个数阵排列如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 4 8 12 16 20 8 16 24 32 16 32 48 64 32 64 96 64 则第10行从左至右第10个数字为 .,5 120,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4
7、,解析:由数表可发现规律:第n行第一个数为2n-1,第n行组成以2n-1为首项,以2n-1为公差的等差数列,所以第10行第1个数字为29=512,则第10行第10个数字为512+(10-1)512=5 120,故答案为5 120.,思考归纳推理的步骤是什么? 思路分析由数表可发现规律:第n行第一个数为2n-1,第n行组成以2n-1为首项,以2n-1为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得结果.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 式的归纳,C,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考式的归纳如何实现? 思路分析观察下列各式,右边分母组成以3为首项,1为公差的等差数列;分子
8、组成以1为首项,1为公差的等差数列,即可得出结论.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 形的归纳,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考形的归纳有几种?,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 2.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)与数字有关的等式的推理:观察数字的变化特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与式子有关的归纳推理: 与不等式有关的推理:观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解; 与数列有关
9、的推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可. (3)与图形变化有关的推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论,采用赋值检验法验证其真伪性.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2018成都一模,14)数表的第1行只有两个数2、3,从第2行开始,先保序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和,如下图所示,那么第20行的各个数之和等于 . 2 3 2 5 3 2 7 5 8 3 2 9 7 12 5 13 8 11 3,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)(2018福建泉州二模,13)若正偶数由小到大依次排列构成一个
10、数列,则称该数列为“正偶数列”,且“正偶数列”有一个有趣的现象: 2+4=6; 8+10+12=14+16; 18+20+22+24=26+28+30; 按照这样的规律,则2 018所在等式的序号为( ) A.29 B.30 C.31 D.32,C,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)(2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学三模,10)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象,图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体
11、相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形.则当n=6时,该黑色三角形内共去掉( )个小三角形.A.81 B.121 C.364 D.1 093,C,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)由题图可知,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1,所以,n=1时,a1=1; n=2时,a2=3+1=4; n=3时,a3=34+1=13; n=4时,a4=313+1=40; n=5时,a5=340+1=121; n=
12、6时,a6=3121+1=364,故选C.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,类比推理,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)线段长度类比到空间为体积, 再结合类比到平面的结论, 可得空间中的结论为,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考类比推理的关键是什么? 解题心得类比推理的关键及类型 1.类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:找出两类事物之间的相似性或者一致性.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想). 2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;
13、等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,演绎推理,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论.演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提,只要大前提、小前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.,-30-
14、,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知函数y=f(x)满足:对任意a,bR,ab,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a), 试证明: f(x)为R上的增函数; 若x,y为正实数且 ,比较f(x+y)与f(6)的大小.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数 C.大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数 D.大前提:是
15、无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数 思考演绎推理中得出的结论一定正确吗?,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明 设x1,x2R,且x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0. 因为x10, 所以f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的增函数.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)B A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错;C,D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理,所以A,C,D都不正确,只有B正确,故选B.,-3
16、4-,考点1,考点2,考点3,考点4,生活中的合情推理 例6(1)(2018东北师大附中四模,8)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“C或D作品获得一等奖”;乙说:“B作品获得一等奖”; 丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;丁说:“C作品获得一等奖”. 若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( ) A.A作品 B.B作品 C.C作品 D.D作品,B,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)(2018四川绵阳三诊,6)甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车,汽车的品牌为
17、奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车,丁说:“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞,丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是( ) A.吉利,奇瑞 B.吉利,传祺 C.奇瑞,吉利 D.奇瑞,传祺,A,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)若B作品获得一等奖,则根据题中所给的条件,可以判断乙和丙两位说的话是对的,而甲和丁说的都是错的,满足只有两位说的话是对的;若A作品获一等奖,则没有一个同学说的是正确的;若C作品获得一等奖,则甲、丙、丁三人说的话都正确;若D作品获一等奖,则只有甲说的话是对的,故只能选B. (2)因为丁的猜测只对了一个
18、,所以“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞,乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞,乙买的是奇瑞”是正确的,这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾,“丙买的不是吉利”是正确的,所以乙买的是奇瑞,甲买的是吉利,选A.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何解决生活中的合情推理问题? 思路分析(1)首先假设每一项作品若获得一等奖,看看下边对应的预测,分析分别有几个同学说的是对的,如果有两位同学说的是对的,那就是该问题对应的那个结果,如果不是两位同学说的是对的,那就说明不是该作品获一等奖.(2)因为丁的猜测只对了一个,所以我们从“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞”这两个
19、判断着手就可以方便地解决问题. 解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)(2018内蒙古呼和浩特调研一,16)某煤气站对外输送煤气时,用15号5个阀门控制,且必须遵守以下操作规则: 若开启2号,则必须同时开启3号并且关闭1号; 若开启1号或3号,则关闭5号; 禁止同时关闭4号和5号, 现要开启2号,则同时开启的另外2个阀门是 .,3号和4号,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)(2018山东寿光期末,11)“干支纪年法”是中国历法上自
20、古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅,癸酉,甲戌,乙亥,丙子,癸未,甲申、乙酉、丙戌,癸巳,共得到60个组成,周而复始,循环记录,2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的( ) A.乙亥年 B.戊戌年 C.庚子年 D.辛丑年,C,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由题意得:若开启2号,则必须同时开启3号并且关闭1号;若开启
21、1号或3号,则关闭5号;禁止同时关闭4号和5号,故要开启4号阀门.现在要开启2号阀门,则同时开启的2个阀门是3和4.故答案为3号和4号. (2)2015年是“干支纪年法”中的乙未年,2016年是“干支纪年法”中的丙申年,那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年,2018是戊戌年,2019年是己亥年,以此类推得到2020年是庚子年.故选C.,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳推理是由特殊到一般的推理; (2)类比推理是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若
22、大前提、小前提和推理形式正确,得到的结论一定正确. 2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行. 3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.,-42-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性,书写格式的规范性. 2.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.,-43-,易错警示归纳不准确致误分析 典例如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1
23、,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN+)的前12项,如表所示.,按如此规律下去,则a2 013+a2 014+a2 015等于( ) A.1 004 B.1 007 C.1 011 D.2 014,-44-,易错分析:本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系,归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种:一是归纳时找不准“前几项”的规律,胡乱猜测;二是弄错奇、偶项的关系.本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项,并且逐一递增,即a2n=n(nN+),各个点的横坐标对应数列的奇数项,正负交替后逐一递增,并且满足a4n-3+a4n-1=0(nN+),如果弄错这些关系就会得到错误的结果,如认为当n为偶数时an=n,就会得到a2 013 +a2 014+a2 015=2 014的错误结论,而选D. 答案:B 解析:a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,偶数项为1,2,3,故a2 013+a2 015=0, a2 014=1 007,故a2 013+a2 014+a2 015=1 007.,
